试验设计和数据处理ppt课件.ppt

试验设计与数据处理 1 试验设计与数据处理的发展概况 20世纪20年代 英国生物统计学家及数学家费歇 R A Fisher 提出了方差分析20世纪50年代 日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的 优选法 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计 绪论 2 3 4 5 6 7 8 本课程研究内容 研究如何合理地安排实验 有效地获得实验数据 然后对实验数据进行综合的科学分析 以求尽快达到优化实验的目的 本课程开设的目的 将数学的纯理论转向实际应用 利用数学工具解决实际的化学 化工及环境专业问题 无论是对于目前大家即将面临的专业课学习 毕业论文实验 还是将来的生产实践 都是很有必要的 9 试验设计与数据处理所要解决的问题 在自然界中 有很多的现象是没有一个特定的规律 即没有一个数学模型 是不能用我们以前所学的知识所能解决的 在我们化学研究领域更是如此 比如我们在材料研究中 要研制一种新型纳米材料 它是由许多种原材料配合 再通过一定的反应过程而成 可以用多少种材料来配料 需要什么样的反应条件 这都是未知数 而且没有一定的规律可言 那就需要我们进行大量的试验来寻找它的配方及反应条件 试验设计所要作的工作就是用最少的试验次数 尽快找出这些参数的最佳范围 数据处理是对试验数据进行分析后 去掉那些对试验影响不大的因素 来确定最佳的试验方案 10 二 关于实验设计与数据处理本课程中主要应用的是数理统计中的统计方法理论 主要考虑的是与实验设计有关的分析并解释实验结果的统计方法 如误差检验 方差分析 回归分析等 凡是涉及到数据的问题 只要数据中包含有相当大的实验误差 则获得满意结果的唯一稳妥的处理方法就是统计方法 除此之外别无他择 统计方法应当作为从事工业生产的科技人员所必须掌握的一门技术 用来有效地处理工业生产中的各种问题 鉴于此 本课程重点讲授应用统计学理论来解决化学 化工及环境科学与工程中的遇到的实验问题 11 举例说明统计学在环境科学中的应用 化工厂经常把有毒废弃物排放到附近的河流中 这些有毒化学品对栖息在河流中的动植物往往会产生有害的影响 众所周知的DDT就对鱼类特别有害 对生活在某河流中的鱼类进行DDT含量的调查曾是一项研究工作的一部分 该河流是一条东西流向的河流 穿过一个水库 生态学家担心受污染的鱼会从河口迁移到水库危及那里的依赖鱼类生存的其他野生动物 该河干流及其支流的鱼是否被DDT污染 受污染的鱼能迁移到上游多远的地方 提出了假设 12 为了回答这个问题 调查组沿着该河干流和支流进行了实地考察 在不同的地段采集鱼样共144条 由假设拟定抽样调查的方案 对采集来的鱼样进行分类 称重 测量长度 然后用有机溶剂提取鱼肉中的DDT 测定鱼肉中的DDT含量 从调查和试验中获取数据 很明显 这项调查并不是去捕捞河里所有的鱼 144个DDT测定值代表着从河中之鱼DDT含量这个总体中收集的一个样本 利用收集到的数据可以比较不同地段和不同鱼种之间鱼肉中DDT的含量 并确定鱼的长度和重量与DDT含量之间是否有定量关系等等 分析数据 从样本推断总体 此例题说明了对环境问题的分析程序是 提出假设 采样 获取数据 分析数据 从样本推断总体 13 涉及到的一些基本术语 总体 欲研究对象的全体 又称母体个体 组成总体的每个单元为个体 总体单位 样本 总体的一部分 即从总体中抽取的部分个体 子样 数据 data 对研究对象进行调查和观察的结果 定性数据 定量数据 变量 variable 具有变异性的特征或性状的量变量 采集地点 鱼种 鱼长 鱼重 鱼中DDT的浓度定量数据 鱼长 鱼重 DDT浓度产生的数据定性数据 采集地点 鱼种变量产生的数据 14 试验设计与数据处理的意义 试验设计的目的 合理地安排试验 力求用较少的试验次数获得较好结果例 某试验研究了3个影响因素 A A1 A2 A3B B1 B2 B3C C1 C2 C3全面试验 27次正交试验 9次 15 数据处理的目的 通过误差分析 评判试验数据的可靠性 确定影响试验结果的因素主次 抓住主要矛盾 提高试验效率 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系 并能对试验结果进行预测和优化 试验因素对试验结果的影响规律 为控制试验提供思路 确定最优试验方案或配方 16 实验可归纳为以下几种类型 1 物化性质研究 一般不常用统计方法 2 产品 原料等的常规分析 系统误差大于随机误差 对误差需进行一定的设计 若想获得可靠的估计值 最好的方法就是采用统计方法 3 材料特性试验 随机误差较大 为了获得可靠的估计值 必须从相当数量的观测值中取均值 凡是涉及此类实验的研究工作 均需采用统计法的合理设计 4 过程研究 主要涉及的是各种实验条件的优化实验 需要对各种条件变化对过程的影响进行系统性研究 需要用到统计法的实验设计与数据处理知识 17 18 19 20 21 本课程的讲授内容安排 1 数据处理基础 误差理论 数据的表示方法 2 数据处理部分 有限数据的统计处理 方差分析 回归分析 3 实验设计部分 优选法实验设计 正交实验设计 4 教材 试验设计与数据处理 第二版 李云雁 胡传荣编著 化工出版社 2008 22 第1章试验数据的误差分析 第1章试验数据的误差分析 23 1 数据测量 1 1数据测量的基本概念 1 物理量物理量是反映任何物理现象的状态及其过程特征的数值量 任何物理量一般都有如下特点 物理量都是有相应的单位 数值为1的物理量称为单位物理量 同一物理量可以用不同的物理单位来描述 如能量可以用焦耳 千瓦小时等不同单位来表述 2 测量以确定量值为目的的一组操作 操作的结果可得到量值 即得到数据 这组操作称为测量 例如 用米尺测得桌子的长度为1 2米 3 测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测量物理量的最佳估计 既是物理量真值的最佳估计 在测量结果的完整表述中 应包括测量误差 必要时还应给出自由度及置信概率 测量结果具有重复性和复现性 24 重复性是指在相同测量条件下 对同一被物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性 相同测量条件既称之为 重复性条件 主要包括 相同的测量程序 相同的测量仪器 相同的观测者 相同的地点 在短期内的重复测量 相同的测量环境 若每次的测量条件相同 则在一定的误差范围内 每一次测量结果的可靠性是相同的 这些测量值服从同一分布 复现性是指在改变测量条件下 对被测量进行多次测量时 每一次测量结果之间的一致性 即在一定的误差范围内 每一次测量结果的可靠性是相同的 这些测量值服从同一分布 4 测量方法根据给定的测量原理 在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法 常见的有替代法 微差法 零位法 异号法等 数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小 25 1 2数据测量的分类一 按计量的性质分为 检定 检验和校准检定 由法定计量部门 为确定和证实计量器具是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作 检定是由国家法定计量部门所进行的测量 在我国主要是由各级计量院所以及授权的实验室来完成 是我国开展量值传递最常用的方法 检定必须严格按照检定规程运作 对所检仪器给出符合性判断 既给出合格还是不合格的结论 而该结论具有法律效应 检定方法一般分为整体检定法和分项检定法两种 检测 对给定的产品 材料 设备 生物体 物理现象 工艺过程或服务 按照一定的程序确定一种或多种特性或性能的技术操作 检测通常是依据相关标准对产品的质量进行检验 检验结果一般记录在称为检测报告或检测证书的文件中 校准 在规定条件下 为确定测量仪器或测量系统所指示的量值 或实物量具或参考物质所代表的量值 与对应的由标准所呈现的量值之间关系的一组操作 二 按测量目的的分类分为 定值测量和参数检验定值测量 按一种不确定度确定参数实际值的测量 其目的是确定被测量的量值是多少 通常预先限定允许的测量误差 参数检验 以技术标准 规范或检定规程为依据 判断参数是否合格的测量 其目的是判断被检参数是否合格 通常预先限定参数允许变化的范围 如公差等 26 三 按测量值获得的方法分为 直接测量 间接测量和组合测量 一 直接测量法用一个预先标定好的测量仪器去直接测量未知物理量的大小 如用万用表去测量电压 电阻 电流等 用圈尺去测量长度 用磅称测量重量等 直接测量可表示为y x式中y表示被测量的未知量 x为直接测得的量 在由若干基本物理单位导出的物理量中 有相当多的量是无法用仪表直接测出的 如粉磨效率 选粉机的效率等 此时只能用间接测量法进行测量 27 二 间接测量法把直接测量代入某一特定的函数关系式中 通过计算求出未知物理量的大小 这种方法 间接测量法 例如 用毕托管测量气流速度 直接测量压差值 h 计算 的特定函数关系式为 1 2 式中 h U型差压计的读数 毕托管速度系数 g 重力加速度 流体和差压计中流体密度 28 间接测量通用的函数关系式为式中 y间接测量量 直接测量量 三 组合测量法 要测量出x和y 分别对x y和x y进行直接测量 得到测量值分别为l1和l2 可得测量方程组 29 解方程组得 组合测量可以用如下的通用联立方程组表示 式中 f1 f2 fn 表示组合测量中的函数关系x1 x2 直接测量的物理量y1 y2 未知的物理量 30 误差分析 erroranalysis 对原始数据的可靠性进行客观的评定误差 error 试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致试验结果都具有误差 误差自始至终存在于一切科学实验过程中客观真实值 真值 1 3误差的概念 31 1 3 1真值与平均值 1 3 1 1真值 truevalue 真值 在某一时刻和某一状态下 某量的客观值或实际值真值一般是未知的相对的意义上来说 真值又是已知的平面三角形三内角之和恒为180 国家标准样品的标称值国际上公认的计量值高精度仪器所测之值多次试验值的平均值 32 1 3 1 2平均值 mean 1 算术平均值 arithmeticmean 等精度试验值 适合 试验值服从正态分布 33 2 加权平均值 weightedmean 适合不同试验值的精度或可靠性不一致时 wi 权重 加权和 34 3 对数平均值 logarithmicmean 说明 若数据的分布具有对数特性 则宜使用对数平均值对数平均值 算术平均值如果1 2 x1 x2 2时 可用算术平均值代替 设两个数 x1 0 x2 0 则 35 4 几何平均值 geometricmean 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时 宜采用几何平均值 几何平均值 算术平均值 设有n个正试验值 x1 x2 xn 则 36 5 调和平均值 harmonicmean 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合调和平均值 几何平均值 算术平均值 设有n个正试验值 x1 x2 xn 则 37 1 3 2误差的基本概念 1 3 2 1绝对误差 absoluteerror 1 定义绝对误差 试验值 真值或 2 说明 真值未知 绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围 绝对误差限或绝对误差上界 或 38 绝对误差估算方法 最小刻度的一半为绝对误差 最小刻度为最大绝对误差 根据仪表精度等级计算 绝对误差 量程 精度等级 39 1 3 2 2相对误差 relativeerror 1 定义 或 或 2 说明 真值未知 常将 x与试验值或平均值之比作为相对误差 或 40 可以估计出相对误差的大小范围 相对误差限或相对误差上界 相对误差常常表示为百分数 或千分数 41 1 3 2 3算术平均误差 averagediscrepancy 定义式 可以反映一组试验数据的误差大小 42 1 3 2 4标准误差 standarderror 当试验次数n无穷大时 总体标准差 试验次数为有限次时 样本标准差 表示试验值的精密度 标准差 试验数据精密度 43 1 定义 以不可预知的规律变化着的误差 绝对误差时正时负 时大时小 2 产生的原因 偶然因素 3 特点 具有统计规律小误差比大误差出现机会多正 负误差出现的次数近似相等当试验次数足够多时 误差的平均值趋向于零可以通过增加试验次数减小随机误差随机误差不可完全避免的 1 4 1随机误差 randomerror 1 4试验数据误差的来源及分类 44 1 4 2系统误差 systematicerror 1 定义 一定试验条件下 由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差 2 产生的原因 多方面 3 特点 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的它不能通过多次试验被发现 也不能通过取多次试验值的平均值而减小只要对系统误差产生的原因有了充分的认识 才能对它进行校正 或设法消除 45 1 4 3过失误差 mistake 1 定义 一种显然与事实不符的误差 2 产生的原因 实验人员粗心大意造成 3 特点 可以完全避免没有一定的规律 46 47 1 4 1精密度 precision 1 含义 反映了随机误差大小的程度在一定的试验条件下 多次试验值的彼此符合程度例 甲 11 45 11 46 11 45 11 44乙 11 39 11 45 11 46 11 50 2 说明 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的试验过程足够精密 则只需少量几次试验就能满足要求 1 5试验数据的精准度 48 3 精密度判断 极差 range 标准差 standarderror R 精密度 标准差 精密度 49 方差 variance 标准差的平方 样本方差 s2 总体方差 2 方差 精密度 50 1 4 2正确度 correctness 1 含义 反映系统误差的大小 2 正确度与精密度的关系 精密度不好 但当试验次数相当多时 有时也会得到好的正确度 精密度高并不意味着正确度也高 a b c 51 1 4 3准确度 accuracy 1 含义 反映了系统误差和随机误差的综合表示了试验结果与真值的一致程度 2 三者关系无系统误差的试验 精密度 A B C正确度 A B C准确度 A B C 52 有系统误差的试验 精密度 A B C 准确度 A B C A B C 53 1 5 1随机误差的检验 1 5试验数据误差的统计假设检验 1 目的 对试验数据的随机误差或精密度进行检验 2 检验步骤 计算统计量 54 查临界值 一般取0 01或0 05 表示有显著差异的概率 双侧 尾 检验 two sided tailedtest 检验 若 则判断两方差无显著差异 否则有显著差异 55 单侧 尾 检验 one sided tailedtest 左侧 尾 检验 则判断该方差与原总体方差无显著减小 否则有显著减小 右侧 尾 检验 则判断该方差与原总体方差无显著增大 否则有显著增大 若 若 56 1 5 1 2F检验 F test 1 目的 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 2 检验步骤 计算统计量 设有两组试验数据 都服从正态分布 样本方差分别为 和 和 则 第一自由度为 第二自由度为 服从F分布 57 查临界值给定的显著水平 查F分布表 临界值 双侧 尾 检验 two sided tailedtest 检验 若 则判断两方差无显著差异 否则有显著差异 58 单侧 尾 检验 one sided tailedtest 左侧 尾 检验 则判断该判断方差1比方差2无显著减小 否则有显著减小 右侧 尾 检验 则判断该方差1比方差2无显著增大 否则有显著增大 若 若 59 1 5 2系统误差的检验 1 5 2 1t检验法 1 平均值与给定值比较 目的 检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异 检验步骤 计算统计量 给定值 可以是真值 期望值或标准值 60 双侧检验 若 则可判断该平均值与给定值无显著差异 否则就有显著差异 单侧检验 左侧检验 若 且 则判断该平均值与给定值无显著减小 否则有显著减小 右侧检验 若 且 则判断该平均值与给定值无显著增大 否则有显著增大 61 2 两个平均值的比较目的 判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异 计算统计量 两组数据的方差无显著差异时 s 合并标准差 62 两组数据的精密度或方差有显著差异时 服从t分布 其自由度为 t检验 63 双侧检验 若 则可判断两平均值无显著差异 否则就有显著差异 单侧检验 左侧检验 若 且 则判断该平均值1较平均值2无显著减小 否则有显著减小 右侧检验 若 且 则判断该平均值1较平均值2无显著增大 否则有显著增大 64 3 成对数据的比较目的 试验数据是成对出现 判断两种方法 两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 计算统计量 成对测定值之差的算术平均值 零或其他指定值 n对试验值之差值的样本标准差 65 t检验若 否则两组数据之间存在显著的系统误差 则成对数据之间不存在显著的系统误差 66 1 5 2 2秩和检验法 ranksumtest 1 目的 两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差 两种方法是否等效等 不要求数据具有正态分布 2 内容 设有两组试验数据 相互独立 n1 n2分别是两组数据的个数 假定n1 n2 将这个试验数据混在一起 按从小到大的次序排列每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩 rank 将属于第1组数据的秩相加 其和记为R1R1 第1组数据的秩和 ranksum 如果两组数据之间无显著差异 则R1就不应该太大或太小 67 查秩和临界值表 根据显著性水平 和n1 n2 可查得R1的上下限T2和T1检验 如果R1 T2或R1 T1 则认为两组数据有显著差异 另一组数据有系统误差如果T1 R1 T2 则两组数据无显著差异 另一组数据也无系统误差 68 3 例 设甲 乙两组测定值为 甲 8 6 10 0 9 9 8 8 9 1 9 1乙 8 7 8 4 9 2 8 9 7 4 8 0 7 3 8 1 6 8已知甲组数据无系统误差 试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差 0 05 解 1 排序 69 2 求秩和R1R1 7 9 11 5 11 5 14 15 68 3 查秩和临界值表对于 0 05 n1 6 n2 9得T1 33 T2 63 R1 T2故 两组数据有显著差异 乙组测定值有系统误差 70 秩和临界值表 71 1 5 3异常值的检验 可疑数据 离群值 异常值一般处理原则为 在试验过程中 若发现异常数据 应停止试验 分析原因 及时纠正错误试验结束后 在分析试验结果时 如发现异常数据 则应先找出产生差异的原因 再对其进行取舍在分析试验结果时 如不清楚产生异常值的确切原因 则应对数据进行统计处理 若数据较少 则可重做一组数据对于舍去的数据 在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法 72 1 5 3 1拉依达 检验法 内容 可疑数据xp 若 则应将该试验值剔除 说明 计算平均值及标准偏差s时 应包括可疑值在内 3s相当于显著水平 0 01 2s相当于显著水平 0 05 73 可疑数据应逐一检验 不能同时检验多个数据首先检验偏差最大的数剔除一个数后 如果还要检验下一个数 应重新计算平均值及标准偏差方法简单 无须查表该检验法适用于试验次数较多或要求不高时3s为界时 要求n 102s为界时 要求n 5 74 有一组分析测试数据 0 128 0 129 0 131 0 133 0 135 0 138 0 141 0 142 0 145 0 148 0 167 问其中偏差较大的0 167这一数据是否应被舍去 0 01 解 1 计算 例 2 计算偏差 3 比较 3s 3 0 01116 0 0335 0 027 故按拉依达准则 当 0 01时 0 167这一可疑值不应舍去 75 2 格拉布斯 Grubbs 检验法 内容 可疑数据xp 若 则应将该值剔除 Grubbs检验临界值 76 格拉布斯 Grubbs 检验临界值G n 表 77 说明 计算平均值及标准偏差s时 应包括可疑值在内可疑数据应逐一检验 不能同时检验多个数据首先检验偏差最大的数剔除一个数后 如果还要检验下一个数 应重新计算平均值及标准偏差能适用于试验数据较少时格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小 或两个数据偏大的情况 例 78 3 狄克逊 Dixon 检验法 单侧情形将n个试验数据按从小到大的顺序排列 x1 x2 xn 1 xn如果有异常值存在 必然出现在两端 即x1或xn计算出统计量D或D 79 统计量D计算公式 80 双侧情形计算D和D 查双侧临界值 检验 查单侧临界值检验 81 说明 适用于试验数据较少时的检验 计算量较小单侧检验时 可疑数据应逐一检验 不能同时检验多个数据剔除一个数后 如果还要检验下一个数 应重新排序 82 1 6 1有效数字 significancefigure 能够代表一定物理量的数字有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度数据中小数点的位置不影响有效数字的位数例如 50 0 050m 5 0 104 m第一个非0数前的数字都不是有效数字 而第一个非0数后的数字都是有效数字例如 29 和29 00 第一位数字等于或大于8 则可以多计一位例如 9 99 1 6有效数字和试验结果的表示 83 1 6 2有效数字的运算 1 加 减运算 与其中小数点后位数最少的相同 2 乘 除运算以各乘 除数中有效数字位数最少的为准 3 乘方 开方运算 与其底数的相同 例如 2 42 5 8 4 对数运算 与其真数的相同例如ln6 84 1 92 lg0 00004 4 84 5 在4个以上数的平均值计算中 平均值的有效数字可增加一位 6 所有取自手册上的数据 其有效数字位数按实际需要取 但原始数据如有限制 则应服从原始数据 7 一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的例如 圆周率 重力加速度g 1 3等 8 一般在工程计算中 取2 3位有效数字 85 1 6 3有效数字的修约规则 4 舍去 5 且其后跟有非零数字 进1位例如 3 14159 3 142 5 其右无数字或皆为0时 尾留双 若所保留的末位数字为奇数则进1若所保留的末位数字为偶数则舍弃例如 3 1415 3 1421 3665 1 366 86 1 7误差的传递 误差的传递 根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差1 7 1误差传递基本公式间接测量值y与直接测量值xi之间函数关系 全微分 87 函数或间接测量值的绝对误差为 相对误差为 误差传递系数 直接测量值的绝对误差 间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差 88 函数标准误差传递公式 1 7 2误差传递公式的应用 1 根据各分误差的大小 来判断间接测量或函数误差的主要来源 2 选择合适的测量仪器或方法 89 第2章试验数据的表图表示法 90 2 1列表法 将试验数据列成表格 将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来 1 试验数据表 记录表试验记录和试验数据初步整理的表格表中数据可分为三类 原始数据中间数据最终计算结果数据 91 结果表示表表达试验结论应简明扼要 92 2 说明 三部分 表名 表头 数据资料必要时 在表格的下方加上表外附加表名应放在表的上方 主要用于说明表的主要内容 为了引用的方便 还应包含表号表头常放在第一行或第一列 也称为行标题或列标题 它主要是表示所研究问题的类别名称和指标名称数据资料 表格的主要部分 应根据表头按一定的规律排列表外附加通常放在表格的下方 主要是一些不便列在表内的内容 如指标注释 资料来源 不变的试验数据等 93 3 注意 表格设计应简明合理 层次清晰 以便阅读和使用 数据表的表头要列出变量的名称 符号和单位 要注意有效数字位数 试验数据较大或较小时 要用科学记数法来表示 并记入表头 注意表头中的与表中的数据应服从下式 数据的实际值 10 n 表中数据 数据表格记录要正规 原始数据要书写得清楚整齐 要记录各种试验条件 并妥为保管 94 2 2 1常用数据图 1 线图 linegraph chart 表示因变量随自变量的变化情况线图分类 单式线图 表示某一种事物或现象的动态复式线图 在同一图中表示两种或两种以上事物或现象的动态 可用于不同事物或现象的比较 2 2图示法 95 图1高吸水性树脂保水率与时间和温度的关系 96 图2某离心泵特性曲线 97 2 XY散点图 scatterdiagram 表示两个变量间的相互关系散点图可以看出变量关系的统计规律 图3散点图 98 3 条形图和柱形图 用等宽长条的长短或高低来表示数据的大小 以反映各数据点的差异两个坐标轴的性质不同数值轴 表示数量性因素或变量分类轴 表示的是属性因素或非数量性变量 图4不同提取方法提取率比较 99 分类 单式 只涉及一个事物或现象复式 涉及到两个或两个以上的事物或现象 图5不同提取方法对两种原料有效成分提取率效果比较 100 4 圆形图和环形图 圆形图 circlechart 也称为饼图 piegraph 表示总体中各组成部分所占的比例只适合于包含一个数据系列的情况饼图的总面积看成100 每3 6 圆心角所对应的面积为1 以扇形面积的大小来分别表示各项的比例 图6全球天然维生素E消费比例 101 环形图 circulardiagram 每一部分的比例用环中的一段表示可显示多个总体各部分所占的相应比例 有利于比较 图7全球合成 天然维生素E消费比例比较 102 5 三角形图 ternary 常用于表示三元混合物各组分含量或浓度之间的关系三角形 等腰Rt 等边 不等腰Rt 等顶点 纯物质边 二元混合物三角形内 三元混合物 M xA xS xB 1 xA xS 图8等腰直角三角形坐标图 103 A B C xC xB xA xA xA xC xC xB xB M E F 图9等边三角形坐标图 104 6 三维表面图 3Dsurfacegraph 三元函数Z f X Y 对应的曲面图 根据曲面图可以看出因变量Z值随自变量X和Y值的变化情况 图10三维表面图 105 7 三维等高线图 contourplot 三维表面图上Z值相等的点连成的曲线在水平面上的投影 图11三维等高线图 106 绘制图形时应注意 1 在绘制线图时 要求曲线光滑 并使曲线尽可能通过较多的实验点 或者使曲线以外的点尽可能位于曲线附近 并使曲线两侧的点数大致相等 2 定量的坐标轴 其分度不一定自零起 3 定量绘制的坐标图 其坐标轴上必须标明该坐标所代表的变量名称 符号及所用的单位 一般用纵轴代表因变量 4 坐标轴的分度应与试验数据的有效数字位数相匹配 5 图必须有图号和图题 图名 以便于引用 必要时还应有图注 107 2 2 2坐标系的选择 坐标系 coordinatesystem 笛卡尔坐标系 又称普通直角坐标系 半对数坐标系 对数坐标系 极坐标系 概率坐标系 三角形坐标系 对数坐标系 semi logarithmiccoordinatesystem 半对数坐标系双对数坐标系 108 1 选用坐标系的基本原则 根据数据间的函数关系线性函数 普通直角坐标系幂函数 双对数坐标系指数函数 半对数坐标 根据数据的变化情况两个变量的变化幅度都不大 选用普通直角坐标系 有一个变量的最小值与最大值之间数量级相差太大时 可以选用半对数坐标 两个变量在数值上均变化了几个数量级 可选用双对数坐标 在自变量由零开始逐渐增大的初始阶段 当自变量的少许变化引起因变量极大变化时 此时采用半对数坐标系或双对数坐标系 可使图形轮廓清楚 109 例 图12普通直角坐标系 110 图13对数坐标系 111 2 坐标比例尺的确定 在变量x和y的误差 x y已知时 比例尺的取法应使试验 点 的边长为2 x 2 y 而且使2 x 2 y 1 2 若2 y 2 则y轴的比例尺My应为 推荐坐标轴的比例常数M 1 2 5 10 n n为正整数 而3 6 7 8等的比例常数绝不可用 纵横坐标之间的比例不一定取得一致 应根据具体情况选择 使曲线的坡度介于30 60 之间 112 例2 研究pH值对某溶液吸光度A的影响 已知pH值的测量误差 pH 0 1 吸光度A的测量误差 A 0 01 在一定波长下 测得pH值与吸光度A的关系数据如表所示 试在普通直角坐标系中画出两者间的关系曲线 设2 pH 2 A 2mm 解 pH 0 1 A 0 01 横轴的比例尺为 纵轴的比例尺为 113 图14坐标比例尺对图形形状的影响 114 2 3计算机绘图软件在图表绘制中应用 2 3 1Excel在图表绘制中的应用 1 利用Excel生成图表的基本方法 2 对数坐标的绘制 3 双Y轴 X轴 复式线图的绘制 4 图表的编辑和修改2 3 2Origin在图形绘制中的应用 1 简单二维图绘制的基本方法 2 三角形坐标图的绘制 3 三维图的绘制 115 表2 1离心泵特性曲线测定实验的数据记录表 附 泵入口管径 mm 泵出口管径 mm 真空表与压力表垂直距离 mm 水温 电动机转速r min 116 117 第3章试验的方差分析 118 方差分析 analysisofvariance 简称ANOVA 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性试验指标 experimentalindex 衡量或考核试验效果的参数因素 experimentalfactor 影响试验指标的条件可控因素 controllablefactor 水平 leveloffactor 因素的不同状态或内容 119 3 1单因素试验的方差分析 one wayanalysisofvariance 3 1 1单因素试验方差分析基本问题 1 目的 检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 2 基本命题 设某单因素A有r种水平 A1 A2 Ar 在每种水平下的试验结果服从正态分布在各水平下分别做了ni i 1 2 r 次试验判断因素A对试验结果是否有显著影响 120 3 单因素试验数据表 121 3 1 2单因素试验方差分析基本步骤 1 计算平均值组内平均值 总平均 122 2 计算离差平方和 总离差平方和SST sumofsquaresfortotal 表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和反映了试验结果之间存在的总差异 组间离差平方和SSA sumofsquareforfactorA 反映了各组内平均值之间的差异程度由于因素A不同水平的不同作用造成的 123 组内离差平方和SSe sumofsquareforerror 反映了在各水平内 各试验值之间的差异程度由于随机误差的作用产生 三种离差平方和之间关系 124 3 计算自由度 degreeoffreedom 总自由度 dfT n 1组间自由度 dfA r 1组内自由度 dfe n r三者关系 dfT dfA dfe 4 计算平均平方均方 离差平方和除以对应的自由度 MSA 组间均方 MSe 组内均方 误差的均方 125 5 F检验 服从自由度为 dfA dfe 的F分布 Fdistribution 对于给定的显著性水平 从F分布表查得临界值F dfA dfe 如果FA F dfA dfe 则认为因素A对试验结果有显著影响否则认为因素A对试验结果没有显著影响 126 6 方差分析表 若FA F0 01 dfA dfe 称因素A对试验结果有非常显著的影响 用 号表示 若F0 05 dfA dfe FA F0 01 dfA dfe 则因素A对试验结果有显著的影响 用 号表示 若FA F0 05 dfA dfe 则因素A对试验结果的影响不显著 单因素试验的方差分析表 127 3 2双因素试验的方差分析 讨论两个因素对试验结果影响的显著性 又称 二元方差分析 3 2 1双因素无重复试验的方差分析 1 双因素无重复试验 128 2 双因素无重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值总平均 Ai水平时 Bj水平时 129 计算离差平方和 总离差平方和 因素A引起离差的平方和 因素B引起离差的平方和 误差平方和 130 计算自由度 SSA的自由度 dfA r 1SSB的自由度 dfB s 1SSe的自由度 dfe r 1 s 1 SST的自由度 dfT n 1 rs 1dfT dfA dfB dfe 计算均方 131 F检验 FA服从自由度为 dfA dfe 的F分布 FB服从自由度为 dfB dfe 的F分布 对于给定的显著性水平 查F分布表 F dfA dfe F dfB dfe 若FA F dfA dfe 则因素A对试验结果有显著影响 否则无显著影响 若FB F dfB dfe 则因素B对试验结果有显著影响 否则无显著影响 132 无重复试验双因素方差分析表 无重复试验双因素方差分析表 133 3 2 2双因素重复试验的方差分析 1 双因素重复试验方差分析试验表 双因素重复试验方差分析试验表 134 2 双因素重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值总平均 任一组合水平 Ai Bj 上 Ai水平时 Bj水平时 135 计算离差平方和 总离差平方和 因素A引起离差的平方和 因素B引起离差的平方和 交互作用A B引起离差的平方和 误差平方和 136 计算自由度 SSA的自由度 dfA r 1SSB的自由度 dfB s 1SSA B的自由度 dfA B r 1 s 1 SSe的自由度 dfe rs c 1 SST的自由度 dfT n 1 rsc 1dfT dfA dfB dfA B dfe 137 计算均方 138 F检验 若FA F dfA dfe 则认为因素A对试验结果有显著影响 否则无显著影响 若FB F dfB dfe 则认为因素B对试验结果有显著影响 否则无显著影响 若FA B F dfA B dfe 则认为交互作用A B对试验结果有显著影响 否则无显著影响 139 重复试验双因素方差分析表 140 第4章试验数据的回归分析 141 4 1基本概念 1 相互关系 确定性关系 变量之间存在着严格的函数关系 相关关系 变量之间近似存在某种函数关系 2 回归分析 regressionanalysis 处理变量之间相关关系的统计方法确定回归方程 变量之间近似的函数关系式检验回归方程的显著性试验结果预测 142 4 2一元线性回归分析 4 2 1一元线性回归方程的建立 1 最小二乘原理设有一组试验数据 如表 若x y符合线性关系 143 计算值与试验值yi不一定相等 与yi之间的偏差称为残差 a b 回归系数 regressioncoefficient 回归值 拟合值 由xi代入回归方程计算出的y值 一元线性回归方程 144 残差平方和 残差平方和最小时 回归方程与试验值的拟合程度最好 求残差平方和极小值 145 正规方程组 normalequation 解正规方程组 146 简算法 147 4 2 2一元线性回归效果的检验 1 相关系数检验法 相关系数 correlationcoefficient 描述变量x与y的线性相关程度定义式 148 相关系数特点 1 r 1r 1 x与y有精确的线性关系 149 r 0 x与y负线性相关 negativelinearcorrelation r 0 x与y正线性相关 positivelinearcorrelation 150 r 0时 x与y没有线性关系 但可能存在其它类型关系相关系数r越接近1 x与y的线性相关程度越高试验次数越少 r越接近1 151 当 说明x与y之间存在显著的线性关系 相关系数检验 对于给定的显著性水平 查相关系数临界值rmin 152 2 F检验 离差平方和总离差平方和 回归平方和 regressionsumofsquare 残差平方和 三者关系 153 自由度 SST的自由度 dfT n 1SSR的自由度 dfR 1SSe的自由度 dfe n 2三者关系 dfT dfR dfe 均方 154 F检验 F服从自由度为 1 n 2 的F分布给定的显著性水平 下 查得临界值 F 1 n 2 若F F 1 n 2 则认为x与y有明显的线性关系 所建立的线形回归方程有意义 155 方差分析表 156 4 3多元线性回归分析 1 多元线性回归形式试验指标 因变量 y与m个试验因素 自变量 xj j 1 2 m 多元线性回归方程 4 3 1多元线性回归方程的建立 偏回归系数 157 2 回归系数的确定 根据最小二乘法原理 求偏差平方和最小时的回归系数偏差平方和 根据 得到正规方程组 正规方程组的解即为回归系数 158 4 3 2多元线性回归方程显著性检验 1 F检验法总平方和 回归平方和 残差平方和 159 F服从自由度为 m n m 1 的分布给定的显著性水平 下 若F F m n m 1 则y与x1 x2 xm间有显著的线性关系 方差分析表 160 2 相关系数检验法 复相关系数 multiplecorrelationcoefficient R 反映了一个变量y与多个变量 x1 x2 xm 之间线性相关程度计算式 R 1时 y与变量x1 x2 xm之间存在严格的线性关系R 0时 y与变量x1 x2 xm之间不存在线性相关关系当0 R 1时 变量之间存在一定程度的线性相关关系R Rmin时 y与x1 x2 xm之间存在密切的线性关系 R一般取正值 0 R 1 161 4 3 3因素主次的判断 1 偏回归系数的标准化设偏回归系数bj的标准化回归系数为Pj Pj越大 则对应的因素 xj 越重要 162 2 偏回归系数的显著性检验 计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj SSj bjLjySSj的大小表示了因素xj对试验指标y影响程度 对应的自由度dfj 1 服从自由度为 1 n m 1 的F分布 如果若F F 1 n m 1 则说明xj对y的影响是不显著的 这时可将它从回归方程中去掉 变成 m 1 元线性方程 163 3 偏回归系数的t检验 t值的计算 单侧t分布表 检验 如果 说明xj对y的影响显著 否则影响不显著 164 4 4 1一元非线性回归分析 通过线性变换 将其转化为一元线性回归问题 直角坐标中画出散点图 推测y与x之间的函数关系 线性变换 用线性回归方法求出线性回归方程 返回到原来的函数关系 得到要求的回归方程 4 4非线性回归分析 165 4 4 2一元多项式回归 任何复杂的一元连续函数都可用高阶多项式近似表达 可以转化为多元线性方程 4 4 3多元非线性回归 如果试验指标y与多个试验因素xj之间存在非线性关系 如二次回归模型 166 4 5Excel在回归分析中的应用 4 5 1 规划求解 在回归分析中应用解方程组最优化4 5 2Excel内置函数在回归分析中应用4 5 3Excel图表功能在回归分析中的应用4 5 4分析工具库在回归分析中应用 167 第5章优选法 168 优选法 根据生产和科研中的不同问题 利用数学原理 合理地安排试验点 减少试验次数 以求迅速地找到最佳点的一类科学方法 适用于 试验指标与因素间不能用数学形式表达表达式很复杂 169 x3 5 1单因素优选法 基本命题试验指标f x 是定义区间 a b 的单峰函数用尽量少的试验次数 来确定f x 的最大值的近似位置5 1 1来回调试方法 若f x1 f x2 若f x2 f x3 x4 170 x3 5 1 2黄金分割法 0 618法 黄金分割 优选步骤 0 618 0 382 171 5 1 3分数法 菲波那契数列 F0 1 F1 1 Fn Fn 1 Fn 2 n 2 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 分数 172 x4 2 5 x3 分数法优选方法 适用于 试验值只能取整数的情况试验次数有限时 x1 x2 5 8 3 8 3 5 2 3 1 3 173 分数法试验次数 174 B 无电 A 有电 5 1 4对分法 特点 每次只做1次试验每次试验区间可以缩小一半适用条件 要有一个标准 或具体指标 要预知该因素对指标的影响规律 优选方法 175 5 1 5抛物线法 在三个试验点x1 x2 x3 且x1 x2 x3 分别得试验值y1 y2 y3 根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数 设二次函数在x4取得最大值 176 在x x4处做试验 得试验结果y4假定y1 y2 y3 y4中的最大值是由xi 给出除xi 之外 在x1 x2 x3和x4中取较靠近xi 的左右两点 将这三点记为x1 x2 x3 此处x1 x2 x3 若在处的函数值分别为y1 y2 y3 177 5 1 6分批试验法 1 均分法每批做2n个试验先把试验范围等分为 2n 1 段 在2n个分点上作第一批试验比较结果 留下较好的点 及其左右一段 然后把这两段都等分为 n 1 段分点处做第二批试验 178 2 比例分割法 每一批做2n 1个试验把试验范围划分为2n 2段 相邻两段长度为a和b a b 在 2n 1 个分点上做第一批试验 比较结果 在好试验点左右留下一长一短 把a分成2n 2段 相邻两段为a1 b1 a1 b1 且a1 b 179 长短段的比例 当n 0时 0 618 180 5 1 7逐步提高法 爬山法 方法 找一个起点寻找方向注意 起点步距 两头小 中间大 A B A C A D C E D F 181 5 1 8多峰情况 1 不论 单峰 还是 多峰 按前述方法优选 2 先做一批分布得比较均匀 疏松的试验 看是否有 多峰 现象 分别找出这些 峰 182 5 2双因素优选法 命题迅速地找到二元函数z f x y 的最大值 及其对应的 x y 点的问题假定是单峰问题双因素优选法的几何意义 183 Q 5 2 1对开法 优选范围 a x b c y d优选方法 P R 184 P2 P1 5 2 2旋升法 从好点出发法 优选范围 a x b c y d优选方法 P3 185 R P Q 5 2 3平行线法 两个因素 一个易调整 另一个不易调整时优选范围 a x b c y d优选方法 设 x易调整 y不易调整 0 382 0 618 186 5 2 4按格上升法 将试验区域画上格子将分数法与上述方法结合起来 187 5 2 5翻筋斗法 A C B D E F G F G 188 优选法在因素主次判断中的应用 在因素的试验范围内做两个试验 可选0 618和0 382两点 如果这两点的效果差别显著 则为主要因素如果这两点效果差别不大在 0 382 0 618 0 0 382 和 0 618 1 三段的中点分别再做一次试验如果仍然差别不大 则此因素为非主要因素可将该因素固定在0 382 0 618间的任一点当对某因素做了五点以上试验后 如果各点效果差别不明显 则该因素为次要因素 189 第6章正交试验设计 190 6 1概述 适合多因素试验全面试验 每个因素的每个水平都相互搭配进行试验例 3因素4水平的全面试验次数 43 64次正交试验设计 orthogonaldesign 利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法例 3因素4水平的正交试验次数 16 191 6 1 1正交表 orthogonaltable 1 等水平正交表 各因素水平数相等的正交表 记号 Ln rm L 正交表代号n 正交表横行数 试验次数 r 因素水平数m 正交表纵列数 最多能安排的因数个数 192 193 194 等水平正交表特点 表中任一列 不同的数字出现的次数相同表中