山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案.doc

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案 学习内容学习指导、即时感悟学习目标：1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2、会用函数图象理解和研究函数的性质学习重点：函数的单调性、最大值、最小值及其应用学习难点：函数的单调性、最大值、最小值及其 应用学习方法：自主合作探究学习方向引入：利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求参数的取值范围是历年高考考查的热点，题型多以选择题和填空题为主，与导数交汇命题会以解答题的形式出现。回顾预习 知识梳理：1、单调函数的定义设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值，当时，若 ，则f(x)在 上是增函数若 ，则f(x)在 上是减函数2、单调区间的定义若函数f(x)在区间d上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间3、用定义证明函数单调性的一般步骤取值：即设，是该区间内的任意两个值，且.作差：即f()f()(或f()f()，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：根据给定的区间和的符号，确定差f()f()(或f()f()的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论判断：根据定义得出结论4、求函数的单调性或单调区间的方法利用已知函数的单调性定义法：先求定义域，再利用单调性定义图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间5.函数的最值设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：(1)对于任意的xi，都有 (2)存在x0i，使得 .那么，我们称m是函数yf(x)的 最值与函数的值域有何关系？【提示】 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。(1) 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值前提自测1函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则(d)2若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是(b)a增函数 b减函数 c先增后减 d先减后增.3函数=在区间上是单调函数,则实数的取值范围是 a2 .4设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；其中能推出函数yf(x)为增函数的命题为_5.已知函数在上有最大值3,最小值2,则正数的取值范围 1m2 .6.证明函数在上是增函数自主学习自主合作探究例1答案：a0:f(x)为减函数。a0:f(x)为增函数。例2已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围解析：f(x)是奇函数则f(x)=-f(-x)f(m-1)+f(2m-1)0f(m-1)-f(2m-1)f(m-1)f(1-2m)-2m-12-21-2m2f(x)是减函数m-11-2m解得-1/3m2/3变式：已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f(x)在(1,1)上是减函数，解不等式f(1x)f(1x2)0. 解：1-x、1-x都在定义域上，-11-x1 0x2-11-x1 0x2 -2x2，且x00x2f(1-x)+f(1-x)0f(1-x)-f(1-x)f(1-x)x-1x+x-20(x+2)(x-1)0-2x1又-1x1，因此-1x1综上，得0x1，不等式的解集为(0，1)。例3函数f(x)对任意的a、br，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1 (1)求证：f(x)是r上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.(1)证明：设x1x2，则x2-x10，f(x2-x1)1，f(x2-x1)-10，f(x2)-f(x1)0， f(x2)f(x1)，f(x)是r上的增函数(2)解：f(a+b)=f(a)+f(b)-1，f(4)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，f(3m2-7)3， f(3m2-7)f(2)， f(x)是r上的增函数，则3m2-72，m23， 不等式的解集为m|。 例4.求函数 （1） （2） （3）变式：已知函数y3x22ax1，x0，1，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值解析：f(x)=-3x2+2ax-1=-3(x-a/3)2+a2/3-1对称轴x=a/3对a的取值分类讨论当a/30 a0f(x)在x0,1上单调递减f(x)的最小值f(1)=-3+2a-1=2a-4此时f（a）=2a-4a/30 3/2a0f(x)的最小值f(1)=2a-4注意此时f（a）=f(1)a/3=1/2 3a=3/2f(x)的最小值是f（0）=-1综上f（a）的最大值是-1例5某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：r(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解：(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而 (2)当0x400时， 当x=300时，有最大值25000； 当x400时，f(x)=60000100x是减函数， f(x)6000010040025000。 当x=300时，f(x)的最大值为25000。 答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元。当堂达标：1(2009年福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是(a)2若与在区间上都是减函数，则的取值范围是 （ d ）a. b. c. d. 3如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_-a0_4.已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴为直线x1，则(b)af(1)f(1)f(2)bf(1)f(2)f(1)cf(2)f(1)f(1)df(1)f(1)=3/4函数y=(x)在0,+上是减函数所以f(3/4)=f(a2-a+1)8.设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围.由f(xy)=f(x)+f(y)可得f(x)+f(x-3)=f（x*（x-3）又2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）所以f(x)+f(x-3)2等价于f（x*（x-3）f（4）又因为f是增函数 所以只需满足x*（x-3）4 解得 -1x0故f(x)=a-1/x ；设x1,x20且x2x1，则f(x2)-f(x1)=(a-1/x2)-(a-1/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1x2 x2-x10,x1x20，故f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)故函数f(x)在(0,+)上是增函数(2)f(x)2x，即a-(1/ |x| )1即a1),令x2x1,则g（x2）-g（x1）=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/（x1x2）x2x11,即x2-x10,2x1x2-10所以g（x2）-g（x1）0所以g（x）为增函数，所以g（x）g(1)=3所以ag(1)=3,即a3（c）6.已知函数f(x)对于任意x，yr，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1) (1)求证：f(x)在r上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值（1）证明：取x1r，则(x1+1)r，且x1+1x1,则 f(x1+1)-f(x1)=f(x1)+f(1)-f(x1)=f(1)=-2/3x1时，f(x1+1)f(x1) 所以f(x)在r上是减函数（2）解：因为f(x)在r上是减函数 所以f(x)在-3，3上的最大值是f(-3)，f(x)在-3