04_静电学：第13章_电势-习题课_电势的计算.pdf

Zhang Shihui电势的计算电势的计算 Zhang Shihui 电势的计算电势的计算 电势的计算电势的计算电势的计算电势的计算 电荷分布已知 求电势分布 有两种方法 电荷分布已知 求电势分布 有两种方法 1 用电势叠加原理 由点电荷电势公式求和或积分 2 对电荷分布具有对称性的情况 先用高斯定理求 出场强分布 再用场强积分法求电势分布 必须选定 零势点 沿任意路径积分皆可 1 用电势叠加原理 由点电荷电势公式求和或积分 2 对电荷分布具有对称性的情况 先用高斯定理求 出场强分布 再用场强积分法求电势分布 必须选定 零势点 沿任意路径积分皆可 电势的计算电势的计算 Zhang Shihui 1 点电荷的电势1 点电荷的电势 点电荷的电场点电荷的电场 2 点电荷系的电势 3 连续分布带电体的电势 2 点电荷系的电势 3 连续分布带电体的电势 q3 q1 r1 r2 U r rE 3 0 4 1 r q d r U El 0 1 4 i i i q U r 0 1d 4 q U r 0 1 4 q r q2 q4 r3 r4 P r r q r d 4 1 2 0 点电荷 点电荷系 连续带电体的电势点电荷 点电荷系 连续带电体的电势 Zhang Shihui 电势的计算例题电势的计算例题 例1 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例2 均匀带电球面的电势 例3 电偶极子的电势 例4 均匀带电线的电势 例1 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例2 均匀带电球面的电势 例3 电偶极子的电势 例4 均匀带电线的电势 电势计算例题电势计算例题 Zhang Shihui 例1例1 半径为半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布 解 解 以以O为圆心 取半径为为圆心 取半径为L L dL的薄圆环 带电的薄圆环 带电 dq ds 2 L dL 到到P点距离点距离 P点电势点电势 O r dr 22 0 rxr 00 1d 4 q U r 220 0 1d 2 4 R r r xr xxR 22 0 2 p x R 例例1 Zhang Shihui 由高斯定理知 电场分布为由高斯定理知 电场分布为 R 解 例 解 例2 求一均匀带电球面的电势分布 求一均匀带电球面的电势分布 P E 0 rR 1 当当rR时时 d r U Er 0 1 4 q r V Rr R q 4 1 r R q 0 4 1 例例2上上 Zhang Shihui 电势分布曲线电势分布曲线电势分布曲线电势分布曲线 场强分布曲线场强分布曲线场强分布曲线场强分布曲线 E U R Rr r O O 结论 结论 均匀带电球面 球内的电势等于球表面的电势 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 均匀带电球面 球内的电势等于球表面的电势 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 2 0 4R q R q 0 4 例例2下下 2 r 1 r Zhang Shihui 例3例3 计算电偶极子电场中任一点的电势 计算电偶极子电场中任一点的电势 00 44 P qq U rr 式中式中r 与与r 分别为分别为 q和和 q到到P 点的距离 由图可知点的距离 由图可知 y P x q q l 2l 2 O r r r 解 解 设电偶极子如图放置 电偶极子 的电场中任一点 设电偶极子如图放置 电偶极子 的电场中任一点P的电势为的电势为 例例3上上 Zhang Shihui 23 00 cos 44 P qlP r U rr 由于由于r l 所以 所以P点的电势可写为点的电势可写为 2 002 11cos 44 coscos cos 22 2 P qql U ll l rr r 因此因此 cos 2 l rr cos 2 l rr 例例3下下 Zhang Shihui 解 解 令无限长直线如图放置 其上电荷线密度为 计算在 令无限长直线如图放置 其上电荷线密度为 计算在x轴上距直线为的任一点轴上距直线为的任一点P处的电势 处的电势 因为无限长带电直线的电荷分布 延伸到无限远的 所以在这种情 况下 因为无限长带电直线的电荷分布 延伸到无限远的 所以在这种情 况下不能用连续分布电荷的电势不能用连续分布电荷的电势 公式来计算电势公式来计算电势U 否则必得出无 限大的结果 显然是没有意义的 同样也不能直接用公式来计算电 势 不然也将得出电场任一点的 电势值为无限大的结果 否则必得出无 限大的结果 显然是没有意义的 同样也不能直接用公式来计算电 势 不然也将得出电场任一点的 电势值为无限大的结果 例4 例4 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布 例例4上上 y rP P1x r1 O Zhang Shihui 为了能求得为了能求得P点的电势 可先应用电势差和场强的关系 式 求出在轴上 点的电势 可先应用电势差和场强的关系 式 求出在轴上P点点P1和点的电势差 无限长均匀带电直 线在 和点的电势差 无限长均匀带电直 线在X轴上的场强为轴上的场强为 r E 0 2 于是 过于是 过P点沿点沿X轴积分 可得轴积分 可得P点与参考点点与参考点P1的电势差的电势差 11 1 1 00 d dln 22 rr PP rr rr UUEr rr 由于由于ln1 0 所以本题中若选离直线为 所以本题中若选离直线为r1 1m处作为电 势零点 则很方便地可得 处作为电 势零点 则很方便地可得P点的电势为点的电势为 例例4中中 0 ln 2 P Ur 电势是相对的电势是相对的 跟零 势能点 跟零 势能点 面面 选择有关选择有关 Zhang Shihui 求电场的新方法求电场的新方法 例5 电磁学教材 P75例3 6 例5 电磁学教材 P75例3 6 根据均匀带电细圆环轴线 上任一点的电势公式 求轴线上任一点的场强 根据均匀带电细圆环轴线 上任一点的电势公式 求轴线上任一点的场强 解解 均匀带电细圆环轴线上任一点的电势为 均匀带电细圆环轴线上任一点的电势为 1 22 2 0 4 q U z zR 由于的电荷分布是轴对称的 所以轴线上 各点的场强在垂直于轴线方向的分量为零 因而轴线上任一点的场强方向沿 由于的