高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第五课时 利用导数研究函数零点专题课件 理.ppt

第五课时利用导数研究函数零点专题 专题概述 利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一 也是高考考查的热点题型 常作为解答题的一问出现 难度较大 解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题 考点一利用函数图象研究函数零点 考点专项突破在讲练中理解知识 例1 已知函数f x 2x3 3x 若过点p 1 t 存在三条直线与曲线y f x 相切 求t的范围 过点p 1 t 存在三条直线与曲线y f x 相切等价于直线y t与曲线y h x 的图象有三个交点 如图作出y h x 的图象 从图可以看出 当 3 t 1时 函数y t和y h x 的图象有3个交点 综上 t的取值范围是 3 1 反思归纳含参数的函数零点个数 可转化为方程解的个数 若能分离参数 可将参数分离出来后 用x表示参数的函数 作出该函数图象 根据图象特征求参数的范围 即时训练 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 解 2 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 3 1 2 3a 0 所以a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0 解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性 可知f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 又f 3 191 结合f x 的单调性 可知m的取值范围是 3 1 利用函数性质研究函数零点 考点二 反思归纳利用函数性质研究函数的零点 主要是根据函数最值或极值的符号确定函数零点的个数 此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件 即时训练 导学号18702142已知函数f x xlnx g x x2 ax 3 ex a为实数 1 当a 4时 求函数y g x 在x 0处的切线方程 解 1 当a 4时 g x x2 4x 3 ex g 0 3 g x x2 2x 1 ex g 0 1 所以 所求的切线方程为y 3 x 0 即y x 3 2 如果关于x的方程g x 2exf x 在区间上有两个不等实根 求实数a的取值范围 例3 导学号18702143已知函数f x alnx 其中a r 若函数f x 有唯一零点 求a的取值范围 反思归纳函数有唯一零点的求解方法 1 函数在定义域上单调 满足零点存在性定理 2 若函数不是严格单调函数 则其最小值等于0或最大值等于0 3 分离参数后 数形结合 参数所在直线与函数图象只有一个交点 即时训练 设函数f x lnx x 当m 0时 方程2mf x x2有唯一实数解 求m的值 构造函数法研究函数零点问题 考点三 例4 2014 全国 卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 2 证明 由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在r有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 反思归纳含参数两函数y f x 与y g x 图象交点问