小学奥数36个经典（27-29）.doc

第27讲 整取问题内容概述 有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中 我们规定表示不超过的最大整数，=-，即为的小数或真分数部分 如3.14=3，3.14=0.14， 显然有x1 Ox+y2(、y均为整数时等号才成立)典型问题 2求的和【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:最后一项为1981不难得到，再看+；=+=+所以有 +=1981=+=+因为 +的和为整数,所以 +的和也为整数,但是我们知道0+y1，不满足；当=6时，有6+6+=2+10；则5=4，=；当=7时，有7+7+=2+10；则 6x=3，=；当=8时，有8+8+=2+10；则7=2，=；当=9时，有9+9+=2+10；则8=1，=；当=10时，有10+10+=2+10；则 9=0，=0所以有=6，7，8，9，106满足=546求100的值? 【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为或+1，这是因为：、均小于l， 又由于737 546 738，为使和数为546，则=7， 则设有个+值为7，于是，7+8(73-)=546, 解得=38 所以有38项整数部分为7 即：+8，即 +8 +8，即 +8 于是，100+8100 100+56800，100744；100+57800，100743 于是，100=743第28讲 数论综合3内容概述 具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题典型问题2. 有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除那么这样的3个自然数的和的最小值是多少? 【分析与解】 设这三个自然数为A，B，C，且A=，B=,C=，当、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数、应尽可能的取较小值，显然当、为2、3、5时最小，有A=23=6, B=35=15，C=52=10 于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=314. 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30那么在1，2，16这16个整数中，有“好数”多少对? 【分析与解】 设这两个数为、，且500,000,使得A111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的值.(说明见评注)当=999,999,有A=888,889时, A=888,888,111,111,显然满足上面的条件.所以888,889即为所求的A.评注：如果存在 500，000，使得A111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即为题中所求的值 这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得BA=111，111(mod 1,000，000)，那么有(A-B A)=0(mod 1，000，000)，即(-B)A0(mod 1，000，000)因为A不含有质因数2、5，所以(-B)为1，000，000的倍数，-B1，000，000，那么1，000，000，与为六位数矛盾 也就是说不存在小于等于500，000的t，使得A的后六位为111，111，那么也不可能使得A的后6位相同14.已知m，n，k为自然数，m n k，2+2-2是100的倍数,求m + n - k后的最小值 【分析与解】 方法一：首先注意到100=2252 如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的所以n-k1. 被22整除,所以k2. 设=m-k，=n-k，则，且都是整数 2a+2b-1被52整除，要求+k=m+n-k的最小值 不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以+k的最小值小于10+l+2=13 而且在=10，=1，k=2时，上式等号成立 还需证明在+10时，2a+2b-l不可能被25整除 有下表a98765411,21,2,31,2,3,41,2,3,4,51,2,3,4 3时，2a+2b-18+8=16不能被52整除其他表中情况，不难逐一检验，均不满足被25整除的要求 因此+-k即m+n-k的最小值是13 方法二：注意到有100=2255，4 所以k最小为2 还有25，令m-k=x, n-k=y 则有l(mod 25) 因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；或者是x=4P+3，y=4Q+3 (1)x=4p+2，y=4q+1时 当x=2，y=1，于是不是100的倍数； 当x=6，y=l，于是不是100的倍数； 当x=10，y=l，于是是 l00的倍数； (2)x=4P+3，y=4Q+3 当x=3，y=3，于是不是l00的倍数； 当x=7，y=3，于是不是l00的倍数：其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13第29讲 数论综合4内容概述主要是“小升初”综合素质测试中较难的数论问题1任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q我们知道，P除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少? 【分析与解】 将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P除以Q的商中显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7 记PQ=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7 两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被77整除，也可能其中一个数是77的倍数，而另一个不是于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1 类似的分析，R中最多包含一个质因数5 在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2 在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7 综上所述，R的最大值是273257=40320事实上，对于9个连续正整数560，561，568，P除以Q所得到的商恰是403202老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： (1)三个数都变成12？ (2)三个数变成23、15、19？ 【分析与解】 如果两个数都加上2，那么它们的差不变；如果两个数都减去1，那么它们的差也不变；如果一个数加上2，一个数减去1，那么它们的差增大或减小3所以，不管怎样，它们的差增大或减小3的倍数也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以3的余数是不变的21与7的差除以3的余数为2；21与8的差除以3的余数为1；7与8的差除以3的余数为1（1)三个数都变成12，那么它们的差除以3的余数都是0，显然与开始给出的三个数之间差的余数有变化，所以不满足；(2)三个数变成23、15、19，它们之间差除以3的余数依次为：23与15的差除以3的余数为2；23与19的差除以3的余数为1；15与19的差除以3的余数为1也就是说与开始给出的三个数之间差的余数没变化，所以满足3对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数 (1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4； (2)对于“阶数”为4的“奇妙数组”，求这4个质数的乘积的最小值 【分析与解】 (1)假设a、b、c、d、e能组成一个5阶“奇妙数组”，那么a、b、c、d一定可以组成一个四阶“奇妙数组”，考虑除以3的余数情况，不能存在3的数它们除以3的余数相同，并且验证只能是1，1，2，2则e除以3不管是余0，1，2都能在这五个数中找到三个数，它们的和是3的倍数，且大于3，所以无法组成5阶“奇妙数组”但是如97，73，4l，53满足(它们的三个数和依次为167，191，223，2ll均是质数)所以存在最大的4阶“奇妙数组” (2)写出所有除以3余1的质数：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97； 写出所有除以3余2的质数：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89