【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(四十五) 8.3圆的方程 文 新人教A版.docVIP

课时提升作业(四十五)圆 的 方 程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()a.(x-2)2+(y+3)2=13b.(x+2)2+(y-3)2=13c.(x-2)2+(y+3)2=52d.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选a.因为圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2015天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()a.(-1,1)b.(-1,0)c.(1,-1)d.(0,-1)【解析】选d.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=当k=0时,rmax=1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是()a.(-,4)b.(-,0)c.(-4,+)d.(4,+)【解析】选a.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a0,即a2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).4.已知两定点a(-2,0),b(1,0),如果动点p满足|pa|=2|pb|,则点p的轨迹所包围的图形的面积等于()a.b.4c.8d.9【解析】选b.设p(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4.【加固训练】如图所示,已知p(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,a,b是圆上两动点,且满足apb=90,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.【解析】设ab的中点为r,坐标为(x1,y1),连接or,pr,则在rtabp中,|ar|=|pr|.又r是弦ab的中点,所以在rtoar中,|ar|2=|ao|2-|or|2=36-(+),又|ar|=|pr|= ,所以有(x1-4)2+=36-(+),即+-4x1-10=0.因此点r在一个圆上,而当r在此圆上运动时,点q即在所求的轨迹上运动.设q(x,y),因为r是pq的中点,所以x1=,y1=,代入方程+-4x1-10=0,得整理得:x2+y2=56,即所求q点的轨迹方程为x2+y2=56.5.已知两点a(0,-3),b(4,0),若点p是圆c:x2+y2-2y=0上的动点,则abp面积的最小值为()a.6b.c.8d.【解题提示】经验证可知a,b两点均在圆c的外部,因此要使abp的面积最小,则p到直线ab的距离最小.【解析】选b.如图,过圆心c向直线ab作垂线交圆于点p,这时abp的面积最小.直线ab的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心c到直线ab的距离为d=,所以abp的面积的最小值为5(-1)=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015泰州模拟)若过点p(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是.【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点p(a,a)能作圆的两条切线,所以点p在圆的外部,即解之得a-3或1a0,b0),由题意可得b=1.又圆心c到直线4x-3y=0的距离d=1,解得a=2或a=-(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=18.(2015聊城模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为.【解析】表示圆上的点p(x,y)与点q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线pq与圆相切时的斜率.设直线pq的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由结合图形可知, ,故最小值为.答案: 三、解答题9.(10分)已知以点p为圆心的圆经过点a(-1,0)和b(3,4),线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d,且|cd|=4.(1)求直线cd的方程.(2)求圆p的方程.【解题提示】因为a,b为圆p上的两点,故直线cd过圆心.【解析】(1)直线ab的斜率k=1,ab的中点坐标为(1,2).则直线cd的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心p(a,b),则由p在cd上得a+b-3=0.又因为直径|cd|=4,所以|pa|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圆心p(-3,6)或p(5,-2).所以圆p的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.【加固训练】1.(2015湛江模拟)已知abc的顶点坐标分别为a(-1,5),b(-2,-1),c(4,3),m是bc的中点.(1)求ab边所在直线的方程.(2)求以线段am为直径的圆的方程.【解析】(1)因为a(-1,5),b(-2,-1),所以由两点式得ab的方程为=,整理得y=6x+11.(2)因为m是bc的中点,所以m（,）,即m(1,1),所以|am|=2,所以圆的半径为.所以am的中点为（,）,即中点为(0,3),所以以线段am为直径的圆的方程为x2+(y-3)2=5.2.(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xoy中,已知圆p在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心p的轨迹方程.(2)若p点到直线y=x的距离为,求圆p的方程.【解题提示】第(1)问紧紧抓住“圆心到直线的距离”这个关键量,利用垂径定理,消去参数r直接求得轨迹方程.第(2)问利用待定系数法,根据题设条件,利用方程思想,求待定系数.【解析】(1)设p(x,y),圆p的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故圆心p的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设p(x0,y0).由已知得=.又p点在双曲线y2-x2=1上,从而得此时,圆p的半径r=.此时,圆p的半径r=.故圆p的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.3.已知直角三角形abc的斜边为ab,且a(-1,0),b(3,0),求:(1)直角顶点c的轨迹方程.(2)直角边bc中点m的轨迹方程.【解析】(1)设顶点c(x,y),因为acbc,且a,b,c三点不共线,所以x3且x-1.又kac=,kbc=,且kackbc=-1,所以=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点c的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x3且x-1).(2)设点m(x,y),点c(x0,y0),因为b(3,0),m是线段bc的中点,由中点坐标公式得x=(x3且x1),y=,于是有x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点c在圆(x-1)2+y2=4(x3且x-1)上运动,将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此直角边bc中点m的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x3且x1). (20分钟40分)1.(5分)(2015威海模拟)在平面直角坐标系xoy中,圆c的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,则k的最小值是()【解析】选a.圆c的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆c的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点a,以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,则ac1+1成立,即ac2.因为ac=所以2,解得-k0.所以k的最小值是-,选a.2.(5分)在平面直角坐标系xoy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆c上,则圆c的方程为.【解析】曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点是(3+2,0),(3-2,0),设圆的方程是x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f0),则有解得故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.答案:x2+y2-6x-2y+1=0【一题多解】本题还可以按如下方法求解曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设c的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1,则圆c的半径为=3,所以圆c的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.答案:(x-3)2+(y-1)2=93.(5分)(2015温州模拟)已知直线l:x+y-2=0和圆c:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆c都相切且半径最小的圆的标准方程是.【解析】圆:x2+y2-12x-12y+54=0的圆心c(6,6),半径r=3,圆心c(6,6)到x+y-2=0的距离:d=5,与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的圆心在过c与x+y-2=0垂直的直线l1上,所求圆的半径r=(5-3)=,直线l1:y-6=x-6,即y=x,设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程组得x+y-2=0与l1的交点(1,1),解方程:(a-1)2+(a-1)2=2,得a=2,或a=0不符合已知条件,舍去,所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2【加固训练】已知点p(2,2),点m是圆o1:x2+(y-1)2=上的动点,点n是圆o2:(x-2)2+y2=上的动点,则|pn|-|pm|的最大值是()a.-1b.-2c.2-d.3-【解析】选d.|pn|-|pm|的最大值是|po2|+-(|po1|-)=|po2|-|po1|+1=2-+1=3-.4.(12分)已知点a(-3,0),b(3,0),动点p满足|pa|=2|pb|.(1)若点p的轨迹为曲线c,求此曲线的方程.(2)若点q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点q且与曲线c只有一个公共点m,求|qm|的最小值.【解析】(1)设点p的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线c是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,由直线l2是此圆的切线,连接cq,cm,则|qm|=,当cql1时,|cq|取最小值,|cq|=4,此时|qm|的最小值为=4.【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,经过b(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点a,l2交x轴正半轴于点c.(1)若a(0,1),求点c的坐标.(2)试问是否总存在经过o,a,b,c四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)先求l1的方程,进而可求l2的方程,即可得到点c的坐标.(2)因为abbc,oaoc,所以总存在经过o,a,b,c四点的圆,且该圆以ac为直径,分类讨论,确定a,c的坐标,表示出ac,即可求得结论.【解析】(1)由直线l1经过两点a(0,1),b(1,2),得l1的方程为x-y+1=0.由直线l2l1,且直线l2经过点b,得l2的方程为x+y-3=0.所以,点c的坐标为(3,0).(2)因为abbc,oaoc,所以总存在经过o,a