淡化形式注重实质 ──平方差公式教学设计例示.doc

淡化形式，注重实质平方差公式教学设计例示湖北省赤壁市车站学校 李道生“淡化形式，注重实质”是西南师范大学数学系教授陈重穆、宋乃庆提出的著名教学观点。本人在多年的教学实践中，深刻体会到这一观点，对设计教学程序提高课堂效益的巨大价值。这里，我们以平方差公式的教学设计为例，对此著名观点的教学价值，作一例示性的说明。按照“淡化形式，注重实质”的观点设计平方差公式的教学程序，应从以下三个方面层层推进。1、牢记结构，套用公式先让学生观察公式的结构特征，并用语言叙述，使文字叙述与字母叙述相互沟通，加深印象。平方差公式： (a+b)(ab) = a2b2（公式的标准形式）语言叙述 ：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。强调：a、b可表示单独的一个数和字母，还可表示一个代数式。运用公式时，先要明确a、b各代表什么数或式子，只要符合公式特征，就可套用公式。例如：(10 +2 ) (10 2) = 102 22(2x+3y) (2x3y) = (2x)2(3y)22、揭示本质，活用公式（学生）填空：（公式的各种变式） (a+b)(b+a) = (a+b)(ab) = a2b2 (b+a)(ab) = (a+b)(ab) = a2b2 (b+a)(b+a) = (a+b)(ab) = a2b2 (ab) (a+b) = (a+b)(ab) = a2b2 (ab) (b+a) = (b+a)(ab) = (a+b)(ab) = a2b2 (b+a) (a+b) = (a+b)(b+a) = (a+b)(ab) = a2b2 (b+a) (b+a) = (b+a)(b+a) = (a+b)(ab) = a2b2 这里，我们严格套用公式的形式，朝两数和乘以两数差的方向，交换因式的顺序及因式中各项的位置，亦即注意了运用公式的“顺序性”，但观察以上各式左右两端，我们发现，尽管左端“顺序”不同，但右端结果相同（皆为a2b2），因此，“顺序性”并非公式的本质特征，那么公式的本质特征是什么呢？（找出本质特征，就可免去调整项的位置及因式顺序这一中间过程，直接从左端写出结果，这是“淡化形式，注重实质”的体现）。上面，我们套用公式 (a+b)(ab) = a2b2时，注意了以下两个方面的问题：一是注意了公式的顺序 先写两数和再写两数差；二是从小学算术的角度看待公式左端 (a+b)(ab)，即将 (a+b)看成数a与数b的和，将(ab)看成数a与数b的差；倘若从初中代数角度看待 (a+b)(ab)，则可将(a+b)看成两项a与+b的代数和，将(ab)看成两项a与b的代数和（亦即每一项包括前面的符号）。通过以上分析，平方差公式的特征可图示如下： (a+b ) (a b ) = a2(即相同项2)b2(即相反项2)注意b2=(b)2，按习惯我们选用前面为正号的项的平方b2。平方差公式的本质特征是“一项对应相同，另一项对应相反的两个二项式相乘，等于相同项的平方减去相反项的平方”。按此本质特征运用平方差公式，就用不着调整项的位置及因式顺序（这一公式的非本质特征），变找两数和与两数差为找相同项与相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方。其应用模式为：（淡化标准形式） (二项式)(二项式) = 相同项2相反项2按上模式运用平方差公式，快速简洁，直达目标。如： (b + a ) (a +b )= a2(同2)b2(反2) (2x + 3y) (3y + 2x) = (2x)2(3y)2 = 4x29y2 (n2m) (2m + n) = (2m)2n2 = 4m2 n23、深化认识，变用公式表面上看，平方差公式仅适用于两个二项式相乘的情况，实际上，对两个三项式（或四项式）相乘的情况，可按相同项、相反项分组添括号的方法，转化为平方差公式的特征形式进行计算。如同(y+xz)(x+zy)=(xy)z(xy)+z=(xy)2z2=实际上，我们可省去中间一步“(xy)z(xy)+z”，直接由:同2 = (xy)2，反2 = z 2 ,写出结果“同2反2 = (xy)2z2 ”。同(xy+6)(xy2)=(xy+2+4)(xy+24)=(y+2)2(x+4)2反这里巧在将6写成 2+4，将2写成 24。计算 3(22+1)(24+1)解：原式=(2+1)(22+1)(24+1)=(21)(2+1)(22+1)(24+1) =(221)(22+1)(24+1)=(241)(24+1) =281本题巧在数的变形，3=2+1，1=21，并注意到一同任何数相乘都得原数。最后，采用达成训练、变式训练、延伸训练等方式进行强化练习，即可举一反三、融会贯通。可见，从平方差公式的标准形式及各种变式中抽象出反映公式本质特征的应用模式，不为外在形式所迷惑，才能以不变应万变，走向公式应用的自由王国。教学效果表明，