2019_2020学年高中数学第一章解三角形单元质量测评新人教A版.docx

第一章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c.若ab，A2B，则cosB等于()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理，得，ab可化为.又A2B，cosB.2在ABC中，已知a，b，A30，则c等于()A2 B.C2或 D以上都不对答案C解析a2b2c22bccosA，515c22c.化简，得c23c100，即(c2)(c)0，c2或c.3已知ABC的三边长分别是x2x1，x21和2x1(x1)，则ABC的最大角为()A150 B120 C60 D75答案B解析令x2，得x2x17，x213,2x15，最大边x2x1应对最大角，设最大角为，cos，最大角为120.4在ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对边的边长，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C()A30 B60 C120 D150答案B解析根据正弦定理，由已知条件可得(abc)(abc)3ab，即a2b2c2ab，再根据余弦定理有cosC，故C60.5根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()Aa8，b16，A30，有两解Bb18，c20，B60，有一解Ca5，c2，A90，无解Da30，b25，A150，有一解答案D解析A中，因，所以sinB1，B90，即只有一解；B中，sinC，且cb，CB，故有两解；C中，A90，a5，c2，b，即有解，故A，B，C都不正确所以选D.6已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b等于()A2 B.C42 D42答案A解析sinAsin75sin(3045)，由ac，知C75，B30，sinB.由正弦定理，得4.b4sinB2.7在ABC中，已知b2bc2c20，a，cosA，则ABC的面积S为()A. B. C. D6答案A解析由b2bc2c20可得(bc)(b2c)0.b2c，在ABC中，a2b2c22bccosA，即64c2c24c2.c2，从而b4.SABCbcsinA42 .8下列命题中，正确的是()AABC中，若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形BABC中，若b4，c2，C30，则这个三角形有两解CABC中，a2，b62，c4，则最小角为45DABC中，答案D解析sin2Asin2B，2A2B或2A2B180，AB或AB90，即ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；，sinB1，这个三角形无解，故B错误；由题意可知最小边为a2，设最小角为，cos，3045，C错误，故选D.9在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. B. C. D.答案B解析设BCa，则BMMC.在ABM中，AB2BM2AM22BMAMcosAMB，即72a24224cosAMB，在ACM中，AC2AM2CM22AMCMcosAMC，即6242a224cosAMB，由，得72624242a2，a.10甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A. km B. kmC. km D. km答案B解析如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBNcos1201921313，所以MN km.11设a，b，c是ABC的三边，对任意实数x，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2有()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 Df(x)0答案B解析将本题中的函数看成关于x的二次函数，令f(x)0得对应的(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0恒成立12在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B. C. D.答案D解析由题意，得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理，得a20，则cosA0，0A，角A的取值范围是.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2B，则sinC_.答案1解析在ABC中，ABC，AC2B，B.由正弦定理，知sinA.又ab.A，C.sinC1.14在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若6cosC，则_.答案4解析6cosC，可知6，2a22b22c2c2.又4.15某海岛周围42 n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30 n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁危险(填“有”或“无”)答案有解析如图所示，在ABC中，AB30，BAC30，ABC135，ACB15.由正弦定理，得BC15()在RtBDC中，CDBC15(1)42.此船有触礁的危险16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB，a10，ABC的面积为42，则b的值等于_答案16解析cosB，B为三角形的内角，sinB，又a10，ABC的面积为42，acsinB42，3c42，c14，由余弦定理，得b2a2c22accosB10019622472，b6，10，b61016.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且cosA.(1)求sin2cos2A的值；(2)若b2，ABC的面积S3，求a.解(1)sin2cos2Acos2A2cos2A1.(2)cosA，sinA.由SABCbcsinA，得32c，解得c5.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得a242522513，a.18(本小题满分12分)已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的面积解(1)证明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是ABC外接圆的半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去ab1)，SABCabsinC4sin.19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosAccosBbcosC.(1)求cosA的值；(2)若a1，cosBcosC，求边c的值解(1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC有ccosBbcosCa，代入已知条件得3acosAa，即cosA.(2)由cosA，得sinA.则cosBcos(AC)cosCsinC，代入cosBcosC得cosCsinC，从而得sin(C)1，其中sin，cos，0.则C，于是sinC，由正弦定理，得c.20(本小题满分12分)如图所示，已知O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC1，点P是O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧(1)若POB，试将四边形OPDC的面积y表示为关于的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值解(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OPOCcos54cos，所以ySOPCSPCD12sin(54cos)2sin.(2)当，即时，ymax2.21(本小题满分12分)已知向量m，n，函数f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosCcb，求f(B)的取值范围解由题意，得f(x)sincoscos2sincossin.(1)由f(x)1，得sin，则cos2cos212sin21.(2)已知acosCcb，由余弦定理，得acb，即b2c2a2bc，则cosA，又因为A为三角形的内角，所以A，从而BC，易知0B，0，则，所以1sin0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何