山东省潍坊一中高三数学上学期期末模拟试卷 理（含解析）.doc

山东省潍坊一中2015届高三上学 期期末数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共l0小题每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1（5分）设集合a=1，2，则满足ab=1，2，3，4的集合b的个数是（）a2b3c4d52（5分）若复数z满足（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）a（1，1）b（1，l）c（l，1）d（l，l）3（5分）下列说法中正确的是（）a若命题p为：对xr有x20，则p：xr使x20b若命题p为：，则c若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件d方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是：4（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）a48cm3b98cm3c88cm3d78cm35（5分）二项式（3x）7展开式中，含x3项的系数是（）a12b18c20d216（5分）若圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆c的方程为（）a（x2）2+（y2）2=3bc（x2）2+（y2）2=4d7（5分）如图，设抛物线y=x2+1的顶点为a，与x轴正半轴的交点为b，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为m，随机往m内投一点p，则点p落在aob内的概率是（）abcd8（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）af（x）=x+sinxbcf（x）=xcosxd9（5分）已知f1、f2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点p与点f2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）abcd210（5分）函数f（x）=+的性质：f（x）的图象是中心对称图形；f（x）的图象是轴对称图形；函数f（x）的值域为，+）；方程f（f（x）=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）abcd二填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）若|x+1|+|x3|k对任意的xr恒成立，则实数k的取值范围为12（5分）执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为13（5分）若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为14（5分）在直角三角形abc中，c=，ab=2，ac=1，若=，则=15（5分）已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则|qo|=三解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）在abc中，角a、b、c所对的边为a、b、c，且满足cos2acos2b=（1）求角b的值；（2）若且ba，求的取值范围17（12分）某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间t（单位：年）有关若t1，则每台销售利润为0元；若1t3，则每台销售利润为100元；若t3，则每台销售利润为200元设每台该种电视机的无故障使用时间t1，1t3，t3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程10x26x+a=0的两个根，且p2=p3（）求p1，p2，p3的值；（）记表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出的所有结果，并求的分布列；（）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值18（12分）如图，在底面是正方形的四棱锥pabcd中，pa面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点（1）求证：bdfg；（2）当二面角bpcd的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值19（12分）已知数列an的前n项和sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）求an，bn；（）设tn为数列bn的前n项和，求tn，并求满足tn7时n的最大值20（13分）已知椭圆+=1（ab0）经过点m（，1），离心率为（）求椭圆的标准方程；（）已知点p（，0），若a，b为已知椭圆上两动点，且满足=2，试问直线ab是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由21（14分）已知函数，其中mr（1）若0m2，试判断函数f （x）=f1（x）+f2（x）（x2，+）的单调性，并证明你的结论；（2）设函数若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共l0小题每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1（5分）设集合a=1，2，则满足ab=1，2，3，4的集合b的个数是（）a2b3c4d5考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：计算题分析：根据题目给出的集合a=1，2，且满足ab=1，2，3，4，由并集的概念直接得到集合b的可能情况解答：解：由集合a=1，2，且满足ab=1，2，3，4，所以b=1，3，4或b=2，3，4或b=3，4或b=1，2，3，4共4种可能所以满足ab=1，2，3，4的集合b的个数是4故选c点评：本题考查了并集的概念，考查了子集与并集的运算转换，是基础题2（5分）若复数z满足（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）a（1，1）b（1，l）c（l，1）d（l，l）考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：先求出，进而可得z，从而可得结论解答：解：（1+i）=2i，=1+i，z=1i，其在复平面内z对应的点的坐标是（1，1），故选：b点评：本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题3（5分）下列说法中正确的是（）a若命题p为：对xr有x20，则p：xr使x20b若命题p为：，则c若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件d方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是：考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；简易逻辑分析：直接写出命题的否定判断a，b的真假，分a=0和a0求解方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件判断d，由p是q的充分不必要条件可知由p能推出q，但由q不能推出p，由其逆否命题判断c解答：解：选项a中，p：xr使x20，a不正确；选项b中，p：或无意义，b不正确；选项c中，若p是q的充分不必要条件，即由p能推出q，但由q不能推出p，则由q能推出p，但由p不能推出q，p是q的必要不充分条件选项d中，方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是：或a=0，d不正确；故选：c点评：本题考查命题的否定，考查一个命题的等价命题，训练了由方程解的情况求解参数的范围问题，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题4（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）a48cm3b98cm3c88cm3d78cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是长方体削去一个三棱锥，画出其直观图，判断长方体的长、宽、高的数值，再判断削去的三棱锥的相关几何量的值，代入体积公式计算解答：解：由三视图知：几何体是长方体削去一个三棱锥，如图：长方体的长、宽、高分别为6、3、6，长方体的体积为663=108；削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为3，5，高为4，体积为354=10；几何体的体积v=10810=98（cm3）故选：c点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及相关几何量的数值5（5分）二项式（3x）7展开式中，含x3项的系数是（）a12b18c20d21考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：根据二项式展开式的通项公式，求出r的值，再计算含x3项的系数解答：解：二项式（3x）7展开式中，通项公式为tr+1=（3x）7r=（1）r37r，令7r=3，解得r=6；含x3项的系数是（1）6376=21故选：d点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项式展开式的通项公式进行解答，是基础题6（5分）若圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆c的方程为（）a（x2）2+（y2）2=3bc（x2）2+（y2）2=4d考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：由已知圆c经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切可得圆心在直线x=2上，且半径长为2设圆的方程为（x2）2+（yb）2=4将点（1，0）代入方程即可解得从而得到圆c的方程解答：解：圆c经过（1，0），（3，0）两点，圆心在直线x=2上可设圆心c（2，b）又圆c与y轴相切，半径r=2圆c的方程为（x2）2+（yb）2=4圆c经过点（1，0），（12）2+b2=4b2=3圆c的方程为故选：d点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质等知识，属于中档题7（5分）如图，设抛物线y=x2+1的顶点为a，与x轴正半轴的交点为b，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为m，随机往m内投一点p，则点p落在aob内的概率是（）abcd考点：定积分在求面积中的应用；几何概型 专题：概率与统计分析：求出直线与坐标轴围成三角形的面积，及抛物线与坐标轴围成的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率解答：解：由题意可知抛物线y=x2+1的顶点为a（0，1），与x轴正半轴的交点为b（1，0），aob的面积为：=抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为m，面积为：s=随机往m内投一点p，则点p落在aob内的概率满足几何概型；随机往m内投一点p，则点p落在aob内的概率是：=故选：c点评：本题考查几何概型在求解概率中的应用，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解8（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）af（x）=x+sinxbcf（x）=xcosxd考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果解答：解：依题意函数是奇函数，排除d，函数图象过原点，排除b，图象过（，0）显然a不正确，c正确；故选c点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型9（5分）已知f1、f2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点p与点f2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）abcd2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出过焦点f2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得解答：解：过焦点f2且垂直渐近线的直线方程为：y0=（xc），联立渐近线方程y=与y0=（xc），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e=故选：b点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题10（5分）函数f（x）=+的性质：f（x）的图象是中心对称图形；f（x）的图象是轴对称图形；函数f（x）的值域为，+）；方程f（f（x）=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；推理和证明分析：因为函数不是奇函数，所以错误利用函数对称性的定义进行判断利用两点之间线段最短证明利用函数的值域进行判断解答：解：因为f（x）=+f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误因为f（3x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以正确由题意值f（x）f（），而f（）=+=，所以f（x），即函数f（x）的值域为，+），正确设f（x）=t，则方程ff（x）=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3因为函数f（x），所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以错误故正确的说法为：故选：c点评：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力二填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）若|x+1|+|x3|k对任意的xr恒成立，则实数k的取值范围为（，4）考点：函数恒成立问题 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：|x+1|+|x3|k对任意的xr恒成立，等价于（|x+1|+|x3|）mink，利用不等式的性质即可求得最小值解答：解：|x+1|+|x3|k对任意的xr恒成立，等价于（|x+1|+|x3|）mink，|x+1|+|x3|（x+1）（x3）|=4，k4，即实数k的取值范围是（，4），故答案为：（，4）点评：该题考查函数恒成立问题、绝对值不等式的性质，考查转化思想，属基础题12（5分）执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：算法的功能是求s=cos+cos+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出s的值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求s=cos+cos+cos的值，跳出循环的n值为2015，输出s=cos+cos+cos，cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos+cos+coscoscoscos=0，s=cos+cos=故答案为：点评：本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程判断算法的功能是关键13（5分）若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为考点：基本不等式 专题：不等式分析：由z=yx便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kxy+2=0的方程，从而求出k解答：解：z=yx表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；z取最小值4时，得到直线y=x4；画出直线x+y2=0和y=x4如下图：由题意知，直线z=yx经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；直线kxy+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；y=0时，x=4；故答案为：点评：考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=yx可以看成在y轴上截距为z且平行于直线y=x的直线系14（5分）在直角三角形abc中，c=，ab=2，ac=1，若=，则=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据结合图形得出=，=0，=2cos30，转化得出=（）=+求解即可解答：解：直角三角形abc中，c=，ab=2，ac=1，根据勾股定理得出bc=，sinabc=，即abc=30若=，=，=0，=2cos30=3=（）=+=3=故答案为：点评：本题考查了平面向量的几何运算，数量积，结合结合图形分解向量，属于中档题，关键是转化为容易计算的向量15（5分）已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则|qo|=3考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：抛物线c：y2=8x的焦点为f（2，0），设p（2，t），q（x，y）利用=4，可得（4，t）=4（x2，y），解得（x，y），代入y2=8x可得，再利用两点之间的距离公式即可得出解答：解：抛物线c：y2=8x的焦点为f（2，0），设p（2，t），q（x，y）=4，（4，t）=4（x2，y），代入y2=8x可得，t2=128=3故答案为：3点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题三解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）在abc中，角a、b、c所对的边为a、b、c，且满足cos2acos2b=（1）求角b的值；（2）若且ba，求的取值范围考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题：解三角形分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 22sin2a2cos2b=2sin2a，求得cos2b 的值，可得cosb的值，从而求得b的值（2）由b=a，可得b=60再由正弦定理可得解答：解：（1）在abc中，cos2acos2b=2（cosa+sina）（cosasina）=2（cos2asin2a）=cos2asin2a=2sin2a又因为 cos2acos2b=12sin2a（2cos2b1）=22sin2a2cos2b，22sin2a2cos2b=2sin2a，cos2b=，cosb=，b=或（2）b=a，b=，由正弦=2，得a=2sina，c=2sinc，故ac=2sinasinc=2sinasin（a）=sinacosa=sin（a），因为ba，所以a，a，所以ac=sin（a），）点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题17（12分）某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间t（单位：年）有关若t1，则每台销售利润为0元；若1t3，则每台销售利润为100元；若t3，则每台销售利润为200元设每台该种电视机的无故障使用时间t1，1t3，t3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程10x26x+a=0的两个根，且p2=p3（）求p1，p2，p3的值；（）记表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出的所有结果，并求的分布列；（）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（）由已知条件推导出p1+p2=，p1+p2+p3=1，且p2=p3，由此能求出p1，p2，p3的值（）的取值有0，100，200，300，400，分别求p（=0），p（=100），p（=200），p（=300），p（=400），由此能求出的分布列（）由（）能求出销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值e解答：解：（）p1，p2是方程10x26x+a=0的两个根，p1+p2=，又p1+p2+p3=1，且p2=p3，=，（）记一台该种电视机的无故障使用时间t1，1t3，t3分别为事件a1，a2，a3，的取值有0，100，200，300，400，p（=0）=p（a1a1）=，p（=100）=p（a1a2a2a1）=，p（=200）=p（a2a2+a3a1+a1a3）=，p（=300）=p（a1a3+a3a1）=，p（=400）=p（a3a3）=，的分布列为： 0 100200300400 p（）由（）知：e=240销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值240点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18（12分）如图，在底面是正方形的四棱锥pabcd中，pa面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点（1）求证：bdfg；（2）当二面角bpcd的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）要证：bdfg，只需证明bd平面pac，即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面pbc的一个法向量和平面pdc的一个法向量，进而根据二面角bpcd的大小为，可得变量a值，进而根据pca就是pc与底面abcd所成的角，可得pc与底面abcd所成角的正切值解答：（1）证明：pa面abcd，四边形abcd是正方形，其对角线bd，ac交于点e，pabd，acbd，bd平面pac，fg平面pac，bdfg；（2）解：以a为原点，ab、ad、pa所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系axyz如图所示，设正方形abcd的边长为1，pa=a，则a（0，0，0），b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，1，0），p（0，0，a）（a0），设平面pbc的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，a），=（0，1，0），取z=1，得=（a，0，1），同理可得平面pdc的一个法向量=（0，a，1），设u，v所成的角为，则|cos|=|cos|=，=，a=1，pa面abcd，pca就是pc与底面abcd所成的角，tanpca=点评：本题考查了空间几何体中的线面关系，直线与平面所成的角，其中建立空间坐标系，将直线与平面的关系，及二面角问题转化为向量问题是解答的关键19（12分）已知数列an的前n项和sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）求an，bn；（）设tn为数列bn的前n项和，求tn，并求满足tn7时n的最大值考点：数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）在已知数列递推式中取n=n1得另一递推式，两式作差后整理得到an1=2n1，则数列an的通项公式可求，把an代入3nbn+1=（n+1）an+1nan，整理后求得数列bn的通项公式；（）由错位相减法求得数列bn的前n项和tn，然后利用作差法说明tn为递增数列，通过求解t3，t4的值得答案解答：解：（）由，得 （n2），两式相减得，an=anan1+2n1，an1=2n1，则an=2n+1由3nbn+1=（n+1）an+1nan，3nbn+1=（n+1）（2n+3）n（2n+1）=4n+3当n2时，由b1=3适合上式，；（）由（）知， 得，=tntn+1，即tn为递增数列又，tn7时，n的最大值3点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（）的关键是说明数列tn为递增数列，是中高档题20（13分）已知椭圆+=1（ab0）经过点m（， 1），离心率为（）求椭圆的标准方程；（）已知点p（，0），若a，b为已知椭圆上两动点，且满足=2，试问直线ab是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知条件推导出，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程（）当直线ab与x轴不垂直时，设直线ab方程为y=kx+m，代入，消去y整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0，由根的判别式和韦达定理结合已知条件求出直线ab的方程为y=k（x），从而得到直线ab经过定点（，0）当直线ab与x轴垂直时，直线方程为x=，也有=2由此证明直线ab一定过定点（，0）解答：解：（）椭圆+=1（ab0）离心率为，椭圆经过点m（，1），又a2=b2+c2，由联立方程组解得a2=8，b2=c2=4，椭圆方程为（）当直线ab与x轴不垂直时，设直线ab方程为y=kx+m，代入，消去y整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0