高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《直接证明与间接证明 》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点.1.用综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型多为解答题，如2011安徽t19. 2.主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体考查，题目具有一定的综合性，属于高档题.归纳知识整合1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：.探究1.综合法与分析法有什么联系与差异？提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题2间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法探究2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)若从正面证明，需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或很少的几种情形自测牛刀小试1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()a2个b3个c4个 d5个解析：选d由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，都正确2(教材习题改编)要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()a综合法 b分析法c反证法 d归纳法解析：选b要证明b，那么”假设内容应是()a. b.c.且 d.或的否定为 .4在不等边三角形中，a为最大边，要想得到a为钝角的结论，三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos a0，所以b2c2a2b2c2.答案：a2b2c25下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0，即a，b不为0且同号即可，故有3个答案：3综合法的应用例1设a、b、c0，证明abc.自主解答a、b、c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)，即abc.利用综合法证明问题的步骤保持本例条件不变 ，试证明a3b3c3(a2b2c2)(abc)证明：a、b、c0，a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)，a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，将三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(a2b2c2)(abc)a3b3c3(a2b2c2)(abc) 1已知xyz1，求证：x2y2z2.证明：x2y22xy，x2z22xz，y2z22yz，2x22y22z22xy2xz2yz.3x23y23z2x2y2z22xy2xz2yz.3(x2y2z2)(xyz)21.x2y2z2.分析法的应用例2已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)f.自主解答要证f(x1)f(x2)f，即证明(tan x1tan x2)tan，只需证明tan，只需证明.由于x1、x2，故x1x2(0，)故cos x1cos x20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)f.分析法的适用条件当所证命题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的使用2已知a0，求证： a2.证明：要证 a2，只要证 2a.a0，故只要证22，即a24 4a2222，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.反证法的应用例3设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？自主解答(1)证明：若sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列sn不是等比数列(2)当q1时，sn是等差数列当q1时，sn不是等差数列假设q1时，s1，s2，s3成等差数列，即2s2s1s3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列1反证法的解题原则反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法2反证法中常见词语的否定形式原词否定形式至多有n个(即xn，nn*)至少有n1个(即xnxn1，nn*)至少有n个(即xn，nn*)至多有n1个(即x0，且abbcca0和abc0.证明：必要性(直接证法)：a，b，c为正实数，abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0.又abbcca0，a(bc)bc0，且bc0.又a0，bc0，a(bc)0，a0.这与a0，即a(bc)0.又a0.则a(bc)0，与式矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数3个规律利用综合法、分析法、反证法证题的一般规律(1)综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(2)分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(3)反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是a，或者是非a.即在同一讨论过程中，a和非a有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现3个注意点利用反证法证明问题应注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的. 易误警示不等式证明中的易误点典例(2011安徽高考)(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.证明：(1)由于x1，y1，所以xyxy xy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy，其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)可知所要证明的不等式成立1证明问题(1)有两处易误点：不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形(即分解因式)，从而导致无法证明不等式成立2证明问题(2)时常因忽视条件“1abc”而不能挖掘出其隐含条件，即xlogab，ylogbc，从而无法证明不等式3在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，明确数学证明方法不是孤立的，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程1.设函数f(x)xnbxc(nn*，b，cr)(1)设n2，b1，c1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值解：(1)证明：当b1，c1，n2时，f(x)xnx1.ff(1)10，f(x)在上是单调递增的f(x)在内存在唯一零点(2)法一：由题意知即由图象知，b3c在点(0，2)处取到最小值6，在点(0,0)处取到最大值0，故b3c的最小值为6，最大值为0.法二：由题意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，2得62(bc)(bc)b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.法三：由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知函数f(x)x，a，b为正实数，af，bf()，cf，则a，b，c的大小关系为()aabcbacbcbca dcba解析：选a，又f(x)x在r上是单调减函数，故ff()f.2(2013成都模拟)设a，br，则“ab1”是“4ab1”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a若“ab1”，则4ab4a(1a)4211；若“4ab1”，取a4，b1，ab3，即“ab1”不成立；则“ab1”是“4ab1”的充分不必要条件3若p，q(a0)，则p、q的大小关系是()apq bpqcpq d由a的取值确定解析：选c假设pq，要证pq，只要证p2q2，只要证：2a722a72，只要证a27aa27a12，只要证012，012成立，pb，ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立，其中正确判断的个数为()a0 b1c2 d3解析：选c正确；中，ab，bc，ac可以同时成立，如a1，b2，c3，故正确的判断有2个5不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()a成等比数列而非等差数列b成等差数列而非等比数列c既成等差数列又成等比数列d既非等差数列又非等比数列解析：选b由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列6在r上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()a bc. d.解析：选d据已知定义可得不等式x2xa2a10恒成立，故14(a2a1)0，解得a，故a的最大值为.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案：“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|0，则实数p的取值范围是_解析：法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的范围为.法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p0，1，求证： .证明：1，a0，0b，只需证1，只需证1abab1，只需证abab0，即1，即1.这是已知条件，所以原不等式成立11等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得解得d2，故an2n1，snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rn*，2pr，(pr)20.pr.与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列12已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nn*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.解：(1)由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)由(