山东省济南市山师附中高三数学下学期第四次模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省济南市山师附中高考数学四模试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1若函数f（x）=sinxcosx，下列结论中正确的是（） a 函数f（x）的图象关于原点对称 b 函数f（x）最小正周期为2 c 函数f（x）为偶函数 d 函数f（x）的最大值为12下列有关命题的说法正确的是（） a 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1” b 命题“xr，x2+x10”的否定是“xr，x2+x10” c 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题 d 若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题3执行如图所示的程序框图，输出的k值是（） a 4 b 5 c 6 d 74若z=sin+i（cos）是纯虚数，则tan（）的值为（） a b c d 5某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（） a 200只 b 300只 c 400只 d 500只6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（） a b c 1 d 7已知集合a=x|2x2x30，b=x|y=lg，在区间（3，3）上任取一实数x，则“xab”的概率为（） a b c d 8各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（） a b c d 或9实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（） a 1，4 b （1，4） c ，1 d （，1）10已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为f1f2，且两条曲线在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是（） a （0，） b c d 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上.11将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是12已知直线l：3x+y6=0和圆心为c的圆x2+y22y4=0相交于a，b两点，则线段ab的长度等于13若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为14由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为15对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p=三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知向量，若（） 求函数f（x）的最小正周期；（） 已知abc的三内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=3，（a为锐角），2sinc=sinb，求a、c、b的值17口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（i）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（ii）随机变量的概率分布和数学期望；（iii）计分介于17分到35分之间的概率18在如图的多面体中，ef平面aeb，aeeb，adef，efbc，bc=2ad=4，ef=3，ae=be=2，g是bc的中点（）求证：ab平面deg；（）求二面角cdfe的余弦值19已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中an是以4为首项的正数数列（）求数列cn的通项公式；（）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围20在直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为f1，f2其中f2也是抛物线c2：y2=4x的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且（）求c1的方程；（）若过点d（4，0）的直线l与c1交于不同的两点e，fe在df之间，试求ode 与odf面积之比的取值范围（o为坐标原点）21已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a0）（）若a=2时，函数h（x）=f（x）g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）在（）的结论下，设（x）=e2x+bex，x0，ln2，求函数（x）的最小值；（）设函数f（x）的图象c1与函数g（x）的图象c2交于点p、q，过线段pq的中点r作x轴的垂线分别交c1、c2于点m、n，问是否存在点r，使c1在m处的切线与c2在n处的切线平行？若存在，求出r的横坐标；若不存在，请说明理由2015年山东省济南市山师附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1若函数f（x）=sinxcosx，下列结论中正确的是（） a 函数f（x）的图象关于原点对称 b 函数f（x）最小正周期为2 c 函数f（x）为偶函数 d 函数f（x）的最大值为1考点： 二倍角的正弦专题： 三角函数的图像与性质分析： 由已知中函数f（x）=sinxcosx=sin2x，根据正弦函数的图象和性质可得该函数为奇函数，最小正周期t=，最大值=，逐一分析四个答案，可得结论解答： 解：f（x）=sinxcosx=sin2x，该函数为奇函数，最小正周期t=，最大值=故c，b，d错误，a正确故选：a点评： 本题考查的知识点是正弦函数的对称性，二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键2下列有关命题的说法正确的是（） a 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1” b 命题“xr，x2+x10”的否定是“xr，x2+x10” c 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题 d 若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题考点： 复合命题的真假专题： 计算题分析： 根据原命题与否命题的关系，可得a选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到b选项是不正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知c选项不正确；对于d，得到复合命题p或q的真值表，可得d选项正确解答： 解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”所以a错误命题“xr，x2+x10”的否定是“xr，x2+x10”，所以b错误命题“若x=y，则sinx=siny”正确，则命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题也正确，所以c错误若“p或q”为真命题，根据复合命题p或q的真值表，则p，q至少有一个为真命题，故d为真故选d点评： 本题以命题真假的判断为载体，着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题的否定等知识点，属于基础题3执行如图所示的程序框图，输出的k值是（） a 4 b 5 c 6 d 7考点： 循环结构专题： 计算题分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值解答： 解：第一次循环：n=35+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n=8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n=4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n=2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n=1，k=4+1=5，结束循环输出k=5故选b点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模4若z=sin+i（cos）是纯虚数，则tan（）的值为（） a b c d 考点： 复数的基本概念；运用诱导公式化简求值专题： 数系的扩充和复数分析： 根据复数的有关概念进行求解即可解答： 解：z=sin+i（cos）是纯虚数，sin=0且cos0，即sin=且cos，即cos=，则tan=，则tan（）=tan=，故选：c点评： 本题主要考查复数的有关概念的应用以及三角函数值的计算，比较基础5某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（） a 200只 b 300只 c 400只 d 500只考点： 对数函数、指数函数与幂函数的增长差异专题： 计算题分析： 根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可解答： 解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只100=alog3（2+1），a=100，y=100log3（x+1），当x=8时，y=100 log3（8+1）=1002=200故选a点评： 本题主要考查了学生对函数解析式的理解，以及考查运算能力，属于基础题6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（） a b c 1 d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；压轴题分析： 由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面pac面abc，pac是边长为2的正三角形，abc是边ac=2，边ac上的高ob=1，po=为底面上的高据此可计算出答案解答： 解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面pac面abc，pac是边长为2的正三角形，abc是边ac=2，边ac上的高ob=1，po=为底面上的高于是此几何体的体积v=故选d点评： 由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键7已知集合a=x|2x2x30，b=x|y=lg，在区间（3，3）上任取一实数x，则“xab”的概率为（） a b c d 考点： 几何概型专题： 计算题；概率与统计分析： 分布求解二次不等式及分式不等式可求集合a，b，进而可求ab，由几何概率的求解公式即可求解解答： 解：，b=x|y=lg=x|=3x1所以ab=x|1x1，所以在区间（3，3）上任取一实数x，则“xab”的概率为，故选c点评： 本题主要考查了二次不等式、分式不等式的求解及与区间长度有关的几何概率的求解，属于知识的简单应用8各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（） a b c d 或考点： 等差数列的性质；等比数列的通项公式专题： 计算题分析： 由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得 则 =，故本题得解解答： 解：设an的公比为q（q0），由a3=a2+a1，得q2q1=0，解得q=则 =故答案为 点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题9实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（） a 1，4 b （1，4） c ，1 d （，1）考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系专题： 函数的性质及应用分析： 设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）0、f（1）0且f（2）0由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点e（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=表示d（1，2）、e连线的斜率，将点e在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=的取值范围；解答： 解：（1）设f（x）=x2+ax+2b，方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，可得，即作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，得到abc及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）其中a（3，1），b（2，0），c（1，0），设点e（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点e（a，b）与点d（1，2）连线的斜率kad=，kcd=，结合图形可知：kadkcd，的取值范围是（，1）；故选d点评： 本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题10已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为f1f2，且两条曲线在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是（） a （0，） b c d 考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质专题： 计算题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，pf1=r1，pf2=r2利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1e2的取值范围，即可得答案解答： 解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，pf1=r1，pf2=r2由题意知r1=10，r2=2c，且r1r2，2r2r1，2c10，2c+2c10，c5，=；=，故选c点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上.11将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是考点： 函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法专题： 计算题分析： 由左加右减上加下减的原则，函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到新函数g（x），然后利用函数的周期公式求解即可解答： 解：将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到函数g（x）=，所以g（x）的最小正周期是：=；故答案为：点评： 本题是基础题，考查三角函数的图象的变换，三角函数的周期的求法，注意平移与伸缩变换的差别12已知直线l：3x+y6=0和圆心为c的圆x2+y22y4=0相交于a，b两点，则线段ab的长度等于考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可解答： 解：圆的标准方程为x2+（y1）2=5，则圆心为c（0，1），半径r=，则圆心到直线的距离d=，则线段ab的长度|ab|=2=，故答案为：点评： 本题主要考查直线和圆相交以及弦长的求解，根据弦长公式是解决本题的关键13若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为15考点： 二项式系数的性质专题： 计算题；二项式定理分析： 根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数解答： 解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，n=5故展开式的通项公式为tr+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为15故答案为：15点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为考点： 定积分专题： 导数的综合应用分析： 利用微积分基本定理即可求出解答： 解：如图所示：联立解得，m（4，2）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积s=故答案为点评： 熟练掌握微积分基本定理是解题的关键15对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p=11考点： 归纳推理专题： 规律型分析： 根据m2=1+3+5+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值解答： 解：m2=1+3+5+11=36，m=623=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，p3的分解中最小的数是21，p3=53，p=5m+p=6+5=11故答案为：11点评： 本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、p的值是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知向量，若（） 求函数f（x）的最小正周期；（） 已知abc的三内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=3，（a为锐角），2sinc=sinb，求a、c、b的值考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理专题： 计算题；解三角形分析： （）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x），由此求得函数f（x）的最小正周期（） 已知abc中，由 （a为锐角），求得sina=，可得 a=由正弦定理可得b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求出c、b的值解答： 解：（） =sinxcosxcos2x+=sin（2x），故函数f（x）的最小正周期为（） 已知abc中，（a为锐角），sina=，a=2sinc=sinb，由正弦定理可得b=2c，a=3，再由余弦定理可得 9=b2+c22bccos解得 b=2，c=点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题17口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（i）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（ii）随机变量的概率分布和数学期望；（iii）计分介于17分到35分之间的概率考点： 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为a，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率（）由题意所有可能的取值为：2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布和数学期望（）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为c，则p（c）=p（“=3”或“=4”），由此能求出结果解答： （ 满分12分）解：（）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为a，则（3分）（）由题意所有可能的取值为：2，3，4p（=2）=+=，p（=3）=，p（=4）=，（7分）随机变量的概率分布为 2 3 4p 的数学期望为 （9分）（）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为c，则p（c）=p（“=3”或“=4”）=p（“=3”）+p（“=4”）=（12分）点评： 本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题18在如图的多面体中，ef平面aeb，aeeb，adef，efbc，bc=2ad=4，ef=3，ae=be=2，g是bc的中点（）求证：ab平面deg；（）求二面角cdfe的余弦值考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角分析： （）由adef，efbc，知adbc由bc=2ad，g是bc的中点，知四边形adgb是平行四边形，由此能证明ab平面deg（）由ef平面aeb，ae平面aeb，be平面aeb，知efae，efbe，由aeeb，知eb，ef，ea两两垂直以点e为坐标原点，eb，ef，ea分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角cdfe的余弦值解答： （）证明：adef，efbc，adbc又bc=2ad，g是bc的中点，四边形adgb是平行四边形，abdgab平面deg，dg平面deg，ab平面deg（6分）（）解：ef平面aeb，ae平面aeb，be平面aeb，efae，efbe，又aeeb，eb，ef，ea两两垂直（7分）以点e为坐标原点，eb，ef，ea分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知得a（0，0，2），b（2，0，0），c（2，4，0），f（0，3，0），d（0，2，2），g（2，2，0），由已知得=（2，0，0）是平面efda的法向量，设平面dcf的法向量=（x，y，z），=（0，1，2），=（2，1，0），解得=（1，2，1）设二面角cdfe的平面角为，则cos=cos，=二面角cdfe的余弦值为点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用19已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中an是以4为首项的正数数列（）求数列cn的通项公式；（）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）由于双曲线方程为的一个焦点为（，0），可得cn=an+an1由于一条渐近线方程为，可得，即=2，利用等比数列的通项公式即可得出（ii）设tn=+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得tn=，故原不等式等价于+logax恒成立，化为logax0由于a1，即可得出解答： 解：（）双曲线方程为的一个焦点为（，0），cn=an+an1又一条渐近线方程为，即=2，=2n+1=32n（ii）设tn=+，=，得，=，tn=，故原不等式等价于+logax恒成立，logax0a1，x1，实数x的取值范围是1，+）点评： 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了不等式恒成立的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20在直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为f1，f2其中f2也是抛物线c2：y2=4x的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且（）求c1的方程；（）若过点d（4，0）的直线l与c1交于不同的两点e，fe在df之间，试求ode 与odf面积之比的取值范围（o为坐标原点）考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程分析： （）依题意知f2（1，0），设m（x1，y1）由抛物线定义得，即由此能够求出c1的方程（）设l的方程为x=sy+4，代入，得（3s2+4）y2+24sy+36=0，由0，解得s24设e（x1，y1），f（x2，y2），再结合韦达定理能够导出ode与odf面积之比的取值范围解答： 解：（）依题意知f2（1，0），设m（x1，y1）由抛物线定义得，即将代入抛物线方程得（2分），进而由及a2b2=1解得a2=4，b2=3故c1的方程为（4分）（）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）由0，解得s24设e（x1，y1），f（x2，y2），则，（1）（8分）令且01将y1=y2代入（1）得消