高考数学二轮专题复习 直接证明与间接证明提分训练 文 新人教版.doc

直接证明与间接证明高考试题考点一 直接证明1.(2009年宁夏卷,文22)如图,已知abc中的两条角平分线ad和ce相交于h,b=60,f在ac上,且ae=af.(1)证明:b,d,h,e四点共圆;(2)证明:ce平分def.证明:(1)在abc中,b=60,bac+bca=120.ad,ce是角平分线,hac+hca=60,ahc=120.ehd=ahc=120.ebd+ehd=180,b,d,h,e四点共圆.(2)如图所示,连结bh,则bh为abc的平分线,得hbd=30.由(1)知b,d,h,e四点共圆,ced=hbd=30.又aeh=ebd=60,ae=af,ah平分eaf,efad.可得cef=30.ce平分def.2.(2010年浙江卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,br,ab).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3x1,x3x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),f(x)=(x-1)(3x-5),故f(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)证明:由题意得f(x)=3(x-a)(x-),由于ab且a,br,故a,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a,x2=,因为x3x1,x3x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b.又因为-a=2(b-),x4=(a+)=,此时a, ,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=.考点二 间接证明1.(2010年江西卷,文22)正实数数列an中,a1=1,a2=5,且成等差数列.(1)证明:数列an中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an24k,故an-24k1,an+24k1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,所以an=(kn*)都是无理数,即数列an中有无穷多项为无理数.(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有an-1=6m或an+1=6m.当an=6m+1时,有=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(mn).又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(mn)满足=1+24(n-1),即n=+1(mn)时,an为整数;同理an=6m-1(mn*)时,有=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(mn*)也满足=1+24(n-1),即n=+1(mn*)时,an为整数;显然an=6m-1(mn*)和an=6m+1(mn)是数列中的不同项,所以当n=+1(mn)和n=+1(mn*)时,an为整数.由an=6m+1200(mn)有0m33,由an=6m-1200(mn*)有1m33.设an中满足an200的所有整数项的和为s,则s=(1+7+13+199)+(5+11+197)=34+33=6733.2.(2009年辽宁卷,文19)如图所示,已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内,m,n分别为ab,df的中点.(1)若cd=2,平面abcd平面dcef,求mn的长;(2)用反证法证明:直线me与bn是两条异面直线.(1)解:取cd的中点g,连结mg,ng.因为四边形abcd,dcef为正方形,且边长为2,所以mgcd,mg=2,ng=.因为平面abcd平面dcef,所以mg平面dcef.可得mgng.所以mn=.(2)证明:假设直线me与bn共面,则ab平面mben,且平面mben与平面dcef交于en.由题意知两正方形不共面,故ab平面dcef.又abcd,所以ab平面dcef,而en为平面mben与平面dcef的交线,所以aben.又abcdef,所以enef,这与enef=e矛盾,故假设不成立.所以me与bn不共面,它们是异面直线.模拟试题考点一 直接证明1.(2012丰台质检)函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是()(a)f(2.5)f(1)f(1)f(3.5)(c)f(3.5)f(2.5)f(1)(d)f(1)f(3.5)f(2.5)解析:因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,则f(2.5)f(1)f(3.5).故选b.答案:b2.(2012威海期末)若p=+,q=+(a0),则p、q的大小关系是()(a)pq(b)p=q(c)pq(d)由a的取值确定解析:要证pq,只需证p2q2,即证2a+7+22a+7+2,只需证a2+7aa2+7a+12,只需证012成立,012成立,p0,则下列不等式中正确的是()(a)b-a0(b)a3+b30(c)a2-b20解析:a-|b|0,|b|0,-ab0.答案:d考点二 间接证明1.(2012厦门质检)如果a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2的三个内角的正弦值,那么()(a)a1b1c1和a2b2c2都是锐角三角形(b)a1b1c1和a2b2c2都是钝角三角形(c)a1b1c1是钝角三角形,a2b2c2是锐角三角形(d)a1b1c1是锐角三角形,a2b2c2是钝角三角形解析:由条件知,a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0,则a1b1c1是锐角三角形,假设a2b2c2是锐角三角形,由得则a2+b2+c2=,这与三角形内角和为180相矛盾,所以假设不成立,所以a2b2c2是钝角三角形或直角三角形.假设a2b2c2是直角三角形,则直角的正弦值为1,则a1b1c1某角余弦值为1,这与三角形余弦值不可能为1矛盾,所以a2b2c2不可能是直角三角形,即a2b2c2是钝角三角形.故选d.答案:d2.(2012九江模拟)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是()(a)假设三个内角都不大于60度(b)假设三个内角都大于60度(c)假设三个内角至多有一个大于60度(d)假设三个内角有两个大于60度解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,对“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定,即“三个内角都大于60度”.答案:b综合检测1.(2011遵义一模)设a,b,c,d(0,+),若a+d=b+c且|a-d|b-c|,则有()(a)ad=bc(b)adbc(d)adbc解析:|a-d|b-c|,(a-d)2(b-c)2,即a2+d2-2ad0,(a+d)2=(b+c)2,即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,-4adbc.答案:c2.(2012中山质检)设x0,y0,a=x+y,b=,则a与b的大小关系是.解析:当sin =0时,cos2=1,b=xx+y=a即ba,当cos =0时,sin2=1,b=yx+y=a,即b0,y0,xx+y,yx+y,b=x+y=a.综上ba.答案:ba3.(2011湛江一模)命题:“若空间两条直线a,b分别垂直平面,则ab”,学生小夏这样证明:设a,b与平面分别相交于a,b,连接ab,a,b,ab,aab,bab,ab.这里的证明有两个推理,即:和,老师认为小夏的推理证明不正确,这两个推理中不正确的是.解析:在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,故错误.答案:4.(2011包头二模)凸函数的性质定理:如果函数f(x)在区间d上是凸函数,则