高考数学 3.6数列综合.doc

3.6数列的综合问题课前回顾一、知识要点与能力要求1掌握解决数列与方程、函数、不等式、三角、解析几何等知识综合问题的解法2掌握数列模型应用题的解法二、要点梳理及基础解说数列的综合应用是每年高考的必考内容之一，高考对其考查主要有以下三个方面：（1）直接考查等差与等比数列的综合应用；（2）以数列为载体，考查与函数、不等式等有关知识的综合应用；（3）以数列为工具解决实际应用问题三、基础自测1（2005年辽宁）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是11yxO11yxO11yxO11yxO（）（）（）（）【解答】由，得，即，故选A 2已知数列的通项为,且对所有正整数均成立，则实数的取值范围是（B）A B C D3如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则解析：由，得，且4若一次函数中为不等于的常数，且设，则数列为（B）A等差数列B等比数列C递增数列D递减数列5方程的根称为函数的不动点若函数有唯一不动点，且，则20056一个用十进制表示的正整数，它的个位数是，若，则87某林厂年初有森林木材存量m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量 m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则的值是（）ABCD解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）x；二次砍伐后木材存量为S（1+25%）x（1+25%）x.由题意知（）2Sxx=S（1+50%），解得x=.8从2005年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2011年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元解析：存款从后向前考虑=课上探究题型一：数列与函数综合问题一、典型例题例1设是函数的反函数图象上不同的三点，如果使成等差数列的实数有且仅有一个，求实数a的取值范围解：由，又成等差数列，即，令，若使成等差数列的实数有且仅有一个，只需，或，即，或当时，满足题意的实数有且仅有一个例2（10年湖南21）数列中，是函数的极小值点 （）当时，求通项；（）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 【解析】易知令 (1)故在（2）（3）二、拓展练习1设，定义，其中nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求解：（1）2，数列an上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得： 2（06浙江）已知函数，数列()的第一项，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过和两点的直线平行（如图）.求证：当时，()；（）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即 因此又因为 令 则因为 所以因此 故三、方法归纳数列与函数综合问题一般有两种类型：（1）由于数列是特殊的函数，是定义域为正整数集或其子集，且自变量从小到大变化时函数值的序列，通项公式，递推公式.依次构造数列，根据函数的性质来研究数列的性质；（2）在函数图象上选取一系列满足某一条件的点，研究这些点的横、纵坐标构成的数列研究这些问题，都需要熟练掌握函数和数列的性质题型二：数列与不等式综合问题一、典型例题例3已知数列中，（1）求证：； （2）求证：对于都成立；（3）求函数的值域 （）（1）证明：当时，假设当时，有成立，即则当时，当时，也有成立对一切，总有成立（2），即，对于都成立（3），函数的值域是： 例4在数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：解：（1）将整理得：所以，即时，上式也成立，所以， （2）若恒成立，即恒成立整理得：令因为，所以上式，即为单调递增数列，所以最小，所以的取值范围为（3） 所以，二、拓展练习3（10年全国18）已知数列的前项和（）求；（）证明：4设数列满足（），前项的和，且（）（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）当时，比较与的大小；（3）若，求证解：（1）由（），得（），即（），而（），数列是以为首项，以为公比的等比数列，（2），又，又，（3），三、方法归纳有关数列不等式的证明，除用证明不等式的一般方法外，常用以下方法：（1）如果已知递推公式，可以考虑用数学归纳法证明有关不等式；（2）关于前项和的不等式，如果较易求和，一般先求和，再放缩；如果求和不方便，一般先将通项放缩，再求和证明题型三：数列与解析几何综合问题一、典型例题例5（10年安徽文21） 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列（）证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和. 二、拓展练习5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列（）求点的坐标；（）设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；（）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：，=（3），中最大数.设公差为，则，由此得三、方法归纳数列与解析几何综合问题，一般是由点的坐标构造数列，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解题型四：数列的实际应用问题一、典型例题例6（07年安徽理21）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.解：（）我们有（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列二、拓展练习6（05湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn0，nN*由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知 0xn3b, nN*, 特别地，有0x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.三、方法归纳解答应用题的关键是建立数学模型一般涉及到平均增长率的问题用等比数列；涉及到等值增减等实际问题用等差数列，这是两种常见的数列模型在有关数列的实际问题中，往往较易得到数列的递推公式课下巩固一、基础训练1已知是递增的数列，且对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（D）A BCD解析：由题意知对于任意，恒成立，即恒成立，得2设是从这三个整数中取值的数列，若，且，则中0的个数为（B）A10 B11 C12 D13解析：将已知的等式展开整理得，故此50个数中有11个数为03（10江西5）等比数列中，=4，函数，则（ C）A B C D【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：4一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为（A）A.f（n+1）f（n）=n+1Bf（n+1）f（n）=nCf（n+1）=f（n）+2nDf（n+1）f（n）=15某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为_解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，S5=二、能力提高6（10年湖北文19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为（单位：m2）的旧住房（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积是多少？（计算时取1.15=1.6）解：（1）第1年末的住房面积， 第2年末的住房面积 ， （）第3年末的住房面积 ， 第4年末的住房面积 ， 第5年末的住房面积 依题意可知，解得，所以每年拆除的旧房面积为7 (10年浙江文21)已知函数（）（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列，并求 ()解：当a=1,b=2时，因为f(x)=(x-1)(3x-5)，故f(2)=1又f(2)=0，所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2（）证明：因为f（x）3（xa）（x），由于ab，故a.所以f（x）的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b.又因为a2（b），x4（a），此时a，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4.8（08年全国22）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立. （）证明：由可得1， 若存在某满足，则由知：2， 若对任意都有，则，即成立.9（08年湖南卷18）数列， ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解： ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，10设=为奇函数，且，数列与满足如下关系：， ，（1）求的解析表达式；（2）证明：当时，有解：（1）由是奇函数，得，由，得，故(2) =，=，而，是以为首项，为公比的等比数列，当时，