【冲击高分系列】高考数学 不等式（58题）难题专项训练 文.doc

2014年高考数学（文）难题专项训练：不等式1. a.6b.7c.8d.92. (2013辽宁省五校协作体高三一月摸底考试，12,5分)在直角坐标平面上的点集，那么的面积是（）a bcd3.（2013福建厦门高三一月质量检查，9,5分）记s为四面体四个面的面积s1, s2, s3, s4中的最大者，若，则（）a2 3b24c34 d3.5 0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点a,b,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点c,d. 记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为a,b. 当m变化时,的最小值为()a. 16b. 8c. 8d. 410.(2012湖北,10,5分)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积v,求其直径d的一个近似公式d. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据=3. 141 59判断,下列近似公式中最精确的一个是()11. (2009天津, 10, 5分) 设0b(ax) 2的解集中的整数恰有3个, 则() a. -1a0b. 0a1c. 1a3d. 3a43b. 312c. 423d. 34113.(2010四川, 12, 5分) 设abc0, 则2a2+-10ac+25c2的最小值是() a. 2b. 4c. 2d. 514.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，14,5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 15.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，14,5分）已知椭圆是椭圆上两点，有下列三个不等式. 其中不等式恒成立的序号是. （填所有正确命题的序号）16.(2013北京西城区高三三月模拟，14,5分)记实数中的最大数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为.（）若为等腰三角形，则_；（）设，则的取值范围是_17.(2013重庆市高三九校一月联合诊断考试，15,5分)已知函数的定义域为部分对应值如下表，-2041-11 为的导函数，函数的图象如图所示，若两正数满足，则的取值范围是 18.(2013北京海淀区高三一月期末，13,5分)点在不等式组 表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则19. (2012江西省临川一中、师大附中联考，15,5分)已知函数为奇函数，f(1)f(3)，且不等式的解集为2，4，则f(x)的解析式为20.(2012江西省联考，15,5分）(2) (不等式选做题）设,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,则实数p的取值范围是_.21.（2012东北三省四市第二次联考，16,5分）如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_.22.(2012北京东城区高三模拟，14,5分)已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：其中，所有正确说法的序号是_.23. (2012东北三省四市第一次联考，15，5分)在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积的最大值为_.24. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，25. (2012天津十二区县联考，14,5分)已知中的重心为,直线过重心，交线段于，交线段于其中,且,其中为实数.则的最小值为_.26. (2013高考仿真试题三，16,5分)设二次函数f(x)=ax2-4x+c(cr)的值域为0,+),则+的最大值为. 27.(2012江苏,14,5分)已知正数a,b,c满足:5c-3ab4c-a,cln ba+cln c,则的取值范围是. 28. (2012浙江,17,4分)设ar,若x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,则a=. 29.(2007山东, 16, 4分) 函数y=loga(x+3) -1(a0, a1) 的图象恒过定点a, 若点a在直线mx+ny+1=0上, 其中mn0, 则+的最小值为. 30.(2008浙江, 17, 5分) 若a0, b0, 且当时, 恒有ax+by1, 则以a、b为坐标的点p(a, b) 所形成的平面区域的面积等于. 31. (2009江西, 15, 4分) 若不等式k(x+2) -的解集为区间a, b, 且b-a=2, 则k=. 32.(2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，22，12分）已知.（1) 已知函数h(x) =g(x) +ax3的一个极值点为1，求a的取值；（2） 求函数在上的最小值；（3）对一切，恒成立，求实数a的取值范围.33.(2013年湖北七市高三4月联考，22，14分) 已知函数f(x) =lnx，g(x) =k.(i) 求函数f(x) = f(x) - g(x) 的单调区间；() 当x 1时，函数f(x) g(x) 恒成立，求实数k的取值范围；() 设正实数a1，a2，a3，an满足a1+a2+a3+an=1，求证：ln(1+) +ln(1+) +ln(1+) .34.若实数x、y、m满足|x-m|y-m|, 则称x比y远离m. () 若x2-1比1远离0, 求x的取值范围;() 对任意两个不相等的正数a、b, 证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab;() 已知函数f(x) 的定义域d=xx+, kz, xr. 任取xd, f(x) 等于sin x和cos x中远离0的那个值. 写出函数f(x) 的解析式, 并指出它的基本性质(结论不要求证明) .35.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，21,14分）设是函数的零点.（1）证明：；（2）证明：.36.(2013年东北三校高三第二次联合考试，21，12分）已知函数，.（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；（2）若a 0，对任意x 0不等式恒成立，求实数a的取值范围.37.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知sn为数列an的前n项和，a1=a，sn=kan+1且常数k满足0 |k| 1.(i) 求数列an的通项公式；(ii) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项am+1，am+2，am+3按从小到大的顺序调整 后，均可构成等差数列，且记公差为dm，试求k的值及相应dm的表达式(用含m的 式子表示) ；(iii) 记数列dm (这里dm是(2) 中的dm的前m项和为tm=d1+d2+dm. 问是否存在 a, 使得tm 0(i=1,2, 3, , 3n) ，求证：+.40.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设.（）若对一切恒成立，求的最大值.（）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线ab的斜率恒大于常数，求的取值范围；（）求证：.41.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，22,12分）已知，o为坐标原点，动点e满足:,（i） 求点e的轨迹c的方程；（ii）过曲线c上的动点p向圆o：引两条切线pa、pb，切点分别为a、b，直线ab与x轴、y轴分别交于m、n两点，求mon面积的最小值.42.（2013福建厦门高三一月质量检查,20,14分）某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3xl5，3x25方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂经调研知：（1）污水处理厂的建设费用p（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为p =40x2；（2）每处理1m3的污水所需运行费用q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：（i）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？（）若xl +x2 =8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用43. (2012山东省规范化学校高三11月月考，21，12分)在中角的对边分别为且，（1）判断的形状；（2）求sina+sinb的取值范围；（3）若，试确定的取值范围.44. (2012北京海淀区高三11月月考，20,14分）已知数集具有性质p：对任意的，使得成立（）分别判断数集与是否具有性质p，并说明理由；（）求证：；（）若，求数集中所有元素的和的最小值45. (2012四川省米易中学高三第二次段考，22,10分)已知函数() 当时, 求函数的单调增区间；() 求函数在区间上的最小值；(iii) 在()的条件下，设,证明：.（参考数据：.）46. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,22,10分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（）设，求证：（1）；（2）数列是等差数列，并求出其公差；（）设，且是等比数列，求和的值47.(2012广东省海珠区综合测试，21，14分)已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围;(3)证明:对任意的正整数，不等式都成立.48.49.(2012北京海淀区期末练习，20，13分）将一个正整数表示为的形式，其中，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（）写出的值，并说明理由；（）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明；（）当正整数时，求证：50. （2012安徽合肥高三第二次检测，20，12分)已知函数的定义域为r，其导数满足，常数为方程的实数根.（1）求证：当时，总有成立；（2）对任意，若满足求证：51. (2012天津十二区县联考，19,14分)已知数列的首项，前项和为，且，设，.（）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（ii）设，证明：；（）对于（）中数列，若数列满足（），在每两个与之间都插入（）个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数,使得数列的前项的和?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.52. (2013高考仿真试题五，21,12分)已知函数f(x)=aln x+x2-(1+a)x,其中ar. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对于任意正整数m,n,不等式+恒成立. 53. (2013高考仿真试题四，21，12分)已知函数f(x)=ln x-. (1)若函数f(x)在(0,+)上为单调增函数,求a的取值范围;(2)设m,n为正实数,且mn. 求证:. 54.(2012云南高三二模，20，12分)已知抛物线p的顶点在原点,焦点f在x轴的正半轴上,经过点h(4,0)作直线与抛物线p相交于a、b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),且y1y2=-16. (1)求抛物线p的方程;(2)是否存在常数a,当点m在抛物线p上运动时,直线x=a都与以mf为直径的圆相切?若存在,求出所有a的值;若不存在,请说明理由. 55. (2007江西,22,14分)设正整数数列an满足:a2=4,且对于任何nn*,有2+0且b1,b,r均为常数)的图象上.()求r的值;()当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nn*).证明:对任意的nn*,不等式成立.57.(2009全国, 22, 12分) 设函数f(x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2, 且x1-1, 0, x21, 2. () 求b、c满足的约束条件, 并在下面的坐标平面内, 画出满足这些条件的点(b, c) 的区域;() 证明:-10f(x2) -. 58.(2008江西, 22, 14分) 已知函数f(x) =+, x(0, +) . () 当a=8时, 求f(x) 的单调区间;() 对任意正数a, 证明:1f(x) 1, x2-11, 即x22, x的取值范围是(-, -) (, +) . (3分) () 证明:当a、b是不相等的正数时, a3+b3-(a2b+ab2) =(a-b) 2(a+b) 0, (6分) 又a2b+ab22ab, 则a3+b3a2b+ab22ab0, 于是|a3+b3-2ab|a2b+ab2-2ab|, a3+b3比a2b+ab2远离2ab. (8分) () 若|sin x|cos x|, 即sin2xcos2x, cos 2x0, 2k+2x2k+, k+x|sin x|, 则k+xk+(kz) . 于是, 函数f(x) 的解析式是f(x) =(11分) 函数f(x) 的大致图象如下:函数f(x) 的最小正周期t=2. (12分) 函数f(x) 是非奇非偶函数. (13分) 当x=2k或x=2k+(kz) 时, 函数f(x) 取得最大值1;当x=2k+或x=2k+(kz) 时, 函数f(x) 取得最小值-1. (15分) 函数f(x) 在区间, (kz) 上单调递增;在区间, (kz) 上单调递减. (18分) 35.证明：（1）因为，且在上的图像是一条连续曲线，所以函数在内有零点.因为，所以函数在上单调递增.所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内.而是函数的零点，所以.（2）先证明左边的不等式：因为，由（1）知，所以. 即.所以. 所以.以下证明.方法1（放缩法）：因为，所以.方法2（数学归纳法）：1）当时，不等式成立.2）假设当（）时不等式成立，即.那么.以下证明.即证.即证.由于上式显然成立，所以不等式成立.即当时不等式也成立.根据1）和2），可知不等式对任何都成立.所以.再证明右边的不等式：当时，.由于，所以.由（1）知，且，所以.因为当时，所以当时，.所以当时，都有.综上所述，. 36.正解：（），由题意得知上式对任意实数恒成立，解得.（）设.对任意，恒成立.方法一：则，解得，当时，由于，则恒有，当时，单调递减；当时，单调递增.，即恒成立，实数的取值范围是. 方法二： 令，解得. 37.(1) ，. 此两式相减，得，化简得.又，是公比为，首项为的等比数列.() . 又时，通项公式 （2）是正整数，.又按从小到大顺序调整后可以构成等差数列，所以公差.若，解得. 于是，. 若，此时方程无解，即不符合题意.若，解得. 于是，. 综上，若，则；若，则.(3) 因为，若，则.由，即对一切正整数成立，故. 这与是正整数矛盾.所以，此时不存在满足条件的.若，则.由，即对一切正整数成立，得.所以，.综上，可知存在满足条件的正整数，且的最大值为40. 38.（i）由已知可得：=，由已知，.所以.由，由.的增区间为，减区间为 .（ii） 对于任意，总存在， 使得，.由（i）知，当时，取得最大值.对于，其对称轴为,当时，从而；当时，, ，从而.综上可知： . 39.（1）证明： a+b+c=1，a、b、c(0，+) ， alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b) =f(a) 那么f (a) = log3a-log3(1-a-b) ，当a(0，) 时f (a) 0， f(a) 在(0，上递减，在，1) 上递增； f(a) f() =(1-b) log3+ blog3b，记g(b) = (1-b) log3+ blog3b，得：g(b) = log3b-log3，当b(0，) 时g(b) 0， g(b) 在(0，) 递减，在(，1) 上递增； g(b) g() =-1。alog3a+blog3b+clog3c-1当a=b=c=时等号成立。（2）证明：n=1时，+=1， 0(i=1,2, 3) ，由(1) 知+-1成立，即n=1时，结论成立。设n=k时结论成立，即+=1， 0(i=1,2, 3, , 3k) 时，+-k.那么，n=k+1时, 若+=1， 0(i=1,2, 3, , 3k+1) 时，令+=t，则+=1，由归纳假设：+-k. +-(1-t) (1-t) -k(1-t).+-k(1-t) + (1-t) (1-t).(1)设+=s，则+=t-s，+=1，由归纳假设：+-k.+-k(t-s) + (t-s) (t-s) . (2)+=s，+=1；由归纳假设同理可得：+ -ks+ ss . (3) 将(1) 、(2) 、(3) 两边分别相加得：+-k(1-t) +(t-s) +s+ (1-t) (1-t) + (t-s) (t-s) + ss 而(1-t) +(t-s) +s=1，(1-t) 0，(t-s) 0，s 0。 (1-t) (1-t) + (t-s) (t-s) + ss-1。-k(1-t) +(t-s) +s+ (1-t) (1-t) + (t-s) (t-s) + ss-k-1=-(k+1) 。+-(k+1) 。 n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。 40.（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a， a0，f（x）=ex-a=0的解为x=lnaf（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， f（x）0对一切xr恒成立，-alna0，alna0，amax=1（）设是任意的两实数，且，故，不妨令函数，则上单调递增.，恒成立.=.故. 9分（）由（1） 知exx+1，取x=, 得1- 即 .累加得( 故存在正整数a=2使得. 41.（i）设点， 因为，所以，所以， 所以.又,所以， 即动点e到两定点a、b的距离之和为常数6（）， 所以动点e的轨迹是以a、b为焦点，长轴长的椭圆， 所以，所以， 所以点e的轨迹c的方程是.4分（ii）如图所示，设为曲线c上任一点， 由题意知, 所以o、a、p、b在以op为直径的圆上， 其方程是， ab是圆o和以op为直径的圆的公共弦， 将这两个圆的方程相减得直线ab所在的直线方程是，所以，所以，所以mon面积的最小值是. 12分 42.（i）方案一的建设费用， 方案二的建设费用， ， 如果仅考虑建设费用，方案一更经济. 5分（）由题意得，运行年后， 方案一的总费用为，方案二的总费用为，当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时，,整理得，又xl +x2 =8， ， ， 又， ， 当或5时，即经过3年，方案二的总费用等于方案一的总费用， 当时，即只需经过4年，方案二的总费用就小于方案一的总费用. 14分43.（1），-1分由正弦定理，得，-2分又，即，-3分abc是直角三角形.-4分(2)由（1）知，=，-6分又，即的取值范围是.-8分(3)，由正弦定理，得，-9分设=，则,，-10分，设，则恒成立，在上是减函数，的值域是，即，的取值范围为.-12分 44.()因为，所以不具有性质p.因为，所以具有性质p. 4分()因为集合具有性质p：即对任意的，使得成立，又因为，所以，所以，所以，所以，6分将上述不等式相加得，所以. 9分()首先注意到，由（）知，又有性质p知数集a的元素都是整数.则可以设满足性质p的集合，或，此时集合a中所有元素的和为147.下面，我们证明147是集合a中所有元素和的最小值.假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）.第一步：首先说明集合中至少有个元素: 由()可知，又，所以，所以.第二步：证明，：先证明：若，则，设，为了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质p，对，有，使得，显然, 所以，而此时集合中至少还有5个不同于的元素，从而，矛盾，所以，进而，且；同理可证，.即.则.根据性质p，有，使得，我们需要考虑如下几种情形：, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，此时；，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，此时；，此时集合的和是147；，此时集合的和是147. 综上所得，数集中所有元素的和的最小值是147. 14分45.()当时，定义域是.，令，解得或，函数的单调增区间为.4分() ，当时，当时，函数在区间上是增函数，此时.当时，当时，函数是减函数；当时，函数是增函数.此时.当时，当时，函数是减函数，综上所得，9分(iii)设函数，.，函数在区间是减函数，即，.又=，.即. 14分 46.（）（1），.即.-（3分）（2）由（1）得 .数列是以1 为公差的等差数列. -（5分）（），.，.（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明：假设则，当时，与（）矛盾.所以假设不成立，所以.假设则，当时，与（）矛盾.所以假设不成立，所以.，. 又，是公比为的等比数列.假设，则，则.又，即，解得.中至少有两项相同，这与矛盾，所以假设不成立，. .-（10分） 47.(1)函数在处取得极值，即解得经检验符合题意，. 3分（2）由（1）知，则则方程，即为，即设函数则由题意得函数在区间上恰有两个零点.令，解得，即函数在上是增函数；令，解得，即函数在上是减函数.解得 10分(3) ，.,令得,或(舍去), 令，解得，则函数在上是增函数；令，解得，则函数在上是减函数.当时，函数在上取得最大值是. ,即(当且仅当时,等号成立)，即.对任意正整数，设，则有即，对任意的正整数，不等式都成立. 14分 48.（）函数的定义域是. 2分令，得，. 又，所以令，解得；令，解得.函数在上是减函数，在上是增函数6分（）由题意可得，当时，（，且）.即，整理得，. 8分又，且，恒成立，又，整理得. 11分令函数，又，函数在上是减函数，在上的最大值为，所以. 13分 49.（）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以3分（）结论是.证明如下：要使原不等式成立，只需因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数，是的表示法中的表示法数同样，把一个的的表示法中的加上1，就可得到一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应.所以有 9分（）由第（）问可知：当正整数时，.又所以. ，将以上所得等式相加得.所以，即13分50.证明：（1）令，则，函数为r增函数，当时，又常数为方程的实数根，当时，即当时，总有成立.（2），又，在是增函数，由（1）知：，即成立.51.（），.，=常数，数列是等比数列. 4分（ii）由（）知, 等比数列的公比，且首项为，,.,当时，, , ,以上个等式相加得，.又，. 10分（）由（ii）得，假设存在正整数,使得数列的前项的和.则数列中，（含项）前的所有项的和是：.当时，其和是,当时，其和是.又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数,所以当时，即存在正整数=988,使得数列的前项的和. 52.f (x)=+x-(1+a)=. (1)当a0时,若0则f (x)1,则f (x)0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+);当0时,随着x的变化, f (x),f(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,1)1(1,+)f (x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+),单调递减区间是(a,1). 当a=1时,f (x)=0,函数f(x)的单调递增区间是(0,+);当a1时,同理可得,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+),单调递减区间是(1,a). (4分)(2)由于f(1)=-a,显然当a0时, f(1)1时,可以变换为=,(9分)在上面不等式中分别令x取m+1,m+2,m+n,然后不等式两边再相加得+=+=-=. 所以+. (12分) 失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在证明第(3)问时,没有注意到(2)的结论. 53.(1)f (x)=-(2分)=,因为f(x)在(0,+)上为单调增函数,所以f (x)0在(0,+)上恒成立. 即x2+(2-2a)x+10在(0,+)上恒成立. 当x(0,+)时,由x2+(2-2a)x+10得2a-2x+. 设g(x)=x+,x(0,+),则g(x)=x+2=2,当且仅当x=,即x=1时,g(x)有最小值2. 所以2a-22,即a2. 所以a的取值范围是(-,2. (6分)(2)证明:要证,只需证,接下来只需证ln-0,(8分)设h(x)=ln x-,由(1)知h(x)在(0,+)上是单调增函数,又10,所以hh(1)=0,即ln-0成立. 所以0导致a的范围求错. (2)证明第(2)问时没有用前面得到的结论,或没有将所求证不等式化成前面所研究的函数形式. 54.(1)设抛物线p的方程为y2=2px(p0),(2分)a(x1,y1),b(x2,y2),h(4,0),=(x1-4,y1),=(x2-4,y2). a(x1,y1),b(x2,y2),h(4,0)在一条直线上,(x1-4)y2-(x2-4)y1=0. a(x1,y1),b(x2,y2)都在抛物线p上,x1=,x2=,y2-y1=0,即(y1-y2)=-4(y1-y2). (4分)y1y2=-16,y1y2. -=-4,p=2. 抛物线p的方程为y2=4x. (6分)(2)存在. f是抛物线p的焦点,f(1,0),设m(x,y),且y2=4x,则mf的中点为n,|mf|=1+x. (8分)直线x=a与以mf为直径的圆相切的充要条件是n到直线x=a的距离等于,即=,ax=a2-a. (10分)对于抛物线p上的任意一点m,直线x=a都与以mf为直径的圆相切,关于x的方程ax=a2-a对任意的x0都要成立. 解得a=0. 存在常数a,并且仅有a=0,满足“当点m在抛物线p上运动时,直线x=a都与以mf为直径的圆相切”. (12分) 失分警示:本题考查了抛物线方程、直线和圆的位置关系,考查了运算求解能力,不能正确理解题意和正确的坐标运算是导致失分的因素. 55.()据条件得2+n(n+1)2+.当n=1时,由2+22+,即有2+2+,解得a1,因为a1为正整数,故a1=1.当n=2时,由2+62+,解得8a310,所以a3=9.()解法一:由a1=1,a2=4,a3=9,猜想:an=n2.下面用数学归纳法证明:当n=1,2时,由()知an=n2均成立;假设n=k(k2)成立,即ak=k2,则n=k+1时,由得2+k(k+1)2+ak+1(k+1)2-ak+1(k+1)2+.因为k2时,(k3+1)-(k+1)2=k(k+1)(k-2)0,所以(0,1.k-11,所以(0,1.又ak+1n*,所以(k+1)2ak+1(k+1)2.故ak+1=(k+1)2,即n=k+1时,an=n2成立.综上可知,对任意nn*,an=n2.解法二:由a1=1,a2=4,a3=9,猜想:an=n2.下面用数学归纳法证明.(i)当n=1,2时,由()知an=n2均成立;(ii)假设n=k(k2)成立,即ak=k2,则n=k+1时,由得2+k(k+1)2+,即2+2+.由左式,得,即(k-1)ak+1k3+k2-k,因为两端为整数,则(k-1)