高中数学 新教材变式题9《圆锥曲线与方程.doc

九、圆锥曲线与方程变式题xypodm1（人教a版选修11，21第39页例2）如图，在圆上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pd，d为垂足当点p在圆上运动时，线段pd的中点m的轨迹是什么？变式1：设点p是圆上的任一点，定点d的坐标为（8，0）当点p在圆上运动时，求线段pd的中点m的轨迹方程解：设点m的坐标为，点p的坐标为，则，即，因为点p 在圆上，所以即，即，这就是动点m的轨迹方程变式2：设点p是圆上的任一点，定点d的坐标为（8，0），若点m满足当点p在圆上运动时，求点m的轨迹方程解：设点m的坐标为，点p的坐标为，由，得，即，因为点p在圆上，所以即，即，这就是动点m的轨迹方程变式3：设点p是曲线上的任一点，定点d的坐标为，若点m满足当点p在曲线上运动时，求点m的轨迹方程解：设点m的坐标为，点p的坐标为，由，得，即，因为点p在圆上，所以即，这就是动点m的轨迹方程2（人教a版选修11，21第40页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线a b，交椭圆于a，b两点，是椭圆的左焦点（1）求的周长；（2）如果ab不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷）：设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是a b c d解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得选d解二：f1pf2为等腰直角三角形，.，故选d变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点p在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 解一：由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为解二：设，由焦半径公式得，的最大值为变式3（2005年全国卷）：已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线（）求椭圆的离心率；（）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值解：（）设椭圆方程为，则直线ab的方程为，代入，化简得.设a（），b），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（）证明：由（）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在椭圆上，即由（）知又，代入得故为定值，定值为1.3（人教a版选修11，21第47页习题2.1a组第6题）已知点p是椭圆上的一点，且以点p及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点p的坐标变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，点p在椭圆上，若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为a b3 c d解：依题意，可知当以f1或f2为三角形的直角顶点时，点p的坐标为，则点p到x轴的距离为，故选d（可以证明不存在以点p为直角顶点的三角形）变式2（2006年全国卷）：已知的顶点b、c在椭圆上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则的周长是ab6 c d12解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选c4（人教a版选修11，21第47页习题2.1b组第3题） 如图，矩形abcd中，e，f，g，h分别是矩形四条边的中点，r，s，t是线段of的四等分点，是线段cf的四等分点请证明直线er与、es与、et与的交点l，m，n在同一个椭圆上变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点a、b.若双曲线c的右焦点f在以ab为直径的圆上时，则实数 解：将直线代入双曲线c的方程整理，得 依题意，直线l与双曲线c的右支交于不同两点，故解得设a、b两点的坐标分别为、，则由式得 双曲线c的右焦点f 在以ab为直径的圆上，则由fafb得：整理，得把式及代入式化简，得解得，故变式2（2002年广东卷）：a、b是双曲线上的两点，点n（1，2）是线段ab的中点（）求直线ab的方程；（）如果线段ab的垂直平分线与双曲线相交于c、d两点，那么a、b、c、d四点是否共圆？为什么？ 解：（）直线ab的方程为（求解过程略）（）联立方程组得、由cd垂直平分ab，得cd方程为代入双曲线方程整理，得记，以及cd的中点为，则有从而又即a、b、c、d四点到点m的距离相等故a、b、c、d四点共圆变式3（2005年湖北卷）：设a、b是椭圆上的两点，点n（1，3）是线段ab的中点，线段ab的垂直平分线与椭圆相交于c、d两点. （）确定的取值范围，并求直线ab的方程；（）试判断是否存在这样的，使得a、b、c、d四点在同一个圆上？并说明理由.（）解法1：依题意，可设直线ab的方程为整理，得 设的两个不同的根， 是线段ab的中点，得解得1，代入得，12，即的取值范围是（12，）.于是，直线ab的方程为解法2：设依题意，（）解法1：代入椭圆方程，整理得 的两根，于是由弦长公式可得 将直线ab的方程 同理可得 假设在在12，使得a、b、c、d四点共圆，则cd必为圆的直径，点m为圆心.点m到直线ab的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当时，a、b、c、d四点均在以m为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：a、b、c、d共圆acd为直角三角形，a为直角 由式知，式左边由和知，式右边 式成立，即a、b、c、d四点共圆解法2：由（）解法1及.代入椭圆方程，整理得 解得.将直线ab的方程代入椭圆方程，整理得 解得.不妨设计算可得，a在以cd为直径的圆上.又点a与b关于cd对称，a、b、c、d四点共圆.（注：也可用勾股定理证明acad）5（人教a版选修11，21第59页习题2.2b组第1题） 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是abcd 解：依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，选d变式2（2004年全国卷理）：已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）abcd 解：抛物线的焦点坐标为（1，0），则椭圆的，又，则，进而，所以椭圆方程为，选a6（人教a版选修11，21第66页例4） 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长变式1：如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，f是抛物线的焦点，若，则_解：根据抛物线的定义，可知（，2，8），变式2（2004年湖南卷理）：设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 解：设，则，于是，即，由于，故，又，故bnfancnoxy变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点（）试证：；（）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点试证：证明：（）对任意固定的,因为焦点,所以可设直线的方程为,将它与抛物线方程联立，得，由一元二次方程根与系数的关系得（）对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率，故在处的切线方程为， 类似地，可求得在处的切线方程为， 由减去得，从而， 将代入并注意到得交点的坐标为.由两点间距离公式,得=.从而.现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，=.7（人教a版选修21第67页例5） 过抛物线焦点f的直线交抛物线于a，b两点，通过点a和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d，求证：直线db平行于抛物线的对称轴obcfaxy变式（2001年全国卷）：设抛物线（）的焦点为 f，经过点 f的直线交抛物线于a、b两点点 c在抛物线的准线上，且bcx轴证明直线ac经过原点o证明1：因为抛物线（）的焦点为，所以经过点f的直线ab的方程可设为 ，代人抛物线方程得 若记，则是该方程的两个根，所以因为bcx轴，且点c在准线上，所以点c的坐标为，faxyd故直线co的斜率为即也是直线oa的斜率，所以直线ac经过原点o证明2：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为e，过a作adl，d是垂足则 adfebc连结ac，与ef相交于点n，则oebcn根据抛物线的几何性质，|af|=|ad|，|bf|=|bc|， 即点n是ef的中点，与抛物线的顶点o重合，所以直线ac经过原点o8（人教a版选修11第74页，21第85页复习参考题a组第8题）斜率为2的直线与双曲线交于a，b两点，且，求直线的方程变式1（2002年上海卷）：已知点和，动点c到a、b两点的距离之差的绝对值为2，点c的轨迹与直线交于d、e两点，求线段de的长解：根据双曲线的定义，可知c的轨迹方程为联