15第六章共形映射.doc

第六章 共形映射1. 共形映射的概念补充概念:映射的概念 映射的定义: 一. 导数的几何意义1. 伸缩率与旋转角若极限存在，则称此极限值为曲线C经过映射下在点的伸缩率，称角为曲线C经过映射下在点的旋转角.2. 伸缩率不变性3. 旋转角不变性与保角性例1. 求函数在z=i与z=0处的导数，并说明几何意义.二. 共形映射的概念定义: 对于定义在区域D内的映射，如果它在D内任意一点都具有保角性及伸缩率不变性，则称为第一类保角映射；如果它在D内任意一点都保持曲线的交角的大小不变但方向相反，且伸缩率不变，则称为第二类保角映射.定理1 若函数在区域D内解析，且恒成立，则它所构成的映射为第一类保角映射.例2. 考察映射.定义 设是区域D内的第一类保角映射，且对于任意，有成立，则称为共形映射.例3. 判断是否为共形映射.2. 共形映射的基本问题一. 解析函数的保域性与边界对应原理定理2 （保域性定理）设函数在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合为区域.定理3 （边界对应原理）设区域D的边界为简单闭曲线C，函数在上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线.当z沿着C的正向绕行时，相应的w的绕行方向定为的正向，并令G是以为边界的区域，则将D共形映射成G .例4. 设区域，求D在映射下的像集.二. 共形映射的存在惟一性 定理4 （黎曼存在惟一性定理）设D和G是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两个点，则一定存在解析函数把D保形地映射为G .如果在D内和G内再分别任意指定两个点和，并任给一个实数，要求函数满足则映射是惟一的.3. 分式线性映射由分式线性函数 构成的映射称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射.特别地，当时，则称为（整式）线性映射.一. 分式线性映射的分解结论：任意一个分式线性映射都可以分解为以下四种映射.例5. 将分式线性映射分解.1. 平移、旋转与相似映射2. 反演映射结论 反演映射是由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成.二.分式线性映射的保形性定理5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射. 三. 分式线性映射的保圆性定理6 在扩充复平面上分式线性函数把圆映射为圆. 例6. 求实轴在映射下的像曲线.例7. 求区域在映射下的像.四. 分式线性映射的保对称点性引理 扩充复平面上的两点关于圆C对称的充要条件是通过与的任意圆都与圆C正交.定理7 （保对称点定理）设关于圆C 对称，则在分式线性映射下，它们的像点关于C的像曲线对称.例8 求一分式线性映射，将单位圆内部变为上半个平面.五.惟一决定分式线性映射的条件定理8 在z平面上任给三个不同的点，在w平面上任给三个不同的点，则存在惟一的分式线性映射，把分别依次地映射为.（对应点公式）推论1 如果或中有一个是，则只需将对应点公式中含的项换为1。推论2 设为一个分式线性映射，且有则它可表示为 （k为复常数）；特别地，当时，有 （k为复常数）。例9 将区域映射为第一象限，求映射函数。六. 两个典型区域间的映射例10 求一分式线性映射，把上