1.3.4以正方形为载体的中考综合题.doc

1.3.4以正方形为载体的中考试题 研究课 班级_姓名_正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点,与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.方法迁移类：1. (11 济宁)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DEEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.图1 图2 2. (11 永州)探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，1=2，ABG=D=90，图ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BADEAF=9045=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF 方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，图且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足EAF=DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）图图13. (10 绍兴) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，AOF90.求证：BECF.图2(2) 如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，FOH90， EF4.求GH的长.(3) 已知点E、H、F,、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，FOH90，EF4. 直接写出下列两题的答案：如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； 如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图4图34.(10 无锡)（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）类似题型(10 黄冈)如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.5. (11 舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 图2图3 图16(11 盐城)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 图1 图2问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4结论探究类：1(11 临沂)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；图1 图2 图3（3）如图3，将（2）中的“ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求的值 2(10 三明)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PFDC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF （1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0，PEPB且PE交CD点E 求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论； （2）若点P在线段CA的延长线上，PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）3(11 潍坊)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PEPF的值. 4（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）EAF的大小是否有变化？请说明理由（2）ECF的周长是否有变化？请说明理由5如图1，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，四边形DEFG为ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，则正方形的边长为 ；（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，则正方形的边长为 猜想与证明：如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明图1ABCDEFG图2ABC图3ABCGGFFDDEE图4ABCGFDE6操作：将一把三角尺放在边长为4的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q探究：设A、P两点间的距离为xABCDPQE（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你的结论（2）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有可能的情况，并求出相应的x的值.旋转动点类：1. (10 宁德)如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；EA DB CNM当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.2.( 11 南通) 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD，连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究AE与BF的数量关系，并给予证明；（2） 当30时，求证：AOE为直角三角形.3.(11 泰州)在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由4.(10 常德)如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. 求证：AGCH；BACDEFGH 图12ABCDEFG图11当AD=4，DG=时，求CH的长.ABCDEFG图10M5.操作：如图，已知正方形ABCD与CEFG的边长分别为a、b（ab），连结DE、AF固定正方形ABCD，将正方形CEFG绕顶点C逆时针旋转角度（0180）探究：在图形的旋转变换中，我们发现，DE、AF的长度也随旋转而发生着变化为探究AF与DE之间的函数关系，设DEx，AFy（1）若a4cm，b2cm，则在旋转过程中，函数值y的取值范围为_；（2）对于旋转角度为锐角和钝角这两种情形，分别在如下的备用图中画出相应的图形；（备用图1）（备用图2）（3）探究y与x的函数关系式6. (10年顺义)已知正方形纸片ABCD的边长为2来源:Z|xx|k.Com操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？7. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合. (1)请直接写出该正方形运动6秒时与直角ABC重叠部分面积的大小；(2)设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与RtABC重叠部分的面积为y.在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；在该正方形整个运动过程中，求x为何值时，y的值为0.5？ 8. 如图，等腰RtMNQ与正方形ABC