圆周率π的若干恒等式研究.doc

论文题目圆周率的若干恒等式研究作 者：王 彦 玲系 班：数本0702班专 业：数学与应用数学学 号：200705111096指导老师：兰 旺 森1目 录1.引言12.圆周率 的发展简史12.1 手算时代12.1.1 无算法记录的时代12.1.2 割圆术”算法时代22.1.3 微积分算法时代32.2 计算机时代42.3 古老而年轻的52.4 在数学史上的重要地位53.关于圆周率几个级数恒等式54.关于圆周率的级数恒等式在一些数学计算问题的应用105.结束语12参考文献13附录14致谢1515圆周率的若干恒等式研究数学系本0702班 王彦玲指导老师：兰旺森摘 要：圆周率是一个家喻户晓的数学术语。所谓圆周率，通俗地说就是圆的周长与直径之比。它是一个常数，但同时它既是无理数，又是超越数。一个数学家曾说：历史上一个国家所得到的圆周率的精确程度可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志。本文分三部分对圆周率进行研究阐述，第一部分主要对圆周率的发展历史也就是基本计算方法的发展历史进行阐述，第二部分则是利用高等数学中的无穷级数为工具，对圆周率进行研究得到关于圆周率的几个级数恒等式，通过这几种形式揭示了圆周率的一些特性。最后应用第二部分所研究的关于圆周率的级数恒等式解决一些数学计算问题的例子。关键词: 圆周率, 计算方法, 级数恒等式, 应用。 Some identities about the ratio of the circumferenceWang YanLing Class0702, Mathematics DepartmentTutor: Lan WangSen Abstract: The ratio of the circumference is a well-known mathematical terms. The so-called PI, popularly say is the perimeter of a circle diameter and ratios. It is a constant, but at the same time it is irrational, it is beyond numbers. A mathematician said: the history of the circumference of a country by the accuracy rate of can be as a measure of the level of the country was a sign of the development of mathematics. From three aspects this article explained study of the ratio of the circumference. So this paper divides into three parts of PI to study. for the first part of main expounded that the development history of PI is also the development history of the basic calculation method is expounded, the second part of higher mathematics is to use the infinite series as the tool for the study of PI .I get about several series identities, through this several forms reveals some of the characteristics of PI.Finally on the second part of the series pi identities to solve some math problems examples. Finally application the second part of the series identities about PI to solve examples some mathematics calculation of problems.Key words: The ratio of the circumference, Series identities, Calculation method, Application1引言在数学中有许多重要常数, 其中圆周率是最令人感兴趣的一个, 不仅用于圆的计算, 而且也在很多的公式中出现, 就我们现在的中学数学教材来说, 数学中的初等几何、代数中的三角函数、关于无穷级数的计算等等都要用到, 它是我们最熟悉的无理数；在物理学科中也有很多的公式要用到, 比如单摆周期T 的公式中也有它的身影, 还有其他的科学分支中也要用到, 在科学史上有重要的地位。因此在数学史上对圆周率的研究有极其重要的作用，准确计算其值和研究关于圆周率的重要恒等式, 不仅是直接涉及到计算时的需要, 更重要的是通过这一研究促进了数学的发展。在陈仁政所著的说不尽的中比较完整系统的阐述了圆周率的历史发展和简单计算方法，及其数学和实际生活的有趣应用，这对后继者研究有极其重要的作用。现在关于圆周率的恒等式研究仍然是一个重要的课题。本文在对圆周率的历史发展和基本计算方法研究分析的基础上，利用高等数学中的无穷级数为工具，对圆周率进行研究得到关于圆周率的几个级数恒等式。2 圆周率 的发展简史圆是最简单又是最美丽的几何图形，一个传奇的常数把圆的周长、面积和半径紧密联系在一起，我们把这个常数叫做“圆周率”，是圆的周长与直径的比率。它是一个理论和实践上都很重要的数一个无限不循环小数。自有人类文化以来，各国的工程师、工匠都要用到它。名列世界七大奇观之首的埃及金字塔以其巨大的体积和奇异的风格闻名于世，现存最大最完整的金字塔是建造于公元前2600年左右的胡夫金字塔，隐藏着一系列的神秘数字，其中便有神秘的。而在我国有一句木工师傅从古流传下来的口诀：“周三径一， 方五斜七”。意思是说， 直径为1 的圆，周长大约是3； 边长为5的正方形，对角线之长约为七(周髀算经中有述)。对于数学家而言，为了弄清楚是一个什么样的数， 一代又一代的数学家献出了智慧和劳动，而其中的发展史也是数学史上计算方法的发展历史。2.1 手算时代2.1.1 无算法记录的时代最早探求的是古代的巴比伦人, 公元前2000 年左右他们计算出为。圣经记载, 为了测量所罗门修建的一个圆形容器, 使用的的数值是3。1858 年一位英国爱尔兰古董商兰德偶然发现了古埃及一卷草纸, 人们称为“兰德草卷”“。兰德草卷”大约产生于公元前1650年, 是现存世界上最古老的数学书, 它记载有85个数学问题及其解答, 其中就有的值。根据兰德草卷记载, 圆面积的算法为直径减去它的，然后加以平方, 按照这个方式计算, 圆周率大约是3.16049，当时对圆周率仅有粗浅的认识，这时计算出的值大多不是很精确。2.1.2 割圆术”算法时代古希腊人想出了进一步计算出的精确数值的一种方法,希腊人称这种计算方法为“穷竭法”。数学家安提丰和布里森在研究“化圆为方”的问题中，曾分别采用圆的边数不断增加的内接和外切正多边形面积接近圆面积的方法，希腊人称这种计算方法为“穷竭法”。约公元前240 年, 古希腊的天才数学家和物理学家阿基米德(公元前287- 前212) 在圆的量度中记载, 他将“穷竭法”应用于圆的周长和面积公式。从圆内接正六边形和圆外切正六边形出发, 边数逐次加倍, 一直计算到正96边形估算出的数值在至之间。数学史上认为, 这是计算的第一次科学而准确的尝试。在以后的700 年间, 这个值一直都是“最精确”的, 没有人能够取得进一步成就。我国历史上最杰出的数学家之一, 三国时代的刘徽( 约225295 年) , 利用“割圆术”算到圆内接3072 边形时, 进一步得到了=3.1416, 或=。刘徽的割圆术，为圆周率的计算奠定了理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。述说的历史就不能不提到我国南北朝时期的杰出数学家、天文学家和机械发明家祖冲之（429- 500 年)。据隋书律历志记载, 祖冲之采用“割圆术, 画了一个直径一丈的圆，并从正六边形，正十二边形开始, 一直用针尖画出了正24576边形, 经反复计算, 得到3.14159263.1415927。这是世界上最早算出的精确到小数点后六位的圆周率。书中还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另一项重要结果:“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二。”这就是说祖冲之还确定了圆周率的分数形式的近似值：约率；密率。这是一个非常了不起的成就，因为在所有分母不超过16700 的分数中，你会发现，根本找不到比密率更接近的分数了，比它更接近的分数中分母最小的是, 祖冲之当时的计算方法原载于他的著作缀术中, 很可惜的是北宋元丰七年( 1084 年) 刻印各种算经时即已失传.祖冲之的研究成就是空前的, 在以后长达1000多年的时间中, 我国以这一精度一直处于世界的领先地位。为纪念祖冲之在世界数学史上的贡献，将他提出的“密率”称为“祖率”, 莫斯科大学礼堂前的廊壁上, 用彩色大理石镶嵌着的世界著名科学家肖像中就有祖冲之, 在月球背面有一座环形山, 就被命名为“祖冲之环形山”。2.1.3 微积分算法时代17 世纪牛顿发明了微积分，他用来计算曲线的同时还潜心研究了的数值, 他说：“这个小数值确实让我着迷，难以自拔, 我对值进行了无数次计算。”当他发明了微积分后, 终于创造出一种新的计算值的方法，不久, 科学家们运用微积分方法就将值迅速向前推进。1673年莱布尼兹（Leibuniz.cottferied Wilhelm）得到的两个无穷级数的表达式：， 1676年英国科学家牛顿(Newton Isaac) 得出： 当时， 1706 年J.麦金（John Machin）首次利用格列格里的级数和公式：1734年至1735年L欧拉（Euler Leonhand）得到公式：将值扩展到小数点后100 位。 到18 世纪后期, 随着微积分的不断发展和完善, 将圆形变成无限多边形求值的方法正式退出了历史舞台。其实,“割圆术”算法时代, 也可以看成是积分学的萌芽时期, 从这一个角度来说, 值计算的发展史还蕴涵着微积分的发展历史。2.2 计算机时代前面长达3000 多年的时代, 数学家们都是用手计算值, 有的甚至花毕生的精力来做这些繁杂的计算工作, 多少代数学家的努力, 在1947 年两个美国人将记录推至小数点后1120 位, 这是人工手算圆周率的最高记录。但是, 随着1945 年第一台电子计算机问世后, 值的计算不断迈入新的阶段,记录不时被刷新, 1950 年, 三位美国科学家利用计算机将圆周率算至小数点后2037 位, 前后花去70个小时的上机时间。随着数学的发展, 数学家们在进行数学研究时有意无意的发现了许多计算圆周率的公式, 运用数学分析和计算机技术使得值越来越精确, 2002 年12 月日本东京大学的金田康正教授宣布, 耗费601 小时56 分更新了圆周率计算位数的全球记录, 最新的为12411 亿位。在使用计算机计算的时代, 圆周率的计算公式和计算方法也不断更新, 其中基于1914 年印度数学家拉玛奴扬( Ramanujan,S.1887- 1920 年) 的文章“模方程和的逼近” 中提出的当时计算值最快的公式, 建立了椭圆积分变换理论上的计算方法。在日本由金田教授和日立共同开发的名为分解有理数化法( DRM法) 的计算方法。事实上, 我们在实际运算中往往只取的前几位数就可以了, 但是人们为什么仍然对的精确推算乐此不疲呢？ 德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度, 可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。” 纵观的计算发展史, 可见此话确有一番道理.在计算机技术高度发达的今天, 计算值又被认为对测试计算机的性能具有科学价值, 如上述提到的日立公司认为通过计算圆周率, 可以进一步提高编译器、数值计算和节点间通信的程序库、磁记录设备的输入输出性能调节以及长时间高速稳定运行技术。 除了前面提到的圆周率发展历史上主要的算法外,的计算还有其他的算法概率算法。它出现在计算机问世之前, 也叫做投针法计算值。法国博物学家布丰致力于宇宙和物种的研究, 自然涉及到了数学的一个分支概率论。向一张画有圆的大纸上随机地投一枚小石子,投中圆的可能( 概率) 恰好等于圆的面积比上矩形的面积, 由此, 可通过统计落入圆内石子的次数和总的次数来计算出圆的面积, 进一步可以算出圆周率的近似值。 2.3 古老而年轻的说是古老的, 因为从它的发展历史来看4000 多年前就开始探求它, 而又是年轻的, 是因为的来历不容易说明, 是一个无限不循环小数, 严格的说明这一点是近200 多年的事情.1761年, 兰伯特( Lambert,J.H.) 证明是无理数; 1882年, 德国的林德曼( Lindemann,C.L.F.) 证明了不是任何一个整系数代数方程式的根, 即是超越数.这就证明了: 用圆规和直尺画一个和直径为一的圆的面积相等的正方形是办不到, 宣布了2000多年前提出的三大几何难题之一“化圆为方”问题不可解. 2.4 在数学史上的重要地位作为数学上的一个重要常数, 不仅用于圆的计算, 而且也在很多的公式中出现, 就我们现在的中学数学教材来说, 数学中的初等几何、代数中的三角函数、关于无穷级数的计算等等都要用到, 它是我们最熟悉的无理数；在物理学科中也有很多的公式要用到，比如单摆周期T 的公式中也有它的身影，还有其他的科学分支中也要用到，在科学史上有重要的地位。因此在数学史上对圆周率的研究有及其重要的作用，准确计算其值和研究关于圆周率的几个恒等式, 不仅是直接涉及到计算时的需要, 更重要的是通过这一研究促进了数学的发展。同时从其发展史可以看出在计算圆周率的过程中用到了极限的概念、微积分的思想、我们还要有实数的理论,除了这些以外, 还要靠数学和科学技术的发展，它展示了数学思想、方法的发展历程，在寻求圆周率的计算过程中也发现了很多的问题， 从而推动了数学的发展, 促使人们不断为提高计算速度而寻找新的计算方法、改进计算的手段。正如文中提到的“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志.”因此, 圆周率的发展历史从一个侧面反映了数学的发展历史尤其是算法的发展史，而且还是计算机科学的发展史, 代表了当时的计算机科学的水平。3.关于圆周率几个级数恒等式圆周率的研究是数学史上的重要课题，利用无穷级数的工具，对圆周率进行研究，得到了关于的几个级数恒等式，从而以这种形式揭示了圆周率的一些特性，现分别叙述并加以证明。 对圆周率有 证明：这里实际上是右端级数求和的问题，因此需考虑辅助幂级数由于幂级数的收敛域为（-1，1），对于，级数可逐项求积分： 故 对圆周率有 证明：由于函数 当时， 故 当时，所以 对圆周率有 证明：由于函数项级数 上式两端求导得： 即 令 时， 即 对圆周率有 证明：设因为 由于幂级数的收敛域为（-1，1），对于，级数可逐项求积分： 于是的幂级数展开式为 当时所以 对圆周率有 证明：首先令 ， 同理：所以 对圆周率有 证明：设函数，。由于是偶函数，所以，由计算可得由于在中逐段光滑，因此令时，即有4.关于圆周率的级数恒等式在一些数学计算问题的应用关于圆周率的级数恒等式在高等数学中有广泛的应用，特别是在高等数学中求级数和时有极广泛应用，下列举例说明。 计算 ，解：设 因为 所以 即 ， 计算级数 解：设 因为 又由于所以 即 5.结束语圆周率是很奇妙的常数，同时它既是无理数，又是超越数，具有不可估量的研究价值，而且在各个学科领域中有着广泛的运用。鉴于本人的数学水平，本文只是对圆周率在计算和恒等式的研究中做了较为粗浅的探讨，得出一些关于圆周率的数个级数恒等式，并利用这些恒等式解决了一些高等数学中计算级数和的问题。事实上，还有很多的问题需要做进一步的研究，比如，在C语言课程中的应用等等。由于本人才疏学浅，文中论述有不当或不全面之处，恳请各位老师批评指正。参考文献1 陈仁政.说不尽的M.北京：科学出版社，2005.2 陈传璋.数学分析M.北京：人民教育出版社，2005.3 刘玉琏，傅市仁.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社,2005.4 王伯年.用反正切函数的级数计算圆周率的研究J.上海理工大学学报,2005，3(27): 271-273.5 吴自库.的级数计算方法J.青岛农业大学学报,2008，9(15): 337.6 曾利江.关于圆周率几个级数恒等式J.遵义师范学院学报,2007，27(5):47-4.附录现代关于圆周率的传奇1949年美国人用世界上第一台电子计算机“ENIAC”花费了70小时计算圆周率到2037位小数，不到50年，1997年日本东京大学大型计算机中心教授金田康正和助手高桥大介计算圆周率到515.396亿位小数，刷新了两年前他们创造的64亿位小数的世界记录。日本京都市区的中学教师长谷川千先生将圆周率的“简谱”用五线谱谱写出世界独一无二的“数学乐曲”，通过小学一年级和三年级五个班级的小学生“试听”，效果相当显著，小学生们普遍反应“神秘的乐曲，奇妙的数学”。他将圆周率的209位小数作为“简谱”，用五线谱谱写了