第二章第5讲二次函数与幂函数.DOC

第5讲二次函数与幂函数1幂函数的图象与性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)(2)如果0，则幂函数图象过原点，并且在区间(0，)上为增函数(3)如果0，则幂函数图象在区间(0，)上为减函数在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴(4)当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数只要求掌握幂函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象与性质做一做1已知函数f(x)(2mm2)xm2m，当m为何值时，f(x)是二次函数？这时是幂函数吗？解：若f(x)为二次函数，则m2m2，解得m1或m2.当m1时，f(x)x2；当m2时，f(x)8x2.因此当m1时，f(x)既是二次函数又是幂函数2二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0)；(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)做一做2已知二次函数f(x)ax2bxc对任意实数x都有f(x)f8，且f(2)1，求二次函数f(x)的解析式解：因为对任意实数x都有f(x)f8，所以二次函数f(x)ax2bxc，当x时，f(x)max8，即二次函数的图象开口向下，且顶点的坐标为.所以令f(x)a28，又f(2)1，所以a281，解之得a4，所以f(x)4(x)284x24x7.3闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值只能在x处及区间的两端点处取得，具体如下：当a0时，若xp，q，则f(x)minf，f(x)maxmaxf(p)，f(q)；若xp，q，f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)当a0时，若xp，q，则f(x)maxf，f(x)minminf(p)，f(q)；若xp，q，则f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)做一做3已知函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值解：f(x)4(x)22a2，当0，即a0时，函数f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1，又a0，所以a1.当02，即0a4时，f(x)minf2a2，由2a23，得a(0,4)，故舍去当2，即a4时，函数f(x)在区间0,2上是减函数，所以f(x)minf(2)a210a18，由a210a183，解得a5，因为a4，所以a5.综上所述，a1或a5.1必明辨的1个易错点对于二次函数单调性、最值等研究没有注意自变量的限制条件练一练1已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_解析：f(x)(xa)2a2a1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.答案：2或12必会的2种方法(1)结合二次函数图象，利用数形结合思想解题(2)与二次方程紧密结合，利用函数与方程思想解题练一练2设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_解析：二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.答案：0,23已知二次函数f(x)满足条件f(0)0，f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值，如果不存在，说明理由解：(1)因为f(x)是二次函数，故可设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，所以c0，即f(x)ax2bx.又f(x5)f(x3)，所以函数f(x)的对称轴方程为x1，即1.又方程f(x)x有等根，所以在方程ax2bxx中，(b1)20，即b1；所以a，即f(x)x2x.(2)假设存在实数m，n，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和3m,3n，因为f(x)(x1)2，所以3nn，故f(x)在m，n上为增函数，所以又mg(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)m2mm(m1)，mN*，而m与m1中必有一个为偶数，所以m(m1)为偶数所以函数f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)因为函数f(x)经过点(2，)，所以2(m2m)1，即22.所以m2m2.解得m1或m2.又mN*，所以m1.由f(2a)f(a1)得解得1a，所以实数a的取值范围为1，)考点二二次函数的图象与性质(高频考点)已知函数f(x)x22ax1，求f(x)在区间0,2上的最值解函数f(x)x22ax1(xa)21a2的对称轴是直线xa，(1)若a0，f(x)在区间0,2上单调递增，当x0时，f(x)minf(0)1；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(2)若0a1，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(3)若1a2，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x0时，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，则f(x)在区间0,2上单调递减，当x0时，f(x)maxf(0)1；当x2时，f(x)minf(2)54a.综上，当a0时，f(x)min1，f(x)max54a；当0a1时，f(x)min1a2，f(x)max54a；当1a2时，f(x)min1a2，f(x)max1；当a2时，f(x)min54a，f(x)max1.方法归纳解决二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程xm，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)的解析式解(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.方法归纳求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法2.设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR的最小值为g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值解：(1)f(x)x22x2(x1)21，顶点坐标为(1,1)当t11，即t0时，函数在t，t1上为减函数，g(t)f(t1)t21；当t11且t1，即0t2xm恒成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)1，得c1.所以f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以所以因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1，由m10得，m2x的解集为(1,3)，且方程f(x)6a0有两个相等实数根，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)因为f(x)2x，所以ax2(b2)xc0的解集为(1,3)所以13，13.又ax2bxc6a0有两个相等实根，所以b24a(c6a)0.易知a0，由组成方程组，解得所以f(x)x2x.5已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数的取值范围解： (1)因为f(x)x2mxn，所以f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，所以m22m，即m2.又f(x)的图象过点(1,3)，所以312mn，即mn2，所以n0，所以f(x)x22x.又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称，所以g(x)(x)2 2(x)，所以g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x.当10时，F(x)的对称轴为x，又因为F(x)在(1,1上是增函数，所以或所以1或10.当10，即1时，F(x)4x显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值范围为(，0方法思想二次函数区间最值问题已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式解(1)当a1时，f(x)x2|x|1作图(如图所示) (2)当x1,2时，f(x)ax2x2a1.若a0，则f(x)x1在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3.若a0，则f(x)a(x)22a1，f(x)图象的对称轴是直线x.当a0时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当01，即a时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当12，即a时，g(a)f()2a1，当2，即0a时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.综上可得g(a)感悟提高在研究有关二次函数区间最值时一般用到分类讨论思想：一是对二次项系数a进行讨论；二是要对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致；二是分类时要做到不重不漏；三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论具体运用时一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线6.设函数yx22x，x2，a，则函数的最小值g(a)_.解析：因为函数yx22x(x1)21，所以对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)答案：7已知函数f(x)4x24ax4aa2(a0)在区间0,1内有一个最大值5，则a的值为_解析：f(x)424a，对称轴为x，顶点为.当1，即a2时，f(x)在区间0,1上递增所以ymaxf(1)4a2.令4a25，所以a12(舍去)当01，即0a2时，ymaxf4a，令4a5，所以a(0,2)答案：1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_解析：设幂函数的解析式为f(x)x，则3，得2.故f(x)x2.答案：f(x)x22对于函数yx2，yx有下列说法：两个函数都是幂函数；两个函数在第一象限内都单调递增；它们的图象关于直线yx对称；两个函数都是偶函数；两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；其中正确的有_解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质进行比较答案：3比较0.20.5,0.40.3的大小，结果为_解析：先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y0.2x是减函数，故0.20.50.20.3；yx0.3在(0，)上是增函数，故0.20.30.40.3.则0.20.50.40.3.答案：0.20.5.答案：(，)8已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_解析：设二次函数的解析式为f(x)a249(a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，所以f(x)在上递减，在上递增所以f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，所以f(x)在0,1上递减所以f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，所以f(x)ax22x在0,1上递减所以f(x)minf(1)a2.综上所述f(x)min1已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b0时，g(x)在2,3上为增函数，故当a0时，g(x)在2,3上为减函数，故因为b0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_解析：当x0，f(x)f(x)(x1)2，因为x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.答案：13若函数f(x)x2ax在(，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：由题意知f(x)0对任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x(，)恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需a(2x)max.令h(x)2x，x(，)因为h(x)2，所以当x(，)时，h(x)0，即h(x)在(，)上单调递减，所以h(x)0，bR，cR)(1)若函