（新高考）2020高考数学小题考法专训（十）导数的简单应用.docx

小题考法专训（十） 导数的简单应用A级保分小题落实练一、选择题1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()AeB1C1 De解析：选B因为f(x)2xf(1)ln x，所以f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)1，解得f(1)1.2已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()Ae B2eC1 D2解析：选C设切点为(x0，aex0x0)，由曲线yaexx，可得yaex1，则切线的斜率ky|xx0aex01.令aex012可得x0ln ，则曲线在点(x0，aex0x0)，即处的切线方程为y1ln 2，整理可得2xyln 10.结合题中所给的切线2xy10，得ln 11，a1.3已知直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则b的值为()A3 B3C5 D5解析：选A由题意知，3k1，k2.又(x3axb)|x1(3x2a)|x13a，3a2，a1，311b，即b3.4(2019河北九校第二次联考)函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3,1) B(0,1)C(1,3) D(0,3)解析：选B令y10，得3x1，又x0，故所求函数的单调递减区间为(0,1)，故选B.5.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中大致为yf(x)的图象的是()解析：选C当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数；当x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此排除A、B、D，故选C.6若函数f(x)kx2ln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C1，) D2，)解析：选D因为f(x)kx2ln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以在区间(1，)上f(x)k0恒成立，即k恒成立，当x(1，)时，02，所以k2，故选D.7若函数f(x)x2(a1)xaln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a的取值范围为()A. BC. D(1,0)解析：选B对函数求导得f(x)xa1，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x1是唯一的极值点，此时a0且f(1)a1a.故选B.8(2020届高三武汉调研)设曲线C：y3x42x39x24，在曲线C上一点M(1，4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A1 B2C3 D4解析：选Cy12x36x218x，所以切线l的斜率ky|x112，所以切线l的方程为12xy80.联立方程消去y，得3x42x39x212x40，所以(x2)(3x2)(x1)20，所以x12，x2，x31，所以切线l与曲线C有3个公共点，故选C.9已知函数f(x)xln xaex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A. B(0，e)C. D(，e)解析：选Af(x)ln xaex1，令f(x)0，得a.若函数f(x)xln xaex有两个极值点，则ya和g(x)在(0，)上有2个交点，g(x)(x0)令h(x)ln x1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，而h(1)0，故x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增，x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递减，故g(x)maxg(1)，而x0时，g(x)，x时，g(x)0.若ya和g(x)在(0，)上有2个交点，只需0a.10已知函数f(x1)是偶函数，当x(1，)时，函数f(x)sin xx，设af，bf(3)，cf(0)，则a，b，c的大小关系为()Abac BcabCbca Dabc解析：选A函数f(x1)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x1对称，aff，bf(3)，cf(0)f(2)又当x(1，)时，函数f(x)sin xx，当x(1，)时，f(x)cos x10，即f(x)sin xx在(1，)上为减函数，bac.11设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对任意的实数x都有f(x)4x2f(x)，当x(，0时，f(x)4x，若f(m1)f(m)4m2，则实数m的取值范围是()A. BC1，) D2，)解析：选A令F(x)f(x)2x2，因为F(x)F(x)f(x)f(x)4x20，所以F(x)F(x)，故F(x)f(x)2x2是奇函数则当x(，0时，F(x)f(x)4x0，所以函数F(x)f(x)2x2在(，0上单调递减，故函数F(x)在R上单调递减不等式f(m1)f(m)4m2等价于f(m1)2(m1)2f(m)2m2，即F(m1)F(m)，由函数的单调性可得m1m，即m.故选A.12(2019福州模拟)已知函数f(x)x32ex2mxln x，若f(x)x恒成立，则实数m的取值范围是()A. BC. D解析：选A由f(x)x恒成立，得x32ex2mxln xx恒成立，即x32ex2(m1)xln x0恒成立，因为x0，所以两边同时除以x，得x22ex(m1)0，则m1x22ex恒成立令g(x)x22ex，则g(x)2x2e，当0xe时，0,2e2x0，所以g(x)0；当xe时，0,2e2x0，所以g(x)0.所以当xe时，g(x)maxe2，则m1e2，所以me21，故选A.二、填空题13若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10相互垂直，则实数a_.解析：因为f(x)sin xxcos x，所以fsin cos 1.又直线ax2y10的斜率为，所以11，解得a2.答案：214已知函数f(x)sin xx，x0，cos x0，x00，f(x)的最大值为f(x0)；f(x)的最小值为f(x0)；f(x)在0，x0上是减函数；f(x)在x0，上是减函数那么上面命题中真命题的序号是_解析：f(x)cos x，由f(x)0，得cos x，即xx0.因为x0，当0xx0时，f(x)0；当x0x时，f(x)0，所以f(x)的最大值为f(x0)，f(x)在x0，上是减函数答案：15若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_解析：f(x)ax2.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0有解又因为函数f(x)的定义域为(0，)，所以ax22x10在(0，)上有解当a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，44a0恒成立，所以ax22x10在(0，)上有解恒成立；当a0时，yax22x1为开口向下的抛物线，ax22x10在(0，)上恒有解，则解得1a0；当a0时，显然符合题意综上所述，实数a的取值范围是(1，)答案：(1，)16(2019江西七校第一次联考)定义：如果函数f(x)在a，b上存在x1，x2(ax1x2b)满足f(x1)f(x2)，则称函数f(x)是a，b上的“中值函数”已知函数f(x)x3x2m是0，m上的“中值函数”，则实数m的取值范围是_解析：由题意，知f(x)x2x在区间0，m上存在x1，x2(0x1x2m)，满足f(x1)f(x2)m2m，所以方程x2xm2m在区间(0，m)上有两个不相等的解令g(x)x2xm2m(0xm)，则解得m.答案：B级拔高小题提能练1多选题已知函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()A函数yf(x)在区间内单调递增B当x2时，函数yf(x)取得极小值C函数yf(x)在区间(2,2)内单调递增D当x3时，函数yf(x)有极小值解析：选BC对于A，函数yf(x)在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当x2时，函数yf(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x(2,2)时，恒有f(x)0，则函数yf(x)在区间(2,2)内单调递增，故C正确；对于D，当x3时，f(x)0，故D不正确2多选题已知函数yf(x)在R上可导且f(0)1，其导函数f(x)满足0，对于函数g(x)，下列结论正确的是()A函数g(x)在(1，)上为单调递增函数Bx1是函数g(x)的极小值点C函数g(x)至多有两个零点D当x0时，不等式f(x)ex恒成立解析：选ABCg(x)，则g(x).当x1时，由0可得f(x)f(x)0，则g(x)0，故yg(x)在(1，)上单调递增，故A正确；当x1时，由0可得f(x)f(x)0，则g(x)0，故yg(x)在(，1)上单调递减，故x1是函数yg(x)的极小值点，故B正确；若g(1)0，则函数yg(x)有2个零点，若g(1)0，则函数yg(x)有1个零点，若g(1)0，则函数yg(x)没有零点，故C正确；因为yg(x)在(，1)上单调递减，所以yg(x)在(，0)上单调递减，由g(0)1，得当x0时，g(x)g(0)，即1，故f(x)ex，故D错误3已知函数f(x)aln xbx2，a，bR.若不等式f(x)x对所有的b(，0，x(e，e2都成立，则实数a的取值范围是()Ae，) BC. De2，)解析：选Bf(x)x对所有的b(，0，x(e，e2都成立，即aln xxbx2对所有的b(，0，x(e，e2都成立，因为b(，0，x(e，e2，所以bx2的最大值为0，所以aln xx0在x(e，e2时恒成立，所以a在x(e，e2时恒成立，令g(x)，x(e，e2，则g(x)0恒成立，所以g(x)在(e，e2上单调递增，所以当xe2时，g(x)取得最大值，所以a，故选B.4(2019石家庄模拟)已知函数f(x)ax3x2，aR，当x0,1时，函数f(x)仅在x1处取得最大值，则a的取值范围为_解析：f(x)ax3x2，f(x)2ax2(2a1)x，0x1，a0时，f(x)0，函数f(x)在区间0,1上单调递减，x1时，f(x)取得最小值，与题意不符，a0.由f(x)2ax2(2a1)x0，得x0或x1.当10，即a时，f(x)0(x0,1)，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)仅在x1处取得最大值，符合题意当011，即a时，令f(x)0，得0x1，令f(x)0，得1x1，f(x)在上单调递减，在上单调递增，要使f(x)仅在x1处取得最大值，则f(1)f(0)，即a0，所以a.当11，即0a时，f(x)0(x0,1)，f(x)在区间0,1上单调递减，x1时，f(x)取得最小值，与题意不符综上，a的取值范围是.答案：5已知函数f(x)ln x，k4，)，曲线yf(x)上