【导与练】高考数学大二轮 专题限时训练 第3讲 函数中的恒成立问题与特定字母取值范围问题 文.doc

第3讲函数中的恒成立问题与特定字母取值范围问题【选题明细表】知识点、方法题号恒成立问题2、4、5、7、8特定字母取值范围问题1、3、6导数综合应用9、10一、选择题1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是(d)(a)(0,1) (b)(-,1)(c)(0,+)(d)(0,12)解析:f(x)=3x2-6b,由题意,函数f(x)的图象如图所示.f(0)0,即-6b0,得0b0恒成立,且常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是(a)(a)af(a)bf(b)(b)af(b)bf(a)(c)af(a)bf(b)(d)af(b)0,所以g(x)是r上的增函数,又常数ab,所以g(a)g(b).故选a.3.已知非零向量a,b满足:|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+abx在r上有极值,设向量a,b的夹角为,则cos 的取值范围为(d)(a)12,1(b)(12,1(c)-1,12(d)-1,12)解析:f(x)=x2+|a|x+ab,由于函数在r上有极值,方程x2+|a|x+ab=0有实根,即0.4|b|2-8|b|2cos 0,即cos 12.当cos =12时,f(x)=x2+2|b|x+|b|2=(x+|b|)20,所以f(x)在r上是增函数,故不存在极值.所以cos 12.故选d.4.若函数f(x)=13x3-12ax2+x(a0)在区间2,4上为单调递增函数,则25a+a的取值范围为(c)(a)10,+)(b)292,+)(c)252,+)(d)414,+)解析:据题意得f(x)=x2-ax+10在区间2,4上恒成立,分离变量得ax+1x,而函数g(x)=x+1x在区间2,4上为增函数,故g(x)min=g(2)=52,因此a的取值范围是0a52,设h(a)=25a+a(0a52),易知函数h(a)=25a+a(00,对任意实数x,恒有f(x)0,则f(1)f(0)的最小值为(b)(a)3(b)2(c)52(d)32解析:f(x)=2ax+b(a0),f(0)0,b0.又f(x)0恒成立,即ax2+bx+c0恒成立,a0且=b2-4ac0恒成立,c0,f(1)f(0)=a+b+cb=1+ab+cb1+2acb21+2b24b2=2,故选b.6. 定义在r上的函数f(x)满足f(4)=1.f(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)1,则a+2b+2的取值范围是(a)(a)(13,2)(b)(-,12)(3,+)(c)(12,3)(d)(-,-3)解析: 由f(x)的图象知f(x)在(0,+)上为增函数,f(2a+b)0,b0,02a+b4,作出可行域如图,不包括边界,b+2a+2的几何意义是区域内的点与p(-2,-2)连线的斜率.其范围是12=kpab+2a+2kpb=3.a+2b+2（13,2),故选a.二、填空题7.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0恒成立,故f(x)在r上是增函数.又f(-x)=-f(x),y=f(x)为奇函数.由f(mx-2)+f(x)0得f(mx-2)-f(x)=f(-x),mx-2-x,mx-2+x0在m-2,2上恒成立.记g(m)=xm-2+x,则g(-2)0,g(2)0,即-2x-2+x0,2x-2+x0,得-2x0,即x(0,1时,f(x)=ax3-3x+10可化为a3x2-1x3,设g(x)=3x2-1x3,则g(x)=3(1-2x)x4,所以g(x)在区间(0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减.因此g(x)max=g(12)=4,从而a4;当x0,所以g(x)在区间-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上a=4.答案:4三、解答题9.已知函数f(x)=-x3+ax2-4,f(x)是f(x)的导函数.(1)当a=2时,对任意m-1,1,n-1,1,求f(m)+f(n)的最小值;(2)若存在x0(0,+)使f(x0)0,求a的取值范围.解:(1)a=2时,f(x)=-3x2+4x,令f(x)=-3x2+4x=0,得x=0或x=43.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1,0)0(0,1f(x)-0+f(x)-4f(x)在-1,1上的最小值为-4.又f(x)=-3x2+4x在x-1,1上的最小值为f(-1)=-7,则f(m)+f(n)的最小值为-4-7=-11.(2)因为f(x)=-3x(x-2a3),若a0,当x0时,f(x)0时,f(x)0.若a0,则f(x)在(0,2a3)上单调递增,在2a3,+)上单调递减,故x(0,+)时,f(x)max=f（2a3)=-8a327+4a39-4=4a327-4.由题意4a327-40,即a327,a3.综上,a的取值范围为a3.10.设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b)上,f(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2.(1)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值;(2)若当实数m满足|m|2时,函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求b-a的最大值.解:(1)由函数f(x)=112x4-16mx3-32x2得f(x)=x2-mx-3.若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,则有f(x)=x2-mx-30在区间(-1,3)上恒成立,结合二次函数的图象,得f(-1)=1+m-30,f(3)=9-3m-30,即m2,m2,故m=2.(2)由题意知,当|m|2时