湖南省各市中考数学分类解析 专题6 函数的图像与性质.docVIP

湖南各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图像与性质1、 选择题1. （2012湖南常德3分）对于函数，下列说法错误的是【 】 a. 它的图像分布在一、三象限 b. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 c. 当x0时，y的值随x的增大而增大 d. 当x”,“”或“=”)【答案】。【考点】一次函数图象上点的坐标特征。【分析】点p1（3，y1），p2（2，y2）在一次函数y=2x1的图象上，y1=231=5，y2=221=3。53，y1y2。5. （2012湖南衡阳3分）如图，反比例函数的图象经过点p，则k= 【答案】6。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据图象写出p点坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把p点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值：根据图象可得p（3，2），把p（3，2）代入反比例函数中得：k=xy=6。6. （2012湖南衡阳3分）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点a（1，2），则kb= 【答案】8。【考点】两条直线平行问题，曲线上点的坐标与方程的关系。119281【分析】根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点a的坐标代入解析式求出b值，再代入代数式进行计算即可：y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，k=2。y=kx+b的图象经过点a（1，2），2+b=2，解得b=4。kb=2（4）=8。7. （2012湖南株洲3分）一次函数y=x+2的图象不经过第 象限【答案】四。【考点】一次函数的性质。【分析】一次函数的图象有四种情况：当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限。 由题意得，函数y=x+2的，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。三、解答题1. （2012湖南长沙10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：.（年获利=年销售收入生产成本投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围【答案】解：（1）252830，把28代入y=40x得， y=12（万件）。答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。（2）当 25x30时，w=（40x）（x20）25100=x2+60x925=（x30）225，当x=30时，w最大为25，即公司最少亏损25万。当30x35时，w=（250.5x）（x20）25100=x2+35x625=（x35）212.5，当x=35时，w最大为12.5，即公司最少亏损12.5万。综合，得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。（3）当 25x30时，w=（40x）（x201）12.510=x2+59x782.5，令w=67.5，则x2+59x782.5=67.5，化简得：x259x+850=0，解得 x1=25；x2=34。此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25x30；当30x35时，w=（250.5x）（x201）12.510=x2+35.5x547.5，令w=67.5，则x2+35.5x547.5=67.5，化简得：x271x+1230=0，解得x1=30；x2=41。此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30x35，综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25x35。【考点】一、二次函数的应用。【分析】（1）因为252830，所以把28代入y=40x即可求出该产品的年销售量为多少万件。（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入生产成本投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。 （3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。2. （2012湖南益阳10分）已知：如图，抛物线y=a（x1）2+c与x轴交于点a和点b，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点p落在点p（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点p作x轴的平行线交抛物线于c、d两点，将翻折后得到的新图象在直线cd以上的部分去掉，设计成一个“w”型的班徽，“5”的拼音开头字母为w，“w”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“w”图案的高与宽（cd）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）请你计算这个“w”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）【答案】解：（1）p与p（1，3）关于x轴对称，p点坐标为（1，3）。抛物线y=a（x1）2+c顶点是p（1，3），抛物线解析式为y=a（x1）23。抛物线y=a（x1）23过点a，a（1）23=0，解得a=1。抛物线解析式为y=（x1）23，即y=x22x2。（2）cd平行x轴，p（1，3）在cd上，c、d两点纵坐标为3。由（x1）23=3，解得：。c、d两点的坐标分别为。cd=。“w”图案的高与宽（cd）的比=（或约等于0.6124）。【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用p与p（1，3）关于x轴对称，得出p点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。（2）根据已知求出c，d两点坐标，从而得出“w”图案的高与宽（cd）的比。3. （2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，图象经过（0，1500），（25，1000），解得：。排水阶段解析式为：y=20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，图象经过（195，1000），（95，0），解得：。灌水阶段解析式为：y=10t950。（2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。排水时间为75分钟。清洗时间为：9575=20（分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。4. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为c1，把锅盖纵断面的抛物线记为c2（1）求c1和c2的解析式；（2）如图，过点b作直线be：y=x1交c1于点e（2，），连接oe、bc，在x轴上求一点p，使以点p、b、c为顶点的pbc与boe相似，求出p点的坐标；（3）如果（2）中的直线be保持不变，抛物线c1或c2上是否存在一点q，使得ebq的面积最大？若存在，求出q的坐标和ebq面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线c1、c2都过点a（3，0）、b（3，0），设它们的解析式为：y=a（x3）（x+3）。抛物线c1还经过d（0，3），3=a（03）（0+3），解得a=。抛物线c1：y=（x3）（x+3），即y=x23（3x3）。抛物线c2还经过a（0，1），1=a（03）（0+3），a=抛物线c2：y=（x3）（x+3），即y=x2+1（3x3）。（2）直线be：y=x1必过（0，1），cbo=ebo（tancbo=tanebo=）。由e点坐标可知：tanaoe，即aoecbo，它们的补角eobcbx。若以点p、b、c为顶点的pbc与boe相似，只需考虑两种情况：cbp1=ebo，且ob：be=bp1：bc，由已知和勾股定理，得ob=3，be=，bc=。3：=bp1：，得：bp1=，op1=obbp1=。p1（，0）p2bc=ebo，且bc：bp2=ob：be，即：bp2=3：，得：bp2=，op2=bp2ob=。p2（，0）综上所述，符合条件的p点有：p1（，0）、p2（，0）。（3）如图，作直线l直线be，设直线l：y=x+b。当直线l与抛物线c1只有一个交点时：x+b=x23，即：x2x（3b+9）=0。由=（1）24（3b+9）=0。得。此时，。该交点q2（）。过点q2作q2fbe于点f，则由be：y=x1可用相似得q2f的斜率为3，设q2f：y=3xm。将q2（）代入，可得。q2f：y=3x。联立be和q2f，解得。f（）。q2到直线 be：y=x1的距离q2f：。当直线l与抛物线c2只有一个交点时：x+b=x2+1，即：x2+3x+9b9=0。由=324（9b9）=0。得。此时，。该交点q1（）。同上方法可得q1到直线 be：y=x1 的距离：。，符合条件的q点为q1（）。ebq的最大面积：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。【分析】（1）已知a、b、c、d四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。5. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，p（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过p作phl，h为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|po|2和|ph|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使poh为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），-，解得。二次函数的解析式为y=x21。（2）当2x2时y0。（3）当m=0时，|po|2=1，|ph|2=1；当m=2时，p点的坐标为（2，0），|po|2=4，|ph|2=4；当m=4时，p点的坐标为（4，3），|po|2=25，|ph|2=25。由此发现|po|2=|ph|2。设p点坐标为（m，n），即n=m21|op|2= m2+ n2，|ph|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。对于任意实数m，|po|2=|ph|2。（4）存在。由（3）知op=ph，只要oh=op成立，poh为正三角形。设p点坐标为（m，n），|op|2= m2+ n2，|oh|2=4+ m2，由|op|=|oh|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=2。当n=2时，n=m21不符合条件，当n=2时，由2=m21解得m=2。故当m=2时可使poh为正三角形【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点a（2，0）和b（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由图象可知当2x2时y0。（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|po|2和|ph|2的值然后观察其规律，再进行证明。（4）由（3）知op=oh，只要oh=op成立，poh为正三角形，求出|op|、|oh|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值。6. （2012湖南郴州6分）已知反比例函数的图象与直线y=2x相交于a（1，a），求这个反比例函数的解析式【答案】解：设反比例函数的解析式为（k0），把a（1，a）代入y=2x得a=2，则a点坐标为（1，2）。把a（1，2）代入得k=12=2。反比例函数的解析式为。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数的解析式为（k0），先把a（1，a）代入y=2x可得a=2，则可确定a点坐标为（1，2），然后把a（1，2）代入可计算出k的值，从而确定反比例函数的解析式。7. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点m，使得ma+mb的值最小，并求出点m的坐标（3）在抛物线上是否存在一点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由b（2，3），c（0，3），且对称轴为x=1，可知点b、c是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接ac，交对称轴x=1于点m，连接mb，则mamb=mamc=ac，根据两点之间线段最短可知此时mamb的值最小。设直线ac的解析式为y=kxb，a（4，0），c（0，3）， ，解得。直线ac的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。m点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点p满足题意：若bcap1，此时梯形为abcp1。由b（2，3），c（0，3），可知bcx轴，则x轴与抛物线的另一个交点p1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。p1（2，0）。p1a=6，bc=2，p1abc。四边形abcp1为梯形。若abcp2，此时梯形为abcp2。设cp2与x轴交于点n，bcx轴，abcp2，四边形abcn为平行四边形。an=bc=2。n（2，0）。设直线cn的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线cn的解析式为：y=x+3。点p2既在直线cn：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点p2横坐标为6，代入直线cn解析式求得纵坐标为6。p2（6，6）。abcn，ab=cn，而cp2cn，cp2ab。四边形abcp2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形，点p的坐标为（2，0）或（6，6）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，线段最短的性质，梯形的判定。【分析】（1）已知抛物线上三点a、b、c的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接ac，则ac与对称轴的交点即为所求之m点；已知点a、c的坐标，利用待定系数法求出直线ac的解析式，从而求出点m的坐标。（3）根据梯形定义确定点p，如图2所示：若bcap1，确定梯形abcp1此时p1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点p1的坐标；若abcp2，确定梯形abcp2此时p2位于第四象限，先确定cp2与x轴交点n的坐标，然后求出直线cn的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点p2的坐标。8. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：ax+bx+c=0（a、b、c是常数，且a、b不同时为0）如图1，点p（m，n）到直线l：ax+by+c=0的距离（d）计算公式是：d= 例：求点p（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x12y2=0，再由上述距离公式求得d= 解答下列问题：如图2，已知直线与x轴交于点a，与y轴交于点b，抛物线上的一点m（3，2）（1）求点m到直线ab的距离（2）抛物线上是否存在点p，使得pab的面积最小？若存在，求出点p的坐标及pab面积的最小值；若不存在，请说明理由【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）按例求解即可。 （2）用二次函数的最值，求出点p到直线ab的距离最小值，即可求出答案。9. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点a（x1，0）和点b（x2，0），x1x2，与y轴交于点c，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点p，使四边形pacb为平行四边形？如果有，求出点p的坐标；如果没有，请说明理由【答案】解：（1）二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点a（x1，0）和点b（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，则有：x1+x2=m22，x1x2=2m。，化简得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1。当m=2时，方程为：x22x+4=0，其判别式=b24ac=120，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时，方程为：x2+x2=0，其判别式=b24ac=90，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。m=1。抛物线的解析式为y=x2+x2。（2）存在。理由如下：假设在直线y=x+3上是否存在一点p，使四边形pacb为平行四边形。如图所示，连接papbacbc，过点p作pdx轴于d点。抛物线y=x2+x2与x轴交于ab两点，与y轴交于c点，a（2，0），b（1，0），c（0，2）。ob=1，oc=2。pacb为平行四边形，pabc，pa=bc。pad=cbo，apd=ocb。在rtpad与rtcbo中，pad=cbo ，pa=bc，apd=ocb ，rtpadrtcbo（aas）。pd=oc=2，即yp=2。直线解析式为y=x+3，xp=1。p（1，2）。在直线y=x+3上存在一点p，使四边形pacb为平行四边形，p点坐标为（1，2）。【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得p点的纵坐标，从而得到p点的横坐标，从而求得p点坐标。10. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于a、b两点，抛物线y=x2+bx+c过a、b两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线ab于m，交这个抛物线于n求当t取何值时，mn有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以a、m、n、d为顶点作平行四边形，求第四个顶点d的坐标【答案】解：（1）分别交y轴、x轴于a、b两点，a、b点的坐标为：a（0，2），b（4，0）。将x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=。抛物线解析式为：y=x2+x+2。（2）如图1，设mn交x轴于点e，则e（t，0），be=4t。，me=betanabo=（4t） =2t。又n点在抛物线上，且xn=t，yn=t2+t+2。当t=2时，mn有最大值4。（3）由（2）可知，a（0，2），m（2，1），n（2，5）如图2，以a、m、n、d为顶点作平行四边形，d点的可能位置有三种情形。（i）当d在y轴上时，设d的坐标为（0，a），由ad=mn，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，从而d为（0，6）或d（0，2）。（ii）当d不在y轴上时，由图可知d为d1n与d2m的交点，由d1（0，6），n（2，5）易得d1n的方程为y=x+6；由d2（0，