高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题课件 理.ppt

3 2导数的应用 第3课时导数与函数的综合问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一导数与不等式有关的问题 命题点1解不等式 例1设f x 是定义在r上的奇函数 f 2 0 当x 0时 有0的解集是a 2 0 2 b 2 0 0 2 c 2 2 d 2 0 2 答案 解析 又 2 0 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 命题点2证明不等式例2 2016 全国丙卷 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 解答 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 当x 1 时 1 x 证明 由 1 知 f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 3 设c 1 证明 当x 0 1 时 1 c 1 x cx 证明 由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 例3已知函数f x 命题点3不等式恒成立或有解问题 解答 1 若函数f x 在区间 a a 上存在极值 求正实数a的取值范围 令f x 0 得x 1 当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 时 f x 0 f x 单调递减 几何画板展示 2 如果当x 1时 不等式f x 恒成立 求实数k的取值范围 解答 所以h x h 1 1 所以g x 0 所以g x 为单调增函数 所以g x g 1 2 故k 2 所以实数k的取值范围是 2 引申探究本例 2 中若改为 存在x0 1 e 使不等式f x 成立 求实数k的取值范围 解答 思维升华 1 利用导数解不等式的思路已知一个含f x 的不等式 可得到和f x 有关的函数的单调性 然后可利用函数单调性解不等式 2 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 3 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪训练1 2015 福建 已知函数f x lnx 1 求函数f x 的单调递增区间 解答 则有f x 2 证明 当x 1时 f x x 1 证明 当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 故当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 f x x 1 令f x f x x 1 x 0 3 确定实数k的所有可能取值 使得存在x0 1 当x 1 x0 时 恒有f x k x 1 解答 由 2 知 当k 1时 不存在x0 1满足题意 当k 1时 对于x 1 有f x x 1 k x 1 则f x k x 1 从而不存在x0 1满足题意 当k 1时 令g x f x k x 1 x 0 由g x 0 得 x2 1 k x 1 0 当x 1 x2 时 g x 0 故g x 在 1 x2 内单调递增 从而当x 1 x2 时 g x g 1 0 即f x k x 1 综上 k的取值范围是 1 题型二利用导数研究函数零点问题 例4 2016 福州模拟 已知函数f x 2 a x 2 1 lnx a 1 当a 1时 求f x 的单调区间 解答 当a 1时 f x x 1 2lnx 由f x 0 得x 2 由f x 0 得0 x 2 故f x 的单调递减区间为 0 2 单调递增区间为 2 2 若函数f x 在区间 0 上无零点 求a的最小值 解答 几何画板展示 f x 2 a x 1 2lnx 令m x 2 a x 1 x 0 h x 2lnx x 0 则f x m x h x a 2 4ln2 2 4ln2 a 2 由 得a 2 4ln2 amin 2 4ln2 思维升华 利用导数研究方程的根 函数的零点 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而画出函数的大致图象 然后根据图象判断函数的零点个数 跟踪训练2 2016 郑州模拟 定义在r上的奇函数y f x 满足f 3 0 且不等式f x xf x 在 0 上恒成立 则函数g x xf x lg x 1 的零点个数为a 4b 3c 2d 1 答案 解析 定义在r上的奇函数f x 满足 f 0 0 f 3 f 3 f x f x 当x 0时 f x xf x 即f x xf x 0 xf x 0 即h x xf x 在x 0时是增函数 又h x xf x xf x h x xf x 是偶函数 当x 0时 h x 是减函数 结合函数的定义域为r 且f 0 f 3 f 3 0 可得函数y1 xf x 与y2 lg x 1 的大致图象如图 由图象可知 函数g x xf x lg x 1 的零点的个数为3 题型三利用导数研究生活中的优化问题 例5某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解答 因为当x 5时 y 11 所以 10 11 a 2 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 由 1 可知 该商品每日的销售量为y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f x x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 当x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 1 分析实际问题中各个量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 若函数在开区间内只有一个极值点 那么该极值点就是最值点 4 回归实际问题作答 令y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于当040时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 答案 解析 40 典例 12分 设f x xlnx g x x3 x2 3 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 求满足上述条件的最大整数m 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 一审条件挖隐含 审题路线图系列 规范解答 审题路线图 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min m 求得m的最大整数值 2 对任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分离参数aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值 a h x max h 1 1 a 1 返回 解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 2分 由g x x3 x2 3 得g x 3x2 2x 3x x 令g x 0 得x 则满足条件的最大整数m 4 5分 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 可知h x 在区间 2 上是减函数 又h 1 0 所以当10 10分 即函数h x x x2lnx在区间 1 上单调递增 在区间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 12分 返回 课时作业 1 已知f x g x g x 0 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 且f 3 0 则 0的解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a 3 3 b 3 0 0 3 c 3 0 3 d 3 0 3 当x 0时 f x g x f x g x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 兰州模拟 已知定义在r上的可导函数f x 的导函数为f x 满足f x f x 且f x 2 为偶函数 f 4 1 则不等式f x ex的解集为a 2 b 0 c 1 d 4 答案 解析 f x 2 为偶函数 f x 2 的图象关于x 0对称 f x 的图象关于x 2对称 f 4 f 0 1 又 f x f x g x 0 x r 函数g x 在定义域上单调递减 f x 0 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 方程x3 6x2 9x 10 0的实根个数是a 3b 2c 1d 0 答案 解析 设f x x3 6x2 9x 10 则f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 由此可知函数的极大值为f 1 6 0 极小值为f 3 10 0 所以方程x3 6x2 9x 10 0的实根个数为1 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是a 5 3 b 6 c 6 2 d 4 3 答案 解析 令g t 3t3 4t2 t 在t 1 上 g t 0 g t 单调递减 所以g t max g 1 6 因此a 6 同理 当x 2 0 时 得a 2 由以上两种情况得 6 a 2 显然当x 0时也成立 故实数a的取值范围为 6 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 若商品的年利润y 万元 与年产量x 百万件 的函数关系式 y x3 27x 123 x 0 则获得最大利润时的年产量为a 1百万件b 2百万件c 3百万件d 4百万件 答案 解析 y 3x2 27 3 x 3 x 3 当00 当x 3时 y 0 故当x 3时 该商品的年利润最大 6 2017 合肥质检 直线x t分别与函数f x ex 1的图象及g x 2x 1的图象相交于点a和点b 则ab的最小值为a 2b 3c 4 2ln2d 3 2ln2 答案 解析 由题意得 ab ex 1 2x 1 ex 2x 2 令h x ex 2x 2 则h x ex 2 所以h x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以h x min h ln2 4 2ln2 0 即ab的最小值是4 2ln2 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知函数f x 若 f x ax 则a的取值范围是a 0 b 1 c 2 1 d 2 0 答案 解析 由 1 得x x 2 ax在区间 0 上恒成立 当x 0时 a r 当x0 则h x a x 0 可知h x 为减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a 0时 h x 0 故h x 为增函数 所以h x h 0 0恒成立 当a 1时 因为 0 1 所以h x a 0 故h x 为减函数 所以h x 0 满足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如a 时 取x0 4 则h x0 ln5 2 0成立 可知0 a 1时 不符合题意 故a 0 由 可知a的取值范围是 2 0 8 若函数f x 2x sinx对任意的m 2 2 f mx 3 f x 0恒成立 则x的取值范围是 答案 解析 3 1 因为f x 是r上的奇函数 f x 2 cosx 0 则f x 在定义域内为增函数 所以f mx 3 f x 0可变形为f mx 3 f x 所以mx 3 x 将其看作关于m的一次函数 则g m x m 3 x m 2 2 可得当m 2 2 时 g m 0恒成立 g 2 0 g 2 0 解得 3 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 郴州模拟 定义在r上的函数f x 满足 f x f x 1 f 0 4 则不等式exf x ex 3 其中e为自然对数的底数 的解集为 答案 解析 0 设g x exf x ex x r 则g x exf x exf x ex ex f x f x 1 f x f x 1 f x f x 1 0 g x 0 y g x 在定义域上单调递增 exf x ex 3 g x 3 又 g 0 e0f 0 e0 4 1 3 g x g 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0且x0 0 则a的取值范围是 答案 解析 2 当a 0时 f x 3x2 1有两个零点 不合题意 故a 0 f x 3ax2 6x 3x ax 2 令f x 0 得x1 0 x2 若a 0 由三次函数图象知f x 有负数零点 不合题意 故a 0 由三次函数图象及f 0 1 0知 f 0 又a 0 所以a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 济南模拟 已知f x 1 x ex 1 1 求函数f x 的最大值 解答 f x xex 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 0 时 f x 0 f x 单调递减 所以f x 的最大值为f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设g x x 1且x 0 证明 g x 1 证明 由 1 知 当x 0时 f x x 设h x f x x 则h x xex 1 当x 1 0 时 0h 0 0 即g x 1且x 0时总有g x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 东北师大附中 吉林一中等五校联考 已知函数f x ex ax a a r且a 0 1 若f 0 2 求实数a的值 并求此时f x 在 2 1 上的最小值 解答 由f 0 1 a 2 得a 1 易知f x 在 2 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 所以当x 0时 f x 在 2 1 上取得最小值2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1