【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）空间几何体的结构特征及三视图和直观图教学案.doc

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图知识能否忆起一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线小题能否全取1(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()a球的三视图总是三个全等的圆b正方体的三视图总是三个全等的正方形c水平放置的正四面体的三视图都是正三角形d水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选ab中正方体的放置方向不明，不正确c中三视图不全是正三角形d中俯视图是两个同心圆2(2012杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()a圆柱b圆锥c球体 d圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选c当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3下列三种叙述，其中正确的有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台a0个 b1个c2个 d3个解析：选a中的平面不一定平行于底面，故错可用下图反例检验，故不正确4(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：正方形的直观图一定是菱形；菱形的直观图一定是菱形；三角形的直观图一定是三角形以上结论正确的是_解析：中其直观图是一般的平行四边形，菱形的直观图不一定是菱形，正确答案：5一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为.答案：1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：s直观图s原图形，s原图形2s直观图空间几何体的结构特征典题导入例1(2012哈师大附中月考)下列结论正确的是()a各个面都是三角形的几何体是三棱锥b以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥d圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线自主解答a错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；b错误，如图2，若abc不是直角三角形，或abc是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥； 图1图2c错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾答案d由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断以题试法1(2012天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()a等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆d等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选b如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即a正确；底面四边形必有一个外接圆，即c正确；在高线上可以找到一个点o，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即d正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题b为假命题几何体的三视图典题导入例2(2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()自主解答根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是c.答案c由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”注意画三视图时，要注意虚、实线的区别以题试法2(1)(2012莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选d由俯视图排除b、c；由正视图、侧视图可排除a.(2)(2012济南模拟)如图，正三棱柱abca1b1c1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()a2b4c. d2解析：选d依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2.几何体的直观图典题导入例3已知abc的直观图abc是边长为a的正三角形，求原abc的面积自主解答建立如图所示的坐标系xoy，abc的顶点c在y轴上，ab边在x轴上，oc为abc的高把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，则点c变为点c，且oc2oc，a，b点即为a，b点，长度不变已知abaca，在oac中，由正弦定理得，所以oc a a，所以原三角形abc的高oca.所以sabcaaa2.由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”“三变”“三不变”以题试法3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()a2b.c. d1解析：选a恢复后的原图形为一直角梯形s(11)22.1(2012青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()abc d解析：选a的三个视图都是边长为1的正方形；的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形2有下列四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题的个数是()a1 b2c3 d4解析：选a命题不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选cc选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选c.4如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选b由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面pad，且ec投影在面pad上，故b正确5.如图abc是abc的直观图，那么abc是()a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d钝角三角形解析：选b由斜二测画法知b正确6(2012东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()a2 b1c22 d4解析：选d依题意得，该几何体的侧视图的面积等于2224.7(2012昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图1所示，直三棱柱abea1b1e1符合题设要求，此时俯视图abe是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱abca1b1c1符合题设要求，此时俯视图abc是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱abcda1b1c1d1符合题设要求，此时俯视图(四边形abcd)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有，故排除.答案：8(2013安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为22sin 60222sin 601.答案：9正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面pef，其中e、f分别是ad、bc的中点，连接ao，易得ao，而pa，于是解得po1，所以pe，故其正视图的周长为22.答案：2210已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体11(2012银川调研)正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)解：如图所示，正四棱锥sabcd中，高os，侧棱sasbscsd，在rtsoa中，oa2，ac4.abbccdda2.作oeab于e，则e为ab中点连接se，则se即为斜高，在rtsoe中，oebc，so，se，即棱锥的斜高为.12(2012四平模拟)已知正三棱锥vabc的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)三棱锥的直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得bc2，侧视图中va 2，svbc226.1(2012江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()a2 b3c. d4解析：选a当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2.2(2013深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形abcd是矩形，平面abcd平面abe，已知ab2，aebe，且当规定正视方向垂直平面abcd时，该几何体的侧视图的面积为.若m，n分别是线段de，ce上的动点，则ammnnb的最小值为_解析：依题意得，点e到直线ab的距离等于，因为该几何体的左侧视图的面积为bc，所以bc1，deecdc2.所以dec是正三角形，dec60，tan dea，deaceb30.把dae，dec与ceb展在同一平面上，此时连接ab，aebe，aebdeadecceb120，ab2ae2be22aebecos 1209，即ab3，即ammnnb的最小值为3.答案：33一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线ac，bd交于点o，e为线段aa1的中点，求证：oe平面a1c1c；(3)求该多面体的表面积解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接ac，bd，交于o点，连接oe.e为aa1的中点，o为ac的中点，在aa1c中，oe为aa1c的中位线oea1c.oe平面a1c1c，a1c平面a1c1c，oe平面a1c1c.(3)多面体表面共包括10个面，sabcda2，sa1b1c1d1，saba1sb1bcsc1dcsadd1，saa1d1sb1a1bsc1b1csdc1d1，该多面体的表面积sa2445a2.1(2012北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()a1 b.c. d