高中平面几何讲义.doc

高中平面几何(上海教育出版社 叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，Ptolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理例题和习题1 以ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。求证：直线AD、BF、CE三线共点。2 以ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使ABDACE90。求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。3 已知梯形ABCD中，ADBC。分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE和正方形DCHF。连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MAMD。4ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边于D点。求证：NDAM。(06061602gsp)5ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是ABC、ABD、ACD的外心，求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理）6ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是ABC、ABD、ACD的外心，O是A、O、O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。求证：（1）ODBC的充要条件是：AD恰好经过ABC的九点圆心！（2）记ABC的九点圆心为Ni 。作OEBC，垂足为E。则Ni EAD！ (06051705gsp) (06052901gsp)7四边形ABCD中，P点满足PABCAD，PCBACD，O1、O2分别是ABC、ADC的外心。求证：PO1BPO2D。（06060301gsp）8设I是圆外切四边形ABCD的内心，求证：IAB，IBC，ICD，IDA的垂心共线。9已知凸四边形ABCD满足：AB+AD=BC+CD，延长BA，CD交于E点，延长BC，AD交于F点。求证：EB+ED=FB+FD（或EA+EC=FA+FC）。（05123102gsp）10（06.8.9）设A、B、C、D是椭圆上四点。若直线AB、CD的斜率之积 ，则直线AC、BC或直线AD、BC的斜率之积也必等于。（注：这时经过A、B、C、D四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆的离心率。）（06080901gsp）（06081201gsp）1在ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：ODBC的充要条件是：AD恰好经过ABC的九点圆心。【证明】取ABC的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（Salmon圆）。易知AO1O2ABC，且O1O2是AD的垂直平分线。作顶点A关于BC边的对称点A，易看出AODAOA。设BC边高的垂足为G，再取AO连线的中点L，则LG是AOA的中位线，进而知AODALG。得ODALGA。再作外心O关于BC的对称点O，由AH2OMOO知A O经过九点圆心Ni。（注：AHNiOONi）由LMA O知ADCLMG；在直角梯形AOMG中，得LMGLGM。故ADCLGM。而LGMLGA90。将、代入得ODAADC90。ODBC。2在ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。记ABC的九点圆心为Ni。作OEBC，垂足为E。则Ni EAD。 （叶中豪提供）【证明】作LKAH。由AH2OM，Ni F（OMHG）/2易知AK Ni F。又因OL在BC上的射影是EF，而AL在AG上的射影是AK，且两者夹角相等（都等于），故。由、知RtAOLRtNi EF。得AOLNi EF。而由下图，又易知AOLADC。由、得Ni ECADC，Ni EAD。3ABC中，AH是BC边上的高，D是直线BC上任一点。O、O1、O2分别是ABC、ABD、ACD的外心，N、N1、N2分别是ABC、ABD、ACD的九点圆心。设O是A、O、O1、O2所共圆（Salmon圆）的圆心，作OEBC，垂足为E。则H、E、N、N1、N2五点共圆。（闵飞提供）【证明】引理 ABC中，记外心O关于BC边的对称点为O，则九点圆心Ni是A O的中点。（证略）如下图，作A、O、O1、O2诸点关于BC边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。再以A点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H、N、N1、N2一定共圆。（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon圆的一半！）再在Salmon圆上取A，使AABC。因此OE所在直线是AA的中垂线。作A关于BC边的对称点A。易知AA的中点恰是E，于是E也在上述位似后的圆上。5四边形ABCD中，P点满足PABCAD，PCBACD，O1、O2分别是ABC、ADC的外心。求证：PO1BPO2D。（叶中豪提供）【证法1】（田廷彦提供）如上图，延长CP交ABC的外接圆于Q。连接QA、QB、QO1、AO2。在等腰O1BQ和等腰O2AD中，由于BO1Q2BCQ2ACDAO2D，故O1BQO2AD。又在PAQ中，由正弦定理其中R1、R2分别是BAC和DAC的外接圆半径。而，故。由此，又BQPBACPAD，PQBPAD。由、，即可知O1、O2是相似三角形PQB和PAD中的对应点，从而得PBO1PDO2。证毕。【证法2】（柳智宇提供）如下图，延长AP、CP分别交ACD的外接圆于C、A。