江苏省响水中学高中数学 第二章《幂函数》导学案 苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章幂函数导学案 苏教版必修11.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x-1,y=x12的图象,了解它们的变化情况.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积s关于边长a的函数是s=a2,正方形的边长a关于面积s的函数是a=s,圆的面积s关于半径r的函数是s=r2,正方体的体积v关于棱长a的函数是v=a3 .问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x和y表示后分别是y=x2,y=x,y=x2,y=x3 ,其中符合y=xa形式的函数有个,分别是,.(2)一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数.(3)幂函数的特点是底数是,指数是,系数是.问题2:常见的幂函数y=x,y=x-1,y=x2,y=x3,y=x12的图象和性质是怎样的?函数性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域(-,+)(-,+)(-,+)0,+)(-,0)(0,+)值域(-,+)0,+)(-,+)0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-,0减,0,+)增增增(-,0)减,(0,+)减定点(0,0),(1,1)(1,1)问题3:幂函数的性质主要有哪些?(1)所有幂函数在(0,+)上都有意义,并且图象都过点.(2)当0时,则幂函数的图象都过点,并且在区间0,+)上为;当为奇数时,幂函数为;当为偶数时,幂函数为.(3)当0时,则幂函数图象都过点,在区间(0,+)上是,在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近轴,当x趋向+时,图象在x轴上方无限地逼近轴.问题4:如何比较两个幂的大小?比较两个幂的大小,需观察两个幂的结构特征.(1)若两个幂的指数相同,构造幂函数,根据函数的比较大小;(2)若两个幂的底数相同,构造指数函数,利用指数函数的比较大小;(3)若两个幂的底数和指数均不同,找一个中间幂,使之与一个幂的,与另一个幂的,分别将此幂与它们比大小.1.下列函数y=2x2;y=x2+1;y=1x2;y=2x,其中是幂函数的是.2.设-1,1,12,3,则使函数y=x的定义域为r且为奇函数的所有值为.3.幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(9)=.4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.(1)y=x-2;(2)y=x23.幂函数的概念已知y=(m2+2m-2)x1m2-1+2n-3是幂函数,求m,n的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小:(1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1;(3)(23)34与(34)23.幂函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域.(1)y=x-23;(2)y=x-34.已知函数f(x)=(m2+2m)xm2+m-1,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.(1)(-2)37,(-3)37,(-5)37的大小关系为.(2)已知幂函数y=xp-3(pn*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,求满足(a+1)p313,(25)0.5(13)0.5.(2)幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的,又-23(-35)-1.(3)函数y1=(23)x为减函数,又3423,(23)23(23)34,又函数y2=x23在(0,+)上是增函数,且3423,(34)23(23)23,(34)23(23)34.【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】(1)y=x-23=13x2.定义域为x|xr且x0,值域为(0,+).(2)y=x-34=14x3定义域为(0,+),值域为(0,+).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.思维拓展应用应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则m2+m-1=1,m2+2m0m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则m2+m-1=-1,m2+2m0m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则m2+m-1=2,m2+2m0m=-1132.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-12.应用二:(1)(-2)37(-3)37(-5)37(1)y=x37,370,y=x37在(0,+)上单调递增.235,(2)37(3)37(-3)37(-5)37.(2)幂函数y=xp-3在(0,+)上是减函数,p-30,p3,又pn*,p=1或2.幂函数y=xp-3图象关于y轴对称,函数y=xp-3为偶函数,p=1.(a+1)13(3-2a)13.y=x13在r上是增函数,a+13-2a,a1.51,所以1.7131.5131.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现03.8-231,(-1.8)350,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8)353.8-233.925.(3)由于它们的底数和指数都不同且大于1,故可插入一个中间数31