13.4 课题学习　最短路径问题.doc

13.4课题学习最短路径问题一.内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，还要借助轴对称、平移等变换进行研究二教学目标1.能将所有一个动点的最短路径问题，用“轴对称”化“同侧”为“异侧”； 用“平移”化“不相连”为“相连”，转化为最简单形式来解决。2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想三.教学重点：利用轴对称和平移将最短路径问题转化为最简单形式，用“两点之间，线段最短”解决四.教学难点：如何利用轴对称和平移，将最短路径问题转化为最简单形式五、教学过程设计1.复习引入: 两点之间，线段最短；垂线段最短；轴对称；平移。BAP2. 问题1：如图1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最短？分析：先在直线l上任意取一个点P,连接PA、PB,使PA+PB最小即可，再接着分析所求两条线段PA、PB的特点。此时PA、PB在直线l的异侧，且有一公共点P.所求的两条线段在直线的异侧，且有一个公共端点。简称为“异侧且相连” 形式。因为比较简单，所以也称为“最简单形式”。对于问题1，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求；PBAB3.问题2：如图2，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？让学生参考问题1，先在直线l上任意取一个点P进行分析.分析：先在直线l上任意取一个点P,连接PA、PB，使PA+PB最小即可.再接着分析所求两条线段PA、PB的特点：此时PA、PB在直线l的同侧，且有一公共点P. 所求的两条线段在直线的同侧，且有一个公共端点。称为“同侧且相连” 形式这种形式能否转化为最简单形式呢？如何转化呢？可利用“轴对称”化“同侧”为“异侧”，将PA （或PB ）“轴对称”到另一侧PA （或PB ）,这样就将“同侧且相连”转化为最简单形式即“异侧且相连”形式。 再利用问题1的方法，连接AB，则AB与直线l的交点即为所求学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图作法：(1)作点A关于直线l的对称点A；来源:Z|xx|k.Com(2)连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求设计意图：通过分析和比较，使学生掌握“同侧且相连” 形式的特征，并能用“轴对称”将“同侧且相连”难于解决的问题转化为“异侧且相连”容易解决的问题，渗透转化思想PMNAB4. 问题3：如图：A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处使从A到B的路径AMNB最短？（河岸是两条平行的直线，桥要与和河岸垂直。）分析：先假设桥造在任意位置,连接,由于河宽不变，要使路径AB最短，也就是使A M+B N最小，再接着分析所求两条线段A M、B N的特点：此时的两条线段A M和B N在河的异侧，但没有公共端点.所求的两条线段在直线的异侧，且没有公共端点。简称为“异侧不相连” 形式这种形式又能否转化为最简单形式呢？可利用“平移”化“不相连”为“相连”，将A M （或B N）向下（或向上） 平移河宽距离，这样就将“异侧不相连” 形式转化为 “异侧且相连”形式。 再利用问题1的方法，连接AB，则AB与直线b的交点即为所求桥MN的位置设计意图：通过分析和比较，使学生掌握“异侧不相连” 形式的特征，并能用“轴对称”将“异侧不相连”难于解决的问题转化为“异侧且相连”容易解决的问题，渗透转化思想5.总结：一个动点的最短路径问题，实际上是两条线段的和最短的问题，根据这两条线段的特点，可分为四种形式, 利用“轴对称”和“平移”可后三种形式转化为第一种形式。设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会“轴对称”和“平移”在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值 6. 训练：如图，有位饮马人从如图中的A地出发到河岸去饮马，且沿着河岸走一段路程a，然后再去B地，走什么样的路线最短？ a