【全程复习方略】高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

抛物线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()a.y2=13xb.x2=3yc.x2=13yd.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选b.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.2.已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为()a.18b.24c.36d.48【解析】选c.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p0).因为当x=p2时,|y|=p,所以p=|ab|2=122=6.又p到ab的距离始终为p,所以sabp=12126=36.3.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.34b.1c.54d.74【解析】选c.由抛物线的定义,有|af|+|bf|=xa+p2+xb+p2=xa+xb+p=3,故xa+xb=3-p=52,故线段ab的中点到y轴的距离为54,故选c.【举一反三】若将上题改为f是抛物线x2=2y的焦点,a,b是抛物线上的两点,|af|+|bf|=6,则线段ab的中点到y轴的距离为.【解析】|af|+|bf|=6,由抛物线的定义可得|ad|+|be|=6,又线段ab的中点到抛物线准线y=-12的距离为12(|ad|+|be|)=3,所以线段ab的中点到y轴的距离为52.答案:524.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()a.43b.75c.85d.3【解析】选a.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5,当m=23时,取得最小值为43.【一题多解】选a.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由y=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程为4x+3y-43=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=-8-4342+32=43.5.(2014兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()a.8b.6c.4d.10【解析】选a.设弦的端点为a(x1,y1),b(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=2(x1+x2)2-4x1x2=8.6.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,其上的三个点a,b,c的横坐标之比为345,则以|fa|,|fb|,|fc|为边长的三角形()a.不存在b.必是锐角三角形c.必是钝角三角形d.必是直角三角形【解析】选b.设a,b,c三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k0),由抛物线定义得|fa|=p2+3k,|fb|=p2+4k,|fc|=p2+5k,易知三者能构成三角形,|fc|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014长沙高二检测)已知定点a(-3,0),b(3,0),动点p在抛物线y2=2x上移动,则papb的最小值等于.【解析】设p(x,y),则y2=2x,因为a(-3,0),b(3,0),则papb=apbp=(x+3,y)(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x0),所以当x=0时,(papb)min=-9.答案:-98.(2014济宁高二检测)已知抛物线y2=4x的焦点为f,准线与x轴的交点为m,n为抛物线上的一点,且满足|nf|=32|mn|,则nmf=.【解析】过n作准线的垂线,垂足为p,则有|pn|=|nf|,所以|pn|=32|mn|,nmf=mnp.又cosmnp=32,所以mnp=6,即nmf=6.答案:69.(2014长春高二检测)已知点p是抛物线y2=4x上的动点,点p在y轴上射影是m,点a(4,6),则|pa|+|pm|的最小值是.【解题指南】将p到y轴的距离,转化为点p到焦点的距离,当a,p,f共线时,|pa|+|pm|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以f(1,0),如图,|pm|=|pn|-p2=|pf|-1,所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|-1|af|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-1三、解答题(每小题10分,共20分)10.直角aob的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点o为原点,oa所在直线的方程为y=3x,aob的面积为63,求该抛物线的方程.【解题指南】运用解方程组分别求出a,b坐标,从而求出|oa|和|ob|,利用面积公式求出p即可.【解析】因为oaob,且oa所在直线的方程为y=3x,所以ob所在直线的方程为y=-33x.由y2=2px,y=3x,得a点坐标(2p3,23p3),由y2=2px,y=-33x,得b点坐标(6p,-23p).|oa|=43|p|,|ob|=43|p|,soab=833p2=63,所以p=32.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.11.(2014淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为f,过点p(2,0)的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,直线af,bf分别与抛物线交于点m,n.(1)求y1y2的值.(2)记直线mn的斜率为k1,直线ab的斜率为k2,证明:k1k2为定值.【解题指南】(1)把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.【解析】(1)依题意,设ab的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设m(x3,y3),n(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线am的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知点p是抛物线y2=4x上一点,设点p到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()a.5b.4c.1155d.115【解析】选c.设抛物线的焦点为f,则f(1,0).由抛物线的定义可知d1=|pf|,所以d1+d2=|pf|+d2,所以d1+d2的最小值为|pf|+d2的最小值,即点f到直线x+2y-12=0的距离,所以最小值为|1-12|5=1155.【变式训练】已知抛物线y2=4x,过焦点f的直线与抛物线交于a,b两点,过a,b分别作y轴的垂线,垂足分别为c,d,则|ac|+|bd|的最小值为.【解析】抛物线准线为x=-1,f(1,0),则|ac|=|af|-1,|bd|=|bf|-1,所以|ac|+|bd|=|af|+|bf|-2=|ab|-2.而|ab|为过焦点的弦长,所以当abx轴时,|ab|取到最小值4.所以|ac|+|bd|4-2=2.答案:22.如图,f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c在抛物线上,若fa+fb+fc=0,则|fa|+|fb|+|fc|=()a.6b.4c.3d.2【解析】选a.设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),因为f(1,0),所以fa+fb+fc=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.所以|fa|+|fb|+|fc|=x1+p2+x2+p2+x3+p2=3+3=6.3.(2014成都高二检测)a,b是抛物线x2=y上任意两点(非原点),当oaob最小时,oa,ob所在两条直线的斜率之积koakob=()a.12b.-12c.3d.-3【解析】选b.由题意设a(x1,x12),b(x2,x22),所以oaob=x1x2+(x1x2)2=x1x2+122-14,易知当x1x2=-12时,oaob最小,此时koakob=x1x2=-12.4.(2014安阳高二检测)抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,已知点a,b为抛物线上的两个动点,且满足afb=90,过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn,垂足为n,则|mn|ab|的最大值为()a.22b.33c.1d.3【解析】选a.设|af|=r1,|bf|=r2,|mn|ab|=12(r1+r2)r12+r22=12r12+2r1r2+r22r12+r22=121+2r1r2r12+r22121+r12+r22r12+r22=22.【举一反三】本题条件“afb=90”改为“afb=120”,其他条件不变,则结论如何?【解析】选b.如图,设|af|=r1,|bf|=r2,则|mn|=12(r1+r2),|ab|=r12+r22-2r1r2cos120=r12+r1r2+r22,所以|mn|ab|=r1+r22r12+r22+r1r2=12(r1+r2)2r12+r22+r1r2=121+r1r2r12+r22+r1r2121+r1r23r1r2=33.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014天水高二检测)已知抛物线x2=4y的焦点为f,经过f的直线与抛物线相交于a,b两点,则以ab为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_.【解析】由题意,设a(x1,y1),b(x2,y2),则a,b到准线的距离和为y1+y2+2=ab,所以以ab为直径的圆的圆心到x轴的距离为y1+y22,设直线ab的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,消y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,y1+y2=4k2+2,所以以ab为直径的圆在x轴上所截得的弦长为2y1+y2+222-y1+y222=12+16k2,所以k=0时,以ab为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值为23.答案:236.(2013安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于a,b两点.若该抛物线上存在点c,使得acb为直角,则a的取值范围为.【解题指南】点c的轨迹是圆心在y轴上、半径为r=a的圆,数形结合可得.【解析】联立直线y=a与抛物线y=x2得x=a,满足题设条件的点c的轨迹是以(0,a)为圆心,r=a为半径的圆,其方程为x2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=aa时满足题设要求,解得a1.答案:1,+)三、解答题(每小题12分,共24分)7.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,经过点f的直线交抛物线于a,b两点,点c在抛物线的准线上,且bcx轴.试探究直线ac是否经过原点o?【解题指南】借助koa和koc的关系去探究.【解析】直线ac经过原点o.证明如下:设ab:x=my+p2,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.由根与系数的关系,得yayb=-p2,即yb=-p2ya.因为bcx轴,且c在准线x=-p2上,所以c-p2,yb,则koc=yb-p2=2pya=yaxa=koa.故直线ac经过原点o.【一题多解】如图所示,记准线l与x轴的交点为e,过a作adl,垂足为d,则adefbc,连接ac交ef于n,则|en|ad|=|cn|ac|=|bf|ab|,|nf|bc|=|af|ab|.因为|af|=|ad|,|bf|=|bc|,所以|en|=|ad|bf|ab|=|af|bc|ab|=|nf|,即n是ef的中点,从而点n与点o重合,故直线ac经过原点o.8.(2014长春高二检测)点m(m,4)(m0)为抛物线x2=2py(p0)上一点,f为其焦点,已知|fm|=5.(1)