天气诊断分析5.doc

第四章 垂直速度的计算 垂直速度是一个在一般条件下不能直接测量,却又非常重要的物理量。垂直上升运动可以使空气质点从未饱和状态达到饱和状态,水汽凝结后可产生降水。它是预报降水,尤其是暴雨、冰雹等灾害性天气的重要因素之一。因此，近年来人们对计算垂直速度的方法作过多种试验和结果对比。由于垂直速度计算方面的内容较多，因此单独编为一章进行叙述。本章介绍几种常用的计算垂直速度的方案，并简述各种方案的优、缺点。4.1 个别变化法对任何一种气象要素的个别变化,可以写成 求解w,可以写成 (4.1)这种方法中，d/dt项不易确定。 如果用比湿q来计算垂直速度时，设大气中没有蒸发、凝结过程,则dq/dt=0，有 (4.2) 根据上式，已知比湿的局地变化、湿度的平流和比湿的垂直梯度,就可以计算出大气的垂直速度。 湿度变化较大，计算也麻烦，一般常取湿度的个别变化来计算大气中的垂直速度。根据热力学第一定律，当大气处于绝热状态时，可以写成 (4.3)将代入上式,则展开可以写成，移项后 (4.4)求出 (4.5)上式中 用(4.5)式计算大气垂直速度时,只要知道固定地点的温度局地变化和温度平流，再知道实际温度递减率就可以计算出大气中的垂直速度。 对于干空气来讲，位温具有保守性，它比温度属性更好些、位温的个别变化为 (4.6)则有 (4.7)因为，在等压面上可以写成,同时考虑，代入(4.7)得： (4.8) 从上式可知在等压在上计算垂直速度的公式与(4.5)式是一样的。在具体计算时，温度的局地变化可以从该地连续两次温度的观测中取得，温度平流项可以从高空图中求出，用探空曲线或两个等压面的温度求出实际的温度递减率。将这些项代入(4.5)式后,即可计算出垂直速度。下面举例。 例1某地1974年1月1日08时850hPa层的温度为-10，1月2日08时850hPa的温度为-16，风向270，风速10m/s，以该地为中心,东、西各250km处的温度分别为-12和-21，1000hPa、700hPa的温度分别为0.5和-20.5，1000-700hPa的厚度为3000m，求该层的w。解 首先求出 其次从高空图上计算温度平流项。如果缺实测风,可用地转风代替。温度平流项可以写成第三步是求温度实际的递减率 最后将上述的数据代入公式,即 例2 假定大气绝热、无平流变化，观测到实际的温度递减率为0.6/100m，一天之内温度下降4.0，求大气的垂直速度为多少？解 已知 例3，其它条件与例2相同，但温度平流不为0，风向120，等温线与纬线平行，向北每500km温度降低4，风速为10m/s，求大气的垂直速度(见图4.1)。500km图4.1由温度平流求垂直速度解 首先计算温度平流 将上例的,和代入,则有 在求算大气垂直速度时,如果没有天气图,只有高空测风值,温度局地变化易求,温度平流计算则要麻烦些。这里介绍一种计算温度平流的方法。 根据下层风和上层风的关系可以计算温度平流。它们的关系为 (4.9)上式中: -代表上一层的风; -代表下一层的风; -代表这一层的热成风。如图4.2.OA为低层风的矢量;OB为高层的矢量;AB为这层的热成风。图4.2 热成风计算图 根据热成风的公式 (4.10)上式中:R-干空气气体常数；f-地转参数；-为下层高度的气压；-为上层高度的气压；-为该气层的平均温度梯度。 从(4.10式中求出 由此得到 (4.11)用个别变化法计算大气的垂直速度,都是假定在绝热条件下进行的,所以又称绝热法。其优点是计算简单;缺点在于绝热的假定与实际情况有出入,常常造成一定的误差。一般情况下对高层大气效果较好。4.2 动力学方法首先推导方程。P坐标中不考虑磨擦项、略去垂直变化项的水平运动为： (4.12)将(4.12)式的第二式作运算，第一式作运算，然后相减并利用涡度、散度的定义，得涡度方程如下： (4.13)将连续方程代入上式,则 (4.14)应用地转近似,涡度可写成,代入(4.14)式,则 (4.15)根据热力学第一定律状态方程及 (4.16)再应用状态方程和静力公式 (4.17)代入(4.16)式,则 (4.18)令 (4.19)叫大气稳定度参数,将它代入(4.18)式,则 (4.20)对(4.15)式运算，(4.20)式运算，相减消去局地变化项,则得方程 (4.21)这是一个椭圆方程,在一定条件下可以求解值。 方程(4.31)的右方各项,一般称为强迫函数项。换句话说，左方的是取决于右方三项。这几项对中纬度天气系统来讲都 是很重要的。当然,对不同的天气系统这三项的大小、重要程度是不会相同的。下边我们简单地叙述一下各项的物理意义。 (1) 被称为涡度平流项。它表示绝对涡度平流随高度变化项,也叫差动平流项。如果正涡度平流随高度增加(随气压减少)，则是上升气流，这也说明天气系统的垂直结构和系统发展之间的关系。 (2) 称为热力平流项。直观看起来不易理解。我们将还原一下。因为所以,.再代入静力学公式后,在等压面上,与T成正比,因此这项就是温度平流项。这反映了各等压面上温度平流分布与天气系统发展有着一定的关系。当然，这也反映了大气的斜压性。冷平流一般是下沉气流。冷平流中心与下沉运动中心基本是一致的。 在中纬气旋发展的例子里中常常发现在高空辐散槽的加深和地面气旋的发展是一致的。一般情况下气旋发展初期是准正压的，后来变为斜压的。这是由于冷空气下沉暧空气上升使大气中位能释放的一种形式。 (3) 非绝热 项的空间分布是相当复杂的问题。一般情况下常常将它忽略下计。但是在有的问题中又不能这样简化。例如，当极地冷气团移到暧洋面上时。洋面有热量向大气输送。又如当气旋移到暧洋面上来时，常常有所发展，经过陆地就有减弱的趋势；当进入暧洋面时又有所发展。说明有热量从洋面向大气输送。这种作用称为感热输送。另外还有一个热源,即潜热 作用。当潮湿空气上升发生凝结时,从而产生凝结潜热,这个热量加给大气,使大气受热后加剧上升运动。在研究夏季暴雨时,这种加热作用是不容忽视的。 大气加热方式可分为两种,一种叫天气尺度凝结加热;另一种叫对流尺度凝结加热。对在这两种加热下计算值是不一样的。 第一种,天气尺度凝结加热下对的计算。天气尺度的上升运动使未饱和空气达到饱和状态，凝结释放潜热。 这里引入稳定度参数,若是干空气,有 (4.22)对湿空气，有 (4.23)上式中:叫干空气稳定度参数;叫湿空气稳定度参数；(相当湿球位温)；是饱和比湿。 大气稳定度可分为以下几种情况: 0, 0 绝对稳定 0, 0 条件不稳定 0, 0。在计算时,设为除了潜热项外的其它各项产生的垂直速度。为潜热产生的垂直速度。这时方程可写成 (4.25)求出后利用上式可以求出 在低纬度地区的夏季暴雨并不是产生在大气为绝对稳定的情况下,而常常是产生于的条件不稳定的情况下。这时方程不能求解。在一般情况下,通常是采用参数化的方案。这里介绍一种所谓次网格尺度加热的参数化的方法。就是说将加热函数当作天气尺度所引起的水汽净辐合量的函数。对于单位面积的气柱，水汽的辐合 (4.26)下标B表示摩擦层顶,T表示大气上界。对于一个气柱来讲,水汽辐合可以分成两部分之和，即水来方向的辐合()和通过摩擦层顶部的水汽垂直输送()，其相应的加热函数可以写成 (4.27)是一个无量纲系数。上式的意义是接近于饱和的潮湿空气，在上升运动的作用下，水汽凝结成水滴，放出相变潜热。其中的一部分加热大气，则方程可写成 (4.28) 如果是绝热的大气,则(4.20)式变得更为简单些 (4.29) 无论是(4.21)式或(4.29)式都没有包括时间变化项，没有预报意义，只是表示各种物理量在空间分布的制约关系，所以常称诊断方程。由于(4.28)式是一个椭圆方程，在一般的情况下求解析解是困难的，必须采用数值解法。 (4.29)式右端是x,y,p的已知函数，令 (4.30)(4.29)式可改写成 (4.31) 下面介绍两种数值解法。(1) 在解方程时，我们引入郭晓岚做的关于的垂直分布的假定。他指出，在天气研究中已发现在近地面值相当小，向上增加，在对流层中部达到最大值，再向上随高度的增加而减小，到大气层顶为零。他同时指出可用一个函数表示。根据以上的假定,我们不难将(4.31)式中的求出来 (4.32)将(4.32)式代入(4.31)式,则 (4.33)令还可以写成 (4.34)这样简化后，消去了的垂直差分，在解方程时比较方便。 数值解时，一般常用有限差分代替微分，在水平方向上用五点差分格式，即 (4.35) (4.36)取，一起代入(4.34) (4.37)将(4.37)式两边都乘以，并令，得 (4.38)在做诊断分析时，面上有许许多多的网格点，有多少个网格点就有多少个方程，因此要解数目众多的方程组。网格点少的可以手算。最实用的方法叫张弛法，用这种方法求解效果也比较好。 张弛法实际上就是一种迭代法。因为我们在数值解微分方程时不可能没有误差，只是要求误差在许可范围内就可以了。 在求解(4.38)式中，迭代次数用(0,1,2,3,.n)表示。在第次的估计值在每个网格点上应当接近，当时，的估计值在每个网格点上应当接近的真值。 在开始求解时所用初始场用0代替，将初始场代入(4.37)式，则有 (4.39)上式经过计算后对每一点，两边不等，有一个差值，叫做残差。因此有 (4.40) 对于任意点(i,j)，第一次迭代用下式定义 (4.41)用(4.41)式的代入(4.40)式，使其它值不变就能使该点残差值为零。同时可求出组成的一个新估计量的场。类似做下去，第m+1次的估计值可以用下式表示 (4.42)这样，利用前一次场的值去计算后一次场的的各点值，直到满足要求允许误差为止。这种方法叫同时张弛法。掌握了这种方法后,对顺张弛法和超张驰法也就容易掌握了。(2) 利用(4.31)式解时，除了考虑水平方向变化外,还要考虑随P的变化时,其数值解法,就比较麻烦,但还是可以求解的。 在水平方向差分与(4.35)-(4.36)式是一样的。在垂直方向上,采用下列差分格式 (4.43)上式中K代表层次的号数。令 (4.31)式变为 (4.44)令 ，上式可写成 (4.45)将水平的变成差分的格式并进行整理后,得 (4.46)用张弛法可以求解 (4.47) 实践证明，用张弛法不如用超张弛法。所谓超张弛法就在残差上乘以一个系数(一般在1-2之间)。上式可以写成 (4.48)就是超张弛系数，究竟取什么值好，对于一个固定方程来讲，可以用数值试验方法确定最优的值。 以上两种方法总的步骤可以归纳为如下几点：1) 首先要根据所处理的问题确定要计算的范围和网距，水平用i,j表示，垂直用K表示。2) 确定边界条件，例如大气上界=0，大气下界地面也可以为零；有时也可用地面爬坡垂直速度和地面摩擦垂直速度作为地面的也可以。3) 计算出s、和的值，s由(4.22)或(4.23)计算，。4) 用一般差分的方法计算F(x.y.p)。5) 用迭代的方法,也可以张弛法进行运算。4.3 运动学方法 4.3.1 计算的连续性方程原始方案 如果我们直接应用连续性方程积分法而计算垂直速度，则可谓“原始方案”。P坐标系中的连续性方程为 (4.49)当对(4.52)式从P0向上积到P1时则得： 或 (4.50)假定在p-p之间随p呈线性变化，并令 (4.51)将(4.51)代入(4.50)式得 或 (4.52)各层散度的具体计算。可按第三章介绍的方法进行。依照(4.52)式，我们可得出如下计算垂直速度的递推公式 (4.53)其中，分别为第k层和第k-1等压面上的垂直速度，并且，在垂直方向可取等距值，即常数。 由(4.53)式可知，当DP给定后，已知，则和计算就变成的计算了。由4.52)式知，若给定=0，即地面垂直速度为零，则可求得，则按照(4.53)式可自下向上求得任意等压面上的垂直速度。从理论上讲，上述方法完全是可以的。但实际上不能这样简单地递推。一般情况下，大气柱中的质量可认为是定常的。如果在大气的下层出现辐散，那么高层就会有辐合来补偿原理，这一原理的数学表达式为 (4.54)式中为地面气压，上下边界条件为 这两个边界条件可以说是对值在物理上的约束。然而用(4.53)式计算的结果表明，仅在对流层中、下部较好，而高层较差。值的可信程度是越向高层越差。分析其问题的原因，并不在于连续方程本身。连续方程在推导过程中不曾作过什么假设，方程本身是严谨的。那么原因可能有两方面。其一，的计算是对散度进行垂直积分，这样风场分析上的误差和计算的误差是自下而上逐步累积的，到了高层这种误差可能较大；其二，测风本身的精确度也是随高度而降低的，这是因为仪器本身的局限，高层风速较大以及探测的持续时间长(气球所在的高度就是用放球时间来间接计算的)等几方面的因素,高层的散度也就包含较大的误差。这些都导致计算值的精度随高度降低，以致到了气柱项部，值还很大，根本无法满足上边界条件。因此需要对垂直的计算进行修正。4.3.2 垂直速度计算的修正方案 修正方案就是对各层的散度做调整，在垂直速度满足上下边界条件的情况下，使原始计算值最高层得到最大修正。 为了便于说明问题,我们由(4.53)式作1到k的求和，得如下： (4.55)根据实际资料分析，散度的修正量应是气压的线性函数。设修正后的垂直速度、散度分别为w、D，则有 (4.56)不妨取，则有： (4.57)w、D之间也应满足连续方程，即： (4.58)写成差分形式为： (4.59) 进行求和，同样可得： (4.60)将(4.57)代入(4.60)有： (4.61)在地面层垂直速度不作修正，即：；在最高层时有