浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学竞赛模拟试题14.doc

1 浙江省绍兴县杨汛桥镇中学浙江省绍兴县杨汛桥镇中学 20132013 届九年级数学竞赛模拟试题届九年级数学竞赛模拟试题 1414 1 已知 pa 是圆 o 的切线 切点为 a pa 2 ac 是圆 o 的直径 pc 与圆 o 交于点 b pb 1 则圆 o 的半 径 r 2 如图 abc 的外接圆的切线 ae 与 bc 的延长线相交于点 e bac 的平分线与 bc 交于点 d 求证 ed 2 eb ec 证明 因为 ea 是圆的切线 ac 为过切点 a 的弦 所以 cae cba 又因为 ad 是 bac 的平分线 所以 bad cad 所以 dae dac eac bad cba ade 所以 ead 是等腰三角形 所以 ea ed 又 ea2 ec eb 所以 ed2 eb ec 3 已知 abc 中 ab ac d是 abc 外接圆劣弧 a ac上的点 不与点 a c 重合 延长 bd 至 e 1 求证 ad 的延长线平分 cde 2 若 bac 30 abc 中 bc 边上的高为 2 3 求 abc 外 接圆的面积 w w w k s 5 u c o m 如图 设 f 为 ad 延长线上一点 a b c d 四点共圆 cdf abc 又 ab ac abc acb 且 adb acb adb cdf 对顶角 edf adb 故 edf cdf 即 ad 的延长线平分 cde 设 o 为外接圆圆心 连接 ao 交 bc 于 h 则 ah bc 连接 oc a 由题意 oac oca 150 acb 750 och 600 设圆半径为 r 则 r 2 3 r 2 3 a 得 r 2 外接圆的面积为 4 2 22 如图 过圆 o 外一点 m 作它的一条切线 切点为 a 过 a 作直线 ap 垂直直线 om 垂足为 p 1 证明 om op oa2 2 n 为线段 ap 上一点 直线 nb 垂直直线 on 且交圆 o 于 b 点 过 b 点的切线交直线 on 于 k 证明 okm 90 证明 1 因为 ma 是圆 o 的切线 所以 oa am 又因为 ap om 在 rt oam 中 由射影定理知 oa2 om op 故 om op oa2 得证 2 因为 bk 是圆 o 的切线 bn ok 同 1 有 ob2 on ok 又 ob oa 所以 om op on ok 即 onop omok 又 nop mok 所以 onp omk 故 okm opn 90 即有 okm 90 如图 已知abc 的两条角平分线ad和ce相交于 h 0 60b f 在ac上 且aeaf 1 证 明 b d h e 四点共圆 2 证明 ce平分def 解 在 abc 中 因为 b 60 所以 bac bca 120 因为 ad ce 是角平分线 所以 hac hca 60 故 ahc 120 于是 ehd ahc 120 因为 ebd ehd 180 3 所以 b d h e 四点共圆 连结 bh 则 bh 为 abc 的平分线 得 hbd 30 由 知 b d h e 四点共圆 所以 ced hbd 30 又 ahe ebd 60 由已知可得 ef ad 可得 cef 30 所以 ce 平分 def 22 如图 已知 ap 是 o 的切线 p 为切点 ac 是 o 的割线 与 o 交于 b c 两点 圆心 o 在 pac 的内部 点 m 是 bc 的中 点 证明 a p o m 四点共圆 求 oam apm 的大小 解 证明 连接 op om 因为 ap 与 o 相切于点 p 所以 op ap 因为 m 是 o 的弦 bc 的中点 所以 om bc 于是 opa oma 180 由圆心 o 在 pac 的内部 可知四边形的对角互补 所以 a p o m 四点共圆 解 由 得 a p o m 四点共圆 所以 oam opm 由 得 op ap 由圆心 o 在 pac 的内部 可知 opm apm 90 所以 oam apm 90 4 1 过圆外一点 p 作圆的两条切线和一条割线 切点为 a b 所作割线交 圆于 c d 两点 c 在 p d 之间 在弦 cd 上取一点 q 使 pbcdaq 求证 pacdbq 1 1 证明 证明 a b c d四点共圆 abcadc 由已知 pbcdaq pbapbcabcdaqadc 而pqa 是 adq的一个外角 daqadcpqa pbapqa 故p a q b四点共圆 从而apqabq 所以abcabqcbdqbd adcapqcad 180 cadadcapq 180 cadpad pac 命题得证 1 在锐角三角形abc中 ab上的高ce与ac上的高bd相交于点h 以de为直径的圆分别交ab ac于f g两点 fg与ah相交于点k 已知bc 25 bd 20 be 7 求ak的长 本题满分 50 分 在锐角三角形abc中 ab上的高ce与ac上的高 bd相交于点h 以de为直径的圆分别交ab ac于f g两点 fg与ah 相交于点k 已知bc 25 bd 20 be 7 求ak的长 解 bc 25 bd 20 be 7 ce 24 cd 15 ac bd ce ab ac ab 6 5 bd ac ce ab b e d c共圆 ac ac 15 ab ab 7 ab ab 15 ab ab 18 6 5 6 5 ab 25 ac 30 ae 18 ad 15 d c b p a q d c b p a q ef b c d a g h k 24 18 7 25 20 15 ef b c d a g h k p 5 de ac 15 1 2 延长ah交bc于p 则ap bc ap bc ac bd ap 24 连df 则df ab ae de df ab af ae 9 1 2 d e f g共圆 afg ade abc afg abc ak ak ap af ab 9 24 25 216 25 1 已知 o与abc 的边acab 分别相切于p和q 与abc 外接圆相切于d m是pq的 中点 如图 求证 mdcpoq 2 15 已知 o与abc 的边acab 分别相切于p和q 与abc 外接圆相切于d m是 pq的中点 如图 求证 mdcpoq 2 证明 如图 连结dqdoadao aqap 分别与 o相切于qp aqap op和oq都是 o的半径 90 aqoapo 5 分 由对称性知aoqpoq 2 且pqoa 于m