广东省揭阳市普宁市华侨中学高二数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a=x|0x，b=x|1x2，则ab=（）ax|xbx|x1cx|1dx|0x22函数y=sincos的最小正周期为（）abc2d43已知an是等差数列，a3=12，a6=27，则a10等于（）a42b45c47d494abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd5已知向量=（1，3），=（3，n）若2与共线，则实数n的值是（）a6b9cd6设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=2x2x，则f（1）=（）a3b1c1d37学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30人，则n的值为（）a100b1000c90d9008如图所示的区域所对应的不等式组为（）abcd9若ab0，则有（）ab01cb2a2d|a|b10不等式x6x2的解集是（）a（2，3）b（3，2）c（，2）（3，+）d（，3）（2，+）11若第一象限内的点a（x、y）落在经过点（6，2）且斜率是的直线上，则logx+logy有（）a最大值1b最大值c最小值d最小值112已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）abc（3，13）d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13写出命题：“若x23x+20，则x1且x2”的逆否命题14某算法流程图如右图，输入x=0，得结果是15有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为16等差数列an前n项和为sn已知am1+am+1am2=0，s2m1=38，则m=三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在锐角abc中，已知内角a、b、c所对的边分别为a，b，c，向量=（2sin（a+c），），=（cos2b，2cos1），且向量（1）求角b的大小；（2）如果b=1，求abc的面积sabc的最大值18在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，点a（0，3），设圆c的半径为1，圆心c（a，b）在直线l：y=2x4上（1）若圆心也在直线y=x+5上，求圆c的方程；（2）在（1）的条件下，过点 a作圆c的切线，求切线的方程；（3）若圆c上存在点m，使|ma|=|mo|，求圆心c的横坐标a的取值范围19已知等差数列an中，a2=9，a5=21（1）求an的通项公式；（2）令bn=，求数列bn的前n项和sn20一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？21如图，已知ab是o的直径，ab=2，c是o上一点，且ac=bc，pa=，pc=2，pb=，e是pc的中点，f是pb的中点（1）求证：ef平面abc；（2）求证：ef平面pac；（3）求pc与平面abc所成角的大小22已知数列an中，a1=3，前项和sn=（n+1）（an+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前项和为tn，是否存在实数m，使得tnm对一切正整数都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由2015-2016学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a=x|0x，b=x|1x2，则ab=（）ax|xbx|x1cx|1dx|0x2【考点】并集及其运算【专题】计算题【分析】直接根据并集的定义回答即可【解答】解：a=x|0x，b=x|1x2，ab=x|1x故选：c【点评】本题属于求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型2函数y=sincos的最小正周期为（）abc2d4【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题【分析】先根据二倍角公式化简，然后根据t=求得最小正周期【解答】解：y=sincos=t=故选b【点评】本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质周期性考查考生对基础知识的掌握程度3已知an是等差数列，a3=12，a6=27，则a10等于（）a42b45c47d49【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】首先由等差数列的通项公式结合已知条件列式求出公差，然后再代入通项公式求a10的值【解答】解：设等差数列an的公差为d，则所以a10=a6+4d=27+45=47故选c【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题4abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用5已知向量=（1，3），=（3，n）若2与共线，则实数n的值是（）a6b9cd【考点】平面向量的坐标运算【分析】表示出2与，利用共线可得n的值【解答】解：2ab=（1，6n），2ab与b共线，（1）n3（6n）=0，得n=9故选b【点评】考查平面向量的坐标运算，是基础题6设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=2x2x，则f（1）=（）a3b1c1d3【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的奇函数，将f（1）转化为f（1）进行求值【解答】解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（1）=f（1），因为x0时，f（x）=2x2x，所以f（1）=f（1）=（21）=1，故选b【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质7学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30人，则n的值为（）a100b1000c90d900【考点】用样本的频率分布估计总体分布【专题】计算题【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在50，60）元的频率，计算可得样本容量【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）10=0.7，支出在50，60）元的频率为10.7=0.3，n的值=；故选a【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1频率、频数的关系：频率=8如图所示的区域所对应的不等式组为（）abcd【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】作图题【分析】由图可得直线方程，由不等式表示平面区域的方法可得对应的不等式，进而可得答案【解答】解：由图可知，两直线的方程分别为y=2x+3，x+2y10=0，图中所表示的区域在直线x+2y10=0的左下方，且为虚线，故不等式应为x+2y100同样，由所表示的区域在直线y=2x+3的右上方，且为实线，故不等式应为y2x+3故选c【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域，属基础题9若ab0，则有（）ab01cb2a2d|a|b【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的解法及应用【分析】由ab0，可得|a|b|=b【解答】解：ab0，|a|b|=b故选：d【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题10不等式x6x2的解集是（）a（2，3）b（3，2）c（，2）（3，+）d（，3）（2，+）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】先将不等式化为一般形式，再利用一元二次不等式的解法求解可求【解答】解：不等式x6x2即为x2+x60，即（x+3）（x2）0，解得x3，或x2所以不等式x6x2的解集是（，3）（2，+）故选：d【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，体现了一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系，数形结合的思想方法11若第一象限内的点a（x、y）落在经过点（6，2）且斜率是的直线上，则logx+logy有（）a最大值1b最大值c最小值d最小值1【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由已知得y=x+2，从而logx+logy=，由此能求出结果【解答】解：经过点（6，2）且斜率是的直线方程为：，即y=x+2，logx+logy=，当x=时，上式有最大值为=1故选：a【点评】本题考查对数值的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程、对数运算法则、配方法等知识的合理运用12已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）abc（3，13）d【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】不妨设abc，利用f（a）=f（b）=f（c），可得log3a=log3b=4c+13，由此可确定abc的取值范围【解答】解：由题意，不妨设abc，则f（a）=f（b）=f（c），log3a=log3b=4c+13ab=1，04c+1313c即abc的取值范围是故选b【点评】本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13写出命题：“若x23x+20，则x1且x2”的逆否命题“若x=1或x=2，则x23x+2=0”【考点】四种命题【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：命题：“若x23x+20，则x1且x2”的逆否命题是“若x=1或x=2，则x23x+2=0”故答案为：“若x=1或x=2，则x23x+2=0”【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目14某算法流程图如右图，输入x=0，得结果是y=0【考点】程序框图【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，根据框图的流程判断算法的功能，即可得出输出的结果【解答】解：模拟算法流程图的运行过程，如下；输入x=0，满足x0，不满足x0，执行y=0，输出y=0故答案为：y=0【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据框图的流程判断算法的功能是什么15有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】阅读型【分析】根据线面垂直的定理及垂直公理去判断【解答】解：根据线面垂直的性质定理和判定定理得，正确；根据过直线上一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故正确；故答案为：3【点评】本题主要考查了线面垂直的判定及性质定理及垂直的公理，是基础题16等差数列an前n项和为sn已知am1+am+1am2=0，s2m1=38，则m=10【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的性质an1+an+1=2an，我们易求出am的值，再根据am为等差数列an的前2m1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值【解答】解：数列an为等差数列，an1+an+1=2an，am1+am+1am2=0，2amam2=0解得：am=2，又s2m1=（2m1）am=38，解得m=10故答案为10【点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，同时利用了等差数列的前n和公式三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在锐角abc中，已知内角a、b、c所对的边分别为a，b，c，向量=（2sin（a+c），），=（cos2b，2cos1），且向量（1）求角b的大小；（2）如果b=1，求abc的面积sabc的最大值【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）由条件利用两个向量共线的性质求得tan2b的值，再根据abc为锐角三角形，b的值（2）若b=1，则由余弦定理、基本不等式求得 ac 的最大值，可得abc面积为acsinb，求得它的最大值【解答】解：（1）向量=（2sin（a+c），），=（cos2b，2cos1），且向量2sin（a+c）（2cos21）cos2b=0，即 2sinbcosb=cos2b，tan2b=再根据abc为锐角三角形，可得0b，2b=，b=（2）若b=1，则由余弦定理可得 b2=1=a2+c22accosb2acac，解得 ac=2+，当且仅当a=c时，取等号，故abc面积的最大值为acsinb=（2+）=【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题18在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，点a（0，3），设圆c的半径为1，圆心c（a，b）在直线l：y=2x4上（1）若圆心也在直线y=x+5上，求圆c的方程；（2）在（1）的条件下，过点 a作圆c的切线，求切线的方程；（3）若圆c上存在点m，使|ma|=|mo|，求圆心c的横坐标a的取值范围【考点】直线与圆相交的性质；圆的标准方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）联立直线l与直线y=x+5，求出方程组的解得到圆心c坐标，可得圆c的方程；（2）根据a坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（3）设m（x，y），由ma=2mo，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点m的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，由m在圆c上，得到圆c与圆d相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围【解答】解：（1）由（1分） 得圆心c为（3，2），（2分）圆c的半径为，圆c的方程为：（x3）2+（y2）2=1（4分）（2）由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆c的切线方程为y=kx+3，即kxy+3=0（6分）（7分）2k（4k+3）=0k=0或者（8分）所求圆c的切线方程为：y=3或者即y=3或者3x+4y12=0（9分）（3）设m为（x，y），由（11分）整理得直线m：y=（12分）点m应该既在圆c上又在直线m上，即：圆c和直线m有公共点，（13分）终上所述，a的取值范围为：（14分）【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题19已知等差数列an中，a2=9，a5=21（1）求an的通项公式；（2）令bn=，求数列bn的前n项和sn【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出a2和a5联立方程求得和a1和d，则数列的通项公式可得（2）把（1）中求得的an代入bn=2an中求得bn，判断出数列bn为等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得前n项的和【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意得解得a1=5，d=4，an的通项公式为an=4n+1（2）由an=4n+1得bn=24n+1，bn是首项为b1=25，公比q=24的等比数列sn=【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列求和问题熟练记忆等差数列和等比数列的通项公式和求和公式是快速解题的前提20一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？【考点】简单线性规划的应用【专题】应用题【分析】先设该农民种x亩水稻，y亩花生时，能获得利润z元，根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数表示直线在y轴上的截距的420倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：设该农民种x亩水稻，y亩花生时，能获得利润z元则z=（3400240）x+（510080）y=960x+420y即（2分）即 （4分）作出可行域如图阴影部分所示，（8分）作出基准直线，在可行域内平移直线，可知当直线过点b时，纵截距有最大值，（10分）由解得，（12分）故当x=1.5，y=0.5时，zmax=1650元，（13分）答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元（14分）【点评】本题主要考查了简单的线性规划在实际生活中的应用，以及利用几何意义求最值在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解21如图，已知ab是o的直径，ab=2，c是o上一点，且ac=bc，pa=，pc=2，pb=，e是pc的中点，f是pb的中点（1）求证：ef平面abc；（2）求证：ef平面pac；（3）求pc与平面abc所成角的大小【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得bc平面pac，由于efbc，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得pa平面abc，即pca为pc与平面abc所成角，通过解直角三角形，即可得到【解答】证明：（1）在pbc中，e是pc的中点，f是pb的中点，所以efbc又bc平面abc，ef平面abc，所以ef平面abc（2）因为ab是o的直径，所以bcac在rtabc中，ab=2，ac=bc，所以因为在pcb中，所以pb2=pc2+bc2，所以bcpc又pcac=c，所以bc平面pac由（1）知efbc，所以ef平面pac（3）解：由（2）知bc平面pac，pa平面pac，所以pabc因为在pac中