常微分方程的Euler解法.docVIP

毕 业 论 文题 目： 常微分方程的Euler解法 及其程序设计 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2011年6月 学生姓名： 学 号： 指导教师： 常微分方程的Euler解法及其程序设计摘要 本文总结了常微分方程的Euler解法，对各种格式给出了误差估计，设计了这些格式的计算程序关键词 常微分方程；Euler解法；误差分析；程序设计Euler Method of Ordinary Differential Equation and Its ProgrammingAbstract Euler method of ordinary differential equation is summarized，the error of each format is analyzed and its programming is designed in this paper.Keywords Ordinary differential equation; Euler method; Error analysis; Programming科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式，即为微分方程 （1）的初值问题 （2）定理 （存在与唯一性定理）如果方程（1）的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：（1）在上连续；（2）在上关于变量满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点和有不等式：,则初值问题（2）在区间上存在唯一解,其中 根据存在与唯一性定理，只要关于满足Lipschitz条件 ，即可保证其解存在并唯一然而解析方法只能用来求解少数较简单和典型的常微分方程，例如线性常系数微分方程等，对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说，因此，在大多数情况下，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法求解所谓数值解法，就是寻找在一系列离散节点上的近似值相邻两个节点的间距称为步长，假定为定数，节点为.1 Euler解法（1）Euler格式Euler格式的计算公式为 . （3）下面用4种方法推导公式（3）a 泰勒展开法在处展开有 , （4）略去余项，得.用近似值代替，把上式右端所得结果记为，得 .b 数值差商由导数定义知，所以.用代替，把上式右端所得结果记为，即得公式（3）.c 数值积分在区间上对微分方程（1）进行积分，得, （5）利用左矩形公式得.用代替，把上式右端所得结果记为，即得公式（3）.d 几何方法在平面中，微分方程的解称为它的积分曲线积分曲线上的一点的切线斜率等于函数的值如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上的每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致基于上述对微分方程解的几何解释，从初始点出发，依方向场在该点的方向上推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上的一点循环前进，可作出一条折线（如图1）图1一般地，设已作出该折线的极点，过依方向场的方向再推进到，显然，两个极点，的坐标有下列关系：,.若初值已知，则依上式可逐步算出，.即得Euler格式的计算公式（3）.（2）梯形格式如果用梯形公式计算（5）式右端的积分，得 .对于上式右端，用代替，把上式右端所得结果记为，即得梯形公式 . （6） 梯形公式（6）是关于的隐式方程，因此称梯形法为隐式方法，而公式（3）是的显式形式，因此称欧拉法为显式方法（3）改进的Euler格式先用Euler格式求得一个初步的近似值，称之为预测值，预测值的精度可能很差，再用梯形公式将它校正一次，得，这个结果称之为校正值而这样建立的预测校正系统通常称为改进的Euler格式预测 校正 这一计算格式亦可表示为：,或表示为下列平均化形式：2 误差与精度（1）截断误差在实际计算中，即使初始值是准确的，但所得的数值解往往与初始值问题的准确解有一定的误差.用,表示在节点处准确解与数值解之差，称之为整体截断误差，它不仅与这步计算有关，而且与这些步计算有关.为方便估计，假定为准确的，即在的前提下估计误差,这种误差称为局部截断误差. 如果局部截断误差这里是等距节点的步长，则称所用的数值解的方法的阶数是，或称该方法有阶精确度.显然，步长越小，阶数越高，则局部截断误差越小，计算结果的精度也越高.（2）Euler格式是一阶方法首先，可以通过几何直观来考察Euler格式的精度假设，即顶点落在积分曲线上，那么，按Euler格式作出的折线便是过点的切线（如图2）从图形上看，这样定出的顶点显著地偏离了原来的积分曲线，可见Euler格式是相当粗糙的图2首先考虑Euler格式的局部截断误差，由（4）式得 .由Euler格式，有,上面两式相减，则Euler格式的局部截断误差显然为.若令,则有,这表明Euler格式是一阶方法.下面考虑Euler格式的整体截断误差.由（3）式和（4）式，有,.两式相减得.由Lipschitz条件及，有.反复使用这个不等式，得.又，所以.上式表明，Euler格式的整体截断误差由初始误差和局部截断误差界决定.又，所以，则.这表明当时，也就是说当充分小时近似值能和充分接近，即数值解是收敛的.综上所述，Euler格式的整体截断误差比局部截断误差低一阶,这表明Euler格式的精度是比较差的，为了提高精度，减小误差，可采用梯形格式.（3）梯形格式是二阶方法首先考察梯形格式的局部截断误差.由泰勒展式，有 ， （7） . （8）由（8）式，有.将上式代入（7）式，得 , （9）又由梯形公式（6），有 . （10）由微分中值定理，有 ,这里是介于与之间的值，将上式代入（10）式，有.将上式与（9）式相减，得梯形格式的局部截断误差为,即有.因此梯形方法是二阶方法.梯形方法是隐式的，可用迭代法求解，其迭代公式如下： .下面分析迭代过程的收敛性：因为，于是有，式中为对满足Lipschitz常数，如果选取充分小，使得，则当时有，这说明迭代过程是收敛的可见，梯形格式虽提高了精度，但在应用迭代公式进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数f的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，为减小计算量，便可采用改进的Euler格式3 程序设计（1）Euler格式的算法及其程序设计应用Euler方法计算初值问题 的解在区间上的N个等距点的近似值的算法 输入 端点; 区间等分数N; 初值 输出 在的N个点处的近似值 对做 输出 停机例：求解初值问题 .源程序如下：# include # include void main() int i; double a,b,c,h,t,y,z; a=0; b=1; c=1; h=(b-a)/10; t=a; y=c; for(i=1;i=10;i+) y=y+h(y-2*t/y); t=a+i*h; z=sqrt(1+2*t); printf(%f %f %fn,t,y,z); 运行结果如下：（2）改进的Euler格式的算法及其程序设计应用改进的Euler方法计算初值问题 的解在区间上的N+1个等距点的近似值的算法输入 端点; 区间等分数N; 初值输出 在的N+1个点处的近似值 输出 对做 输出 停机下面用改进的Euler格式计算上面的例题：求解初值问题 .源程序如下：# include # include void main() int i; double a,b,c,h,t,y,y1,y2,z; a=0; b=1; c=1; h=(b-a)/10; t=a; y=c; for(i=1;i=10;i+) y1=y+h(y-2*t/y); t=a+i*h; y2=y+h(y1-2*t/y1); y=(y1+y2)/2; z=sqrt(1+2*t); printf(%f %f %fn,t,y,z); 运行结果如下：从上面的运行结果可以看出，该常微分方程欧拉解法的精确解和其数值解很接近由此可知，常微分方程欧拉解法对大量计算数据来说精度是很高的，可以满足绝大多数工程上的要求由于欧拉解法的稳定性和收敛性，可以通过减少的值来进一步提高其精度参考文献1 李庆扬，王能超，易大义数值计算方法M武汉：华中科技大学出版社，20062 林成森数值计算方法M北京：科学出版社，20053 李信真，车刚明，欧阳洁，封建湖计算方法M西安：西北工业大学出版社，20004 朱长青数值计算方法及其应用M北京：科学出版社，20065 曾喆昭，文卉数值计算M北京：清华大学出