量子力学讲义第11、12章.doc

第四篇 跃迁问题和散射问题量子跃迁 初态 末态：几率？弹性散射 初态 末态：散射截面（几率）？第十一章 量子跃迁量子态的两类问题： 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。 体系状态随时间演化问题 。11.1 跃迁与跃迁几率设 定态波函数 。将作微扰，t=0时加入。本节讨论在作用下，由初态 末态的几率一、体系由的几率将按展开：。由的定态波函数知，引起的变化由反映，故可令，引起的变化由反映。称为几率幅。二、的运动方程利用含时S-方程，有由 用左乘，并积分得 ，式中 玻尔频率。三、用含时微扰求1、 初条件：。2、 各级近似方程：将按展开。代入方程得. 3、 解零级方程：因t=0时加入微扰，不可能马上影响体系状态，故所有修正项 ，由“1” 知。于是有 。4、 解一级方程： 。跃迁过程，一般，故。定义跃迁速率 单位时间内的跃迁几率：对的几点讨论： 当具有某种对称性，使，则说k态到m态的跃迁是禁戒的（一级下） 相应的选择定则。 量子跃迁，由于能量往往是简并的，并不意味着一定有（如弹性散射）。量子跃迁是“态”“态”，而非“能量”“能量”。 由于的厄米性，。 但由于简并，一般地讲， 不一定成立。而应考虑诸简并态的量子跃迁几率，逐一计算，再平均之。 对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和。例如，对中心力场，简并度为，的跃迁几率为 。例题：教材P378 例1 ， 初态 求 解：。即谐振子只能跃迁到m=1态 选择定则。由此可得 ， ， 。作业：11.1，2，3，4。11.2 三种微扰 能级-时间测不准关系 （本节有关计算可只讲思路和要点）一、常微扰 费米黄金规则 与时间无关。， 当t足够长时，t， 有 。跃迁速率 。可见有两个特点： 与时间无关； 跃迁遵守能量守恒 对近似等于的末态才能实现。费米黄金规则：上式中出现-函数，表明连续变化才有意义。设末态的态密度为，即+ 内的末态数为 则，初态 附近一系列可能末态的跃迁速率为 即 黄金规则。我们将在第十二章应用它导出波恩近似公式(12.3)。二、周期性微扰 与t无关。分析的行为： 当时，上式第一项可以忽略，仅保留第二项， 此时 。若外来微扰为光波吸收，由低高。 当时，第二项可以忽略，保留第一项， 此时 。高能级低能级，辐射光子。 共振跃迁：。当t 时，利用-函数，有 遵从能量守恒。对于t 时，的贡献均不明显 与 比较。 我们只讨论共振跃迁： 三、非周期微扰（自学）四、能量-时间测不准关系 首先通过例子说明。例1： 由前讨论已知右图曲线。可见：除处，其它各处能量守恒均不成立，但 （有跃迁）。尤其是主峰范围内跃迁明显：的不确定范围： 微扰作用时间。注意，是确定的 不确定：，记 。如何理解这一结果？将微扰过程视为测量末态能量的过程，测量时间与能量不确定范围 之积为，。量子力学允许能量有偏差 能量-时间测不准关系。例2：设原子处于激发态，寿命。激发态要衰变，不是稳定态能量不确定度 称能量宽度。由于寿命限制，辐射光子波列长度。由和。即 测量粒子寿命的一种方法。*例3：介子质量的估计。电磁作用通过光子传递 “虚光子”（不可观测），由长程力要求。中子和中子如何相互作用？1935年汤川秀树提出一个大胆设想：核力是通过一个未知粒子传递的，并计算出 （所用数学复杂）。我们用 来估计：存在体系能量增加。若，则是不可观测的虚过程（不破坏能量守恒）。这要求介子存在的时间。即使以光速传播，力程 （由此可见）。已知力程 。普遍情况的描述： 设为不含时间的力学量，由测不准关系 ，而 ， 或 。令 其含义为改变所需要的时间间隔 表征变化快慢的周期。则 。每个力学量都有 取最小的一个记，则有 能量-时间测不准关系。注意：t只是参量，不是力学量，对此式的解释不同于 。如前各例均有不同解释 可参见有关文献。作业： 习题11.2、2，3。11.3 光的吸收与辐射 选择定则（半经典处理）三种跃迁：吸收、受激辐射、自发辐射：光谱分析：谱线频率 能级差；谱线（相对）强度 跃迁几率。研究方法：1、严格讨论 QED。 2、半经典方法 量子力学方法。把光子产生和湮灭问题转化成能级跃迁问题： 把原子作为量子体系； 辐射场按经典电磁场描述 作“微扰”引人。这种方法只适用于光的吸收和辐射。 3、爱因斯坦自发辐射理论 基于热力学和统计物理学中平衡概念（半唯象理论）。一、光吸收与受激辐射 电偶极跃迁的选择定则 设入射光是平面单色光： 我们采用电偶极近似计算。1、 电偶极近似： 只考虑电场作用，v c 下，电场主导。原子内部电场均匀，2、 跃迁几率：为电偶极矩。 。与前面讨论的周期微扰比较：，其中 。一般为复矢量：为实数。如果入射是单色非偏振光，由于偏振方向完全无规，即与的夹角完全无规对方向平均：，。推广到非单色光（自然光），须考虑各种频率成分的贡献。 设为频率的电磁场的能量密度，由电动力学知， 受激辐射， 吸收。讨论：由 受激辐射与吸收的跃迁速率相等。 若入射光中没有这种频率成分，则。 问题：若，是否一定不为零呢？3、电偶极跃迁的选择定则： ，涉及到初、末态的性质。设原子初态，宇称，末态，宇称。 宇称选择定则：为奇宇称算符只有时，才可能不为零宇称改变。（被积函数为偶不为零） 角动量选择定则：利用教材P392所列数学关系可证明。 主量子数n没有选择定则：取任何都不会导致=0。 注意：以上选择定则是对电偶极近似而言的。二、自发辐射的爱因斯坦理论 量子力学：无外界作用，原子的是守恒量不会跃迁，无法解释自发辐射。 爱因斯坦半唯象理论：借助物体与辐射场达到平衡时的热力学关系，指出自发辐射必然存在，并引人三个系数建立了相应的关系式。1、 自发辐射的引人，三个系数的定义： 高能级， 低能级如前，吸收，吸收系数，受激辐射，受激辐射系数， 已知。 设平衡下，体系温度T ，个粒子，个粒子。按玻尔兹馒分布：，对。即，只有受激辐射时，无法与吸收过程达到平衡。 热平衡要求引人自发辐射：单位时间的原子数 = 单位时间的原子数（“吸收”）=（“受激”+“自发”）自发辐射系数。2、 三个系数的计算：显然：关键是 由平衡式得。另一方面，热平衡下辐射场能量密度遵守普朗克公式。3、 自发辐射强度： 单位时间内原子由能级 所辐射的能量。4、 原子在能级的平均寿命与能级的自然宽度： 在的个原子，在内自发跃迁到的原子数为 。记减少到所需时间为， 称为 自发跃迁的平均寿命。如果从 所有可能的低能级自发跃迁 ，则的平均寿命为。由测不准关系：能级的自然宽度。作业：习题11.3、2，4，6，7。第十二章 弹性散射散射实验是近代物理研究微观粒子的相互作用和内部结构的重要手段。12.1 散射截面与散射振幅散射态是一种非束缚态，涉及体系能谱的连续部分。 束缚态理论 研究体系的分立能量本征值和本征态以及它们之间两类问题 量子跃迁。（实验信息主要是光谱分析） 散射问题 研究散射粒子的角分布、角关联、极化等（不是其能量本征态）。（实验观测在离靶很远处：波函数的渐近行为）一、微分散射截面与总散射截面一束粒子从无穷远沿z轴向靶粒子A入射 如图（轴对称）。入射粒子强度为N，单位时间内散射角附近立体角内的粒子数。 令 微分散射截面。 总散射截面，其物理意义在原子物理中已经讨论（卢瑟福实验） “几率”。二、散射幅我们的任务是求。为此需要知N和dn。考虑中心势U（r），力程a ra，U（r）=0 粒子自由。入射粒子（自由）（自由粒子） 能量-动量守恒。设 单位体积中有一个入射粒子。入射强度 。散射后，r 处波函数为： 物理分析可知。 入射波 散射波（球面波） 记散射波，散射波沿的几率流密度为 单位时间穿过球面单位面积的散射粒子数。，于是有 几率幅。实验测量；理论计算 由S-方程求。 级数法 分波法两种解法Green函数法 *L-S方程 波恩近似（一级近似）12.2 分波法（主要讲思路）原则上，分波法是普遍的严格方法；实用中，只能作近似处理 适用于低能散射。一、S-方程的通解 入射波的能量。记 。令 ，R（r）满足：， 。二、径向方程的渐近解令 ： 。我们关心的是的渐近行为，此时U（r）=0： 这后一步是重新写待定常数。三、散射幅由前知： （1）与 比较得 f() （2）为了比较两式，将用展开 由数理方法知：。球贝塞尔函数在的渐近行为是，。代入（2）式，与（1）式联立，并利用 可得以下两式：， 。由的正交性和第一式得：，代人第二式得： 。（具体细节见教材）四、散射截面与相移 。（利用了，及的归一化）由此可见，只要求出。的物理意义： 入射波 散射波 ，可见，为第l个分波的相移 散射波与入射波相位之差。五、分波法的适用范围问题：“”有无穷项，但只要级数收敛得快只须计算前几项。条件？用半经典方法估算：入射粒子动量，力程a，碰撞参数b 经典角动量。受力粒子ba 量子角动量，即。可见，k越小 越小，使用分波法越方便。核力力程，当，只须考虑l=0，1（s，p波）。对很低的能量，只须考虑l=0 s波：球对称，与无关。引导学生自学教材P409例题 解S-方程，与入射波比较求得。根据例题兰姆桑效应；推广到球对称常势垒（自学）。作业：习题12.2、2，5。12.3 玻恩近似当能量很高时，不宜使用分波法 本节介绍另一种近似方法：玻恩近似。有力程时才起作用。故有。一、的计算 初态：， 沿z轴入射。 末态：， 弹性散射 。 。由归一化条件知，内的粒子数为1 跃迁速率。这种条件下的跃迁速率由费米黄金规则给出。已知（习题11.2、2）： ， 。 令 ， 由矢量三角形知 。 取坐标系，使轴，以便对积分： 。 由 可得：*玻恩近似实际上是Green函数法求解散射问题的李普曼-许温格方程（L-S方程）的一级近似（负号是由Green函数法直接计算得到的）。二、玻恩近似成立的条件 计算汤川势： ， a为力程。，。（思考：如果取库仑势 1/r计算，会出现什么情况？为什么？如何理解？）现在分析玻恩近似的条