13.4-最短路径问题.doc

课题：人教版八年级上 13.4最短路径问题课题13.4 最短路径问题课型新授时间1课时设计意图学情分析及突破办法最短路径问题在现实生活中经常遇到，在初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还会借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮水问题”为载体开展对最短路径问题的课题研究，让学生 经历将实际问题抽象为数学的“线段和最小问题”，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题。八年级学生对平面内的最短问题有一定认知能力，对图形的理解有一定的深度，但对一些基本的数学思想比较模糊，知识的运用、迁移、联想能力差，本课需要加强学生对两种基本变换的性质熟悉掌握的基础上，培养学生学会将实际问题转化为数学问题的能力，通过学生观察、猜想、探究、证明的学习过程，细化对新知的认知和理解，充分发掘图形内部的相互关系，紧密结合已学知识，层层突破难点。教学目标及知识重点、难点知识与能力： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上某点距离之和最小值时，这点的位置。 2.运用轴对称、平移解决生活中路径最短问题。过程与方法： 让学生经历探索过程，体会运用转化，建模思想研究数学问题，培养学生分析问题解决问题的能力。重点： 将实际问题转化为数学问题，确定出最短路径的方法。难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。核心素养： 数学抽象 逻辑推理 数学建模教学准备1、教师：学案、作图工具、多媒体课件2、学生：作图工具教学过程设计（复习引入，创设教学情境）一、复习引入、创设情境1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 老师提问，学生集体回答：(“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”)2、如图所示，从A地到直线l上B、C、D三个位置，你认为哪条路最短？你的理由是什么？老师提问，学生集体回答：（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）3、归纳并提出生活中还存在其他的最短路径问题，并书写课题，展示学习目标和学习重难点。设计意图：通过复习，再现两种最短路径的数学模型，增强学生的图感，为课题做好铺垫，同时引出新课题。教学过程开展、预设、方法二、 自主学习，探究新知 （一）直线两侧两点最短路径问题1：小马和松鼠住在河的同侧，小马准备把礼物小松鼠，请问小马怎样走路径最短？学生回答： （对于这个实际问题，学生很容易把它转化为两点之间线段最短的数学模型） （二）直线两侧两点最短路径问题2：住在河边的小马准备把礼物送给河对面的小松鼠，请问，小马怎样过河路径最短，从河边那个点过河？学生积极思考，小组合作交流： （对于这个实际问题，在不考虑河流宽度的情况下，通过两点之间线段最短，让学生建立最短路径，从而产生线段AB与直线l的交点C，使得最短路径变成了AC+BC的和最小，教师进一步引导学生观察图形，怎样构造两条线段和最小图形和方法）（三）将军饮马问题问题3：古希腊有一位精通数学、物理学的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中A 地出发，先到一条笔直的河边l 饮马，然后回到营地B选河边什么地方饮马可使将军所走的路线全程最短？学生自主学习，小组合作与探究：教师设计下列几个方面问题引导学生思考：（1）我们解决实际问题，首先该怎么做？（2）能否转化为“A、B在直线l异侧”来解决呢？（3）如何满足“直线l上的任意一点C，保持C B = C B ”？师生活动过程中注意：（1）将这个实际问题抽象为数学问题，（2）利用轴对称知识，帮助我们实现“直线l上的任意一点C，保持C B = C B ”（3）转化为“A、B在直线l异侧”来解决在直线l上的动点中确定C。 （4）体现数学化归思想学生得到解决问题的方法，组织实施作图并进一步用数学知识论证。（1）做B 关于直线l的对称点B， 根据轴对称性质：CB=CB CB+ CA =CB+ CA（2）根据两点之间线段最短，连接A B，交直线l于C， C 为所求。 同理：CB+CA=CB+CA= AB ACB中，AC+CBAB反思：证明AC +BC 最短时，点C的作用是什么？ 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 （四）造桥选址问题4：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）学生自主学习，小组合作与探究：教师设计下列几个方面问题引导学生思考：（1）我们解决实际问题，首先该怎么做？（2）对比问题3、问题4、有什么不同和关联？（3）怎样转化为问题3的数学模型？师生活动过程中注意：（1）将这个实际问题考虑河宽，且河的两岸平行，河宽等条件的利用。（2）利用平移知识，帮助我们实现转化问题3的图形。（3）MN的确定以及最短路径的画法。 做法： 1.将AM 沿垂直与河岸的方向平移MN，使得到M、N重合，平移后A点记为A，2.连接AB交河对岸直线b与点N,3.过N作NMa于点M，点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：根据平移的性质 AM=AN AA=MN 又 ANB中， AN+BNAB AB=AN+NB AN+BNAN+NB AM+BNAN+N M+BN+MNAN+NB+MN 所以点M为所求建桥位置，AM+BN+MN最小。归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。设计意图：培养学生实际问题抽象化的能力。设计意图：巩固旧知，展现新的数学问题，两线段和的最小问题的解决方案，为问题3打基础。设计意图：1、拓展学生数学素养，了解数学名人。2、实际问题转化为几何图形能力的培养。3、在动态运动中确定一个点与其他两点距离和最小问题的解决方法。4、既巩固轴对称，用运用轴对称解决问题。5、培养学生探究性问题的能力。6、规范学生数学作图并严格几何论证。设计意图：1、拓展学生数学素养，了解数学名人。2、实际问题转化为几何图形能力的培养。3、在动态运动中确定一个点与其他两点距离和最小问题的解决方法。4、既巩固平移，用运用平移解决问题。5、培养学生探究性问题的能力。6、规范学生数学作图并严格几何论证。达标检测与成果展示三、达标检测，能力提升1、如右图是一个正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块表面爬到点B处，请画出爬行的最短路径？ 2、如图：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，请在图中做出DNMN最小时，N点的位置？ 设计意图：问题1：从平面几何的最短路径进一步升华到立体中最短路径。问题2：正方形的对称性应用。课堂小结四、课堂小结，学习反馈本节课学习了哪些内容？ 你有哪些收获？对老师说你还有哪些困惑？拓展探 索五、巩固新知，拓展探索一点在两相交直线内部(三条线段和最小)已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使ABC周长最小.设计意图：拓展学生的思维空间，为下节课做好准备。教学板书设 计六、教学板书：课题：人教版八年级上 13.4最短路径问题（一）直线两侧两点最短路径 （四）造桥选址（二）直线两侧两点最短路