初中数学范例—勾股定理（2）.doc

18.1 勾股定理（第2课时）【教学目标】知识技能：1、运用勾股定理进行简单的计算。2、运用勾股定理解决生活中的实际问题。数学思考：通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和属性结合的思想方法。解决问题：能运用勾股定理解决直角三角形相关问题。情感态度：通过研究一系列富有探究性的问题。培养学生与他人交流、合作的意识和品质。【教学重点】勾股定理的应用【教学难点】勾股定理在实际生活中的应用预习作业：一、知识回顾1、勾股定理的内容是什么？用数学语言怎么描述？2、常见的勾股数有：_3、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_4、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_5、求下列图形中未知的边长： 二、简单运用6、已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积7、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?8、如图，池塘边有两点A，B，点C是BA方向或直角的AC方向上一点,测得CB=60m，AC=20m。你能求出A，B两点间的距离吗?（结果保留整数）（变式：请同学们自己再设计另外的方案构造直角三角形求AB的长？）9、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？【教学过程设计】问题与情景师生行为设计意图预习交流要求：1、巩固复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形；2、勾股定理相关习题的简单运用。3、教师根据批改情况精解点拨预习作业： （1）、第4题教师提示有两种情况；第5题最后一个图先连接AC，利用两次勾股定理求解；(2）、第8题通过变式满足不同层次学生的学习需求，拓展思维空间，联想其他所学的知识如构造C直角或者利用全等三角形等。(3)、对第9题进行解题方法指导，根据勾股定理列出方程来解（也可在讲完活动2后再来解决）。1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。2、教师布置学生自学，明确内容和要求，进行方法指导。3、生生互动，质疑答疑。通过再次预习和讨论交流，学生基本掌握所布置的问题。先巩固上节课所学勾股定理的相关内容，为本节课勾股定理的应用做好铺垫，然后再设计了几题运用勾股定理解决实际问题的题目，让学生初步体验建立数学模型的简单应用。展示探究活动1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，梯子至少需要多少米？解：根据题意，AC是建筑物，则AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度。在RtABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132AB=13所以至少需13m长的梯子。变式：如果梯子取13m长，现在梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B也外移1m吗？分析：观察图形，BE的长度就是梯子外移的距离。BE=CE-CB，所以先求CE的长度。解：根据题意，DE=13m,AD=1m，所以CD=11m。在RtCDE中，CE2=DE2-CD2=132-112=48CE=4BE=CE-CB=4-51.931所以，梯子顶端下滑1m，底端外移约1.93m。练习：学生独立完成教材67页探究2.活动2：解：在RtABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因此AC=2.2362.2因为AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过。练习：教材68页练习1.变式：一个门框宽6尺，有一人持竹竿竖着进屋，无奈门框拦住竿，多出2尺，后将竹竿斜着进屋，不多也不少刚抵足，问竹竿有几尺？解：设竿长为x尺，则门框高为（x-2）尺，根据题意和勾股定理得：X2=（x-2）2+62解之得：x=10所以竹竿长为10尺。练习：如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离活动3：如图，若分别以RtABC的三边为边长向外作三个正方形，面积分别是S1，S2，S3，其中BCA=90，则可推得S1，S2，S3满足的关系式是_ 变式1：若分别以RtABC的三边为边长作正三角形，面积分别是S1，S2，S3，那么S1，S2，S3满足的关系式是_变式2：若将变式1图中以斜边为直径的半圆沿斜边翻折上去，如下图的样子，证明：两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积拓展延伸：葛藤是自然界中一种聪明的植物，它自己腰杆不硬，为了享受更多的阳光雨露，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝活，就是它绕树盘升时总是沿最短路线螺旋前进！难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为3cm，绕一圈升高4cm，则它爬行的路线是什么？分析：类似蚂蚁爬行的最短路径问题（两点之间，线段最短与勾股定理相结合），当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程。学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型。教师深入小组活动中，倾听学生的想法。教师应重点关注：学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；学生参加数学活动是否积极主动。学生独立思考后分组讨论得出猜想。教师深入小组活动关注学生用数学知识解决实际问题的意识。教师问：1.长方形ABCD中AB,BC,AC的大小关系？（ABBCAC）2.长3m，宽0.8m的木板怎么通过？（横竖都能过）3. 长3m，宽1.5m的木板怎么通过？（可以竖着过）4. 长3m，宽2.2m的木板怎么通过？（横竖都不能过，只能斜着过）通过提问，学生参与思考和讨论，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径。学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动。教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程。重点关注：学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解决问题；能否积极主动的参与活动。思考交流后学生板演。构造直角三角形，运用勾股定理列方程。根据学生在解题中反映出的问题，有针对性对不同层次的学生进行指导。直接得出： S1=S2+S3学生先思考、计算，最后由学生给出结果。由前面一题的结论不难证明，可以由学生自己独立完成，教师加以点拨。树干相当于圆柱，教师在教学中也可以将圆柱题变为正方体、长方体、圆锥、台阶等几何体，引导学生利用展开图去解决问题。 此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用。进一步熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力。使学生更加深刻的认识：数学来源于生活，并能服务于生活。为了让学生有效的突破问题的难点，本环节特意设计了几个简单的问题作为台阶，顺利解决如何将实际问题转化为数学模型，培养学生的应用意识。本题是运用勾股定理，借助方程来解决问题，进一步提高学生学习数学、应用数学知识的能力，激发学生的兴趣。巩固运用勾股定理列方程解决问题。勾股定理与面积的关系通过变式题的形式，拓展学生思维能力，深化勾股定理的运用。得出这个结论后，在以后求阴影部分面积时可以很方便的直接运用。通过本题让学生能用“化曲为平”或“化折为直”的思想，运用勾股定理来解决问题。检测反馈ABCDE1、右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（ ）A13 B26 C47 D942、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米3、在ABC中，C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要_分的时间.4、如图所示，直角三角形的直角边长分别为6cm和8cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_cm2（2）(1)5、如图（2），有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？6、如图（3），若分别以RtABC的三边为边长向外作三个等边三角形，面积分别是S1，S2，S3，其中BCA=90，则可推得S1，S2，S3满足的关系式是_7、在一大棵树的10m高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高多少？ACBD评价小结让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生对所学内容进行归纳，整理和总结。作业布置教材70页第2题71页第9、10题课后作业：1、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想