【名师导学】高中数学 第一章 常用逻辑用语（含解析）苏教版选修11.doc

第1课时四种命题 教学过程一、 问题情境在我们日常生活中,经常涉及逻辑上的问题.无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理.在初中我们已经学过命题的有关概念,下面我们来复习一下.问题1下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?若xy=1,则x,y互为倒数;相似三角形的周长相等;2+4=5;如果b-1,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实数根;3不能被2整除.二、 数学建构(一)生成概念问题2判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系?如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.解为真命题,为假命题;与、与的条件和结论互逆,与、与的条件和结论互否.(二) 理解概念1.原命题与逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.2.原命题与否命题在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做互否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的否命题.3.原命题与逆否命题在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题就叫做互为逆否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的逆否命题.(三) 巩固概念关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述(原命题为“若p则q”):(1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题(逆命题为“若q则p”);(2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题(否命题为“若非p则非q”);(3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是原命题的逆否命题(逆否命题为“若非q则非p”). 三、 数学运用【例1】(根据教材第6页例1改编)写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(见学生用书p1)处理建议先让学生叙述原命题的条件和结论,再对照定义进行解答.规范板书解原命题:若a=0,则ab=0(真命题);逆命题:若ab=0,则a=0(假命题);否命题:若a0,则ab0(假命题);逆否命题:若ab0,则a0(真命题).题后反思原命题为真命题,它的逆命题、否命题不一定为真命题,但它的逆否命题一定为真命题.【例2】(根据教材第6页例2改编)把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.(见学生用书p2)(1)两个全等的三角形的三边对应相等;(2)四边相等的四边形是正方形;(3)负数的平方是正数.处理建议先让学生分析原命题的条件p和结论q,然后写出逆命题、否命题、逆否命题,对(3)中的条件和结论引导学生得到不同的写法.规范板书解(1) 原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等(真命题);逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等(真命题);否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形的三边不对应相等(真命题);逆否命题:若两个三角形的三边不对应相等,则这两个三角形不全等(真命题).(2)原命题:若一个四边形的四边相等,则它是正方形(假命题);逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等(真命题);否命题:若一个四边形的四边不相等,则它不是正方形(真命题);逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等(假命题).(3)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数(真命题);逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数(假命题);否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数(假命题);逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数(真命题).问题3第(3)问还有其他写法吗?解原命题:若一个数是负数的平方,则这个数是正数(真命题);逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方(假命题);否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数(假命题);逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方(真命题).题后反思两个互为逆否的命题同真或同假(如:原命题和逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不一定同真或同假(如:原命题和逆命题,否命题和逆否命题等).问题4逆命题与否命题,逆命题与逆否命题,否命题与逆否命题之间又有什么关系呢?结论:四种命题之间的关系如下图所示.*【例3】已知原命题是“当c0时,若ab,则acbc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.处理建议“当c0时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是“ab”,结论是“acbc”.规范板书解逆命题:当c0时,若acbc,则ab(真命题);否命题:当c0时,若ab,则acbc(真命题);逆否命题:当c0时,若acbc,则ab(真命题).四、 课堂练习1.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p则q”的形式为若一个四边形是平行四边形,则它的对角相等.2.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题:若x0或y0,则x2+y20.提示“且”与“或”的否定分别为“或”与“且”.3.命题“若ab,则2a2b-1”的否命题是若ab,则2a2b-1.4.写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.解逆命题:若a+b是偶数,则a和b都是偶数(假命题);否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数(假命题);逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数(真命题).五、 课堂小结1.四种命题的准确表达及其相互关系.2.等价转化的思想:互为逆否命题的两个命题同真同假的应用.第2课时充分条件和必要条件(1) 教学过程一、 问题情境请判断下列命题的真假:若ab,则acbc(假命题);若x0,则x20(真命题) .二、 数学建构1.推断符号“”的含义例如上述为真命题,由p经过推理可以得出q,即如果p成立,那么q一定成立,此时可记作“pq”.又例如上述为假命题,由p经过推理得不出q,即如果p成立,推不出q成立,此时可记作“p/q”.用推断符号“”写出下列命题:(1) 若ab,则a+cb+c;(2) 若x0,则x20.2.充分条件与必要条件一般地,如果已知pq,那么就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.(1)上述定义中,“pq”即如果具备了条件p,就足以保证q成立,所以p是q的充分条件,这点容易理解.但同时说q是p的必要条件,这是为什么呢?(2)应注意条件和结论是相对而言的,“pq”的等价命题是“qp”,即若q不成立,则p就不成立,故q就是p成立的必要条件了.但还必须注意:当q成立时,p可能成立,也可能不成立,即q成立不能保证p一定成立.(3)如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?充分性说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若p则q”为真(即pq)的形式.“有之必成立,无之未必不成立”.必要性必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非q则非p”为真(即qp)的形式.“有之未必成立,无之必不成立”.3.充要条件如果既有pq,又有qp,就记作pq.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”,也表示“p等价于q”. (2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.说出下列问题中的条件与结论之间的关系:(1) 若ab,则a+cb+c;(2) 若x0,则x20;(3) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. 三、 数学运用【例1】(教材第7页例1)指出下列命题中,p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1) p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0;(2) p:两直线平行,q:内错角相等;(3) p:ab,q:a2b2;(4) p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.(见学生用书p3)处理建议本题是本节课知识的初步应用.由学生根据以前的数学知识,判断p,q之间的推理关系.规范板书解(1) 因为x-1=0(x-1)(x+2)=0,但(x-1)(x+2)=0/x-1=0,所以p是q的充分不必要条件.(2) 因为两条直线平行内错角相等,所以p是q的充要条件.(3) 因为ab/a2b2,且a2b2/ab,所以p是q的既不充分又不必要条件.(4) 因为四边形是正方形四边形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以p是q的必要不充分条件.题后反思本题直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件.如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.【例2】(1) 若cr,则“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点”的什么条件?(2) 对于函数y=f(x),xr,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的什么条件?(见学生用书p4)处理建议(1)可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;(2)综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明p/q.规范板书解(1) 若c=0,则f(x)=ax2+bx(a0),当x=0时,y=f(0)=0,因此函数f(x)=ax2+bx(a0)的图象过原点,故充分性成立.(2) 因为函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点,所以f(0)=0,即c=0,故必要性成立.综上,“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过原点”的充要条件.(2) 若y=f(x)是奇函数,则对任意的xr,均有f(-x)=-f(x),即|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|是偶函数,即y=|f(x)|的图象关于y轴对称,故必要性成立.若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,则不能得出y=f(x)一定是奇函数.如:y=|cosx|,显然其图象关于y轴对称,但y=cosx是偶函数.故充分性不成立.综上,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.题后反思由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类:充分不必要条件,即pq,而q/p;必要不充分条件,即pq,而p/q;充要条件,既有pq,又有qp;既不充分又不必要条件,既有p/q,又有q/p.*【例3】已知集合a=x|x5,集合b=x|x3,则命题“xa”是命题“xb”的什么条件?规范板书解充分不必要条件.变式1已知集合a=x|x5,集合b=x|xa,若命题“xa”是命题“xb”的充分条件,则a的取值范围是(-,5.变式2已知集合a=x|x5,集合b=x|xa,若命题“xa”是命题“xb”的充分不必要条件,则a的取值范围是(-,5).题后反思一个问题总是有正反两个方面,变式考查的是已知命题的充分必要性求原命题中参数的取值范围,提醒学生注意临界值.四、 课堂练习1.在abc中,“ab”是“sinasinb”的充要条件.2.从“”“”中选择适当的符号填空.(1)a,b都是奇数a+b是偶数;(2)x2=x+2|x|=.3.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空.(1)“=0”是“函数f(x)=sin(x+)为奇函数”的充分不必要条件;(2)“2a2b”是“log2alog2b”的必要不充分条件;(3)“0ab1”是“b0”是“x+2”的充要条件.五、 课堂小结1.对充分条件和必要条件概念的理解.2.对充分条件和必要条件的判断.第3课时充分条件和必要条件(2) 教学过程一、 问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、 数学建构1.充要条件如果既有pq,又有qp,就记作pq.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“”叫做等价符号,“pq”表示“pq且pq”,也表示“p 等价于q”; (2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性pq,必要性qp,这两个方面,缺一不可.三、 数学运用【例1】若m是n的充分不必要条件,n是p的充要条件,q是p的必要不充分条件,则m是q的什么条件?(见学生用书p5)处理建议引导学生用推导符号先表示出它们的关系.规范板书解由题意可知mnpq,显然m是q的充分不必要条件.题后反思命题的充分必要性具有传递性.【例2】若不等式|x-a|2成立的充分不必要条件是1x3,求实数a的取值范围.(见学生用书p6)处理建议先求出|x-a|2的解集,再由其解集与x|1x3之间的关系求出参数a的取值范围.规范板书解由|x-a|2,得a-2xa+2.由题意得(等号不能同时成立),解得1a3.因此,实数a的取值范围是1, 3.题后反思给定两个条件p,q,集合a=x|x满足条件p,b=x|x满足条件q.若p为q的充分条件,q为p的必要条件,则ab;若q为p的充分条件,p为q的必要条件,则ba.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q0.(见学生用书p6)处理建议要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题,分清两种情况下的条件和结论各是什么.规范板书证明充分性:因为q0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1x2=q0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1x20.因为x1x2=q,所以q)小于(7,q:8=7.(2) 这个命题是“p且q”的形式,其中,p:2是偶数,q:2是质数.(3) 这个命题是“非p”的形式,其中,p:是整数.题后反思本题对含逻辑联结词的三种形式作了概括,学生能模仿即可.【例2】分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题.(1)p:是无理数,q:e不是无理数;(2)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.(见学生用书p8)规范板书解(1)“p或q”:是无理数或e不是无理数;“p且q”:是无理数且e不是无理数;“非p”:不是无理数.(2)“p或q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;“p且q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;“非p”:方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.(3)“p或q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“p且q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“非p”: 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.题后反思注意含逻辑联结词的命题的结构.【例3】(教材第10页例3)判断下列命题的真假:(1)43; (2)44; (3)45.(见学生用书p8)处理建议命题形式虽然简洁,但是学生不易理解,需要通过一些实例来体会.规范板书解(1) “43”的含义是“43或4=3”,其中“43”是真命题,所以“43”是真命题.(2)“44”的含义是“44或4=4”,其中“4=4”是真命题,所以“44”是真命题.(3)“45”的含义是“45或4=5”,其中“45”与“4=5”都是假命题,所以“45”是假命题.题后反思通过这个例题,让学生体会“”“”的含义.*【例4】已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求出满足要求的m的取值范围.处理建议先由“p或q”为真命题及“p且q”为假命题,得出p,q的真假,然后再求出m的取值范围.规范板书解若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,则=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,解得1m3,即q:1m3.因为“p或q”为真命题,所以p,q至少有一个为真.又因为“p且q”为假命题,所以p,q至少有一个为假,因此这两个命题应是一真一假.当p真q假时,解得 m3;当p假q真时,解得1m2.综上,m3或1m2.变式将条件:如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,改为“p且q”为真命题,其他条件不变,求出满足要求的m的取值范围.规范板书解由题意知p,q都为真,得2mx;(2)xr,x2x;(3)xq,x2-8=0;(4)xr,x2+20.(见学生用书p10)处理建议师生共同分析,找出判断全称命题和存在性命题真假的一般方法.规范板书解(1) 因为当x=2时,x2x成立,所以“xr,x2x”是真命题.(2)因为当x=0时,x2x不成立,所以“xr,x2x”是假命题.(3)因为使x2-8=0成立的数只有x=2与x=-2,但它们都不是有理数,所以“xq,x2-8=0”是假命题.(4)因为对于任意实数x,都有x2+20成立,所以“xr,x2+20”是真命题.题后反思(1) 要判定一个存在性命题为真命题,只要在给定的集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真命题,否则命题为假命题.(2) 要判定一个全称命题为真命题,必须对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真命题;但要判定一个全称命题为假命题,只要在给定的集合内找出一个x0,p(x0)为假命题.*【例3】用量词符号“”“”表达下列命题:(1)实数都能写成小数形式;(2)凸n边形的外角和等于2;(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数;(4)存在实数x,使得x3x2;(5)对任意角,都有sin2+cos2=1.处理建议先找到命题中的全称量词或存在量词.规范板书解(1)xr,x能写成小数形式;(2)xx|x是凸n边形,x的外角和等于2;(3)xr,x(-1)=-x;(4)xr,x3x2;(5)角,sin2+cos2=1.题后反思正确认识存在量词和全称量词的符号表示.四、 课堂练习1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题:(1)所有能被2整除的整数都是偶数;(2)有的函数是偶函数;(3)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径;(4)三角形有且仅有一个外接圆.解(1) 全称命题;(2)存在性命题;(3)全称命题;(4)全称命题.2.指出下列命题中的量词,并判断命题的真假.(1)任意一个正方形都是矩形;(2)所有的一元二次方程都有实数根;(3)至少存在一个锐角,使得sin=.解(1)任意;真命题.(2)所有;假命题.(3)存在;真命题.五、 课堂小结1.全称命题和存在性命题的含义.2.判断全称命题和存在性命题真假的方法.第6课时含有一个量词的命题的否定 教学过程一、 问题情境对于下列命题:(1)所有的人都喝水;(2)存在有理数x,使x2-2=0;(3)对所有实数a,都有|a|0.问题1上述命题属于什么命题?1解都是含有量词的命题,(1)(3)是全称命题,(2)是存在性命题.问题2试对上述命题进行否定,你发现有何规律?2解命题(1)的否定为“并非所有的人都喝水”,换言之为“有的人不喝水”.命题否定后,全称量词变为存在量词,“肯定”变为“否定”.命题(2)的否定为“并非存在有理数x,使x2-2=0”,即“对所有的有理数x,x2-20”.命题否定后,存在量词变为全称量词,“肯定”变为“否定”.命题(3)的否定为“并非对所有的实数a,都有|a|0”,即“存在实数a,使|a|0;(3)平行四边形的对边相等;(4)xr,x2-x+1=0.(见学生用书p11)处理建议允许学生写出不同的否定形式,但最后要求学生统一到常见的格式.规范板书解(1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”;(2)“xr,x2+x+10”的否定是“xr,x2+x+10”;(3)“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等,它的否定是“存在平行四边形,它的对边不相等”;(4)“xr,x2-x+1=0”的否定是“xr,x2-x+10”.题后反思含有量词的命题的否定应该有统一的形式.【例2】写出下列命题的否定:(1)实数的绝对值是正数;(2)矩形的对角线互相垂直.(见学生用书p12)处理建议引导学生首先将命题写成含有量词的形式.规范板书解(1) 命题“实数的绝对值是正数”可改写成“所有实数的绝对值都是正数”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个实数的绝对值不是正数”.(2)命题“矩形的对角线互相垂直”可改写成“所有矩形的对角线都互相垂直”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个矩形,它的对角线不互相垂直”.题后反思对表面上不含有量词的命题的否定,首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定它是全称命题还是存在性命题.【例3】写出下列命题的否定:(1)若xy=0,则x=0或y=0;(2)若x2+y2=0,则x=0,y=0.(见学生用书p12)处理建议由学生列出所有可能情况,理解命题的否定的写法.规范板书解(1) 命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否定为“若xy=0,则x0且y0”;(2)命题“若x2+y2=0,则x=0,y=0” 的否定为“若x2+y2=0,则x0或y0”.题后反思“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.*【例4】(1) 写出命题p“偶数能被4整除”的否定形式“p”,并判断“p”的真假;(2)将命题“偶数能被4整除”改写成“如果那么”的形式,然后再写出它的否命题,并判断否命题的真假.处理建议注意“命题的否定”和“否命题”是两个不同的概念.规范板书解(1) 命题p“偶数能被4整除”可写成“所有的偶数都能被4整除”,此命题是全称命题,所以此命题的否定“p”为“存在一个偶数不能被4整除”,它是真命题.(2)命题“偶数能被4整除” 可写成“如果一个数是偶数,那么它能被4整除”,所以此命题的否命题为“如果一个数不是偶数,那么它不能被4整除”,它是真命题.题后