湖北省黄冈市高一数学下学期期末试卷（含解析）.doc

湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）ab7c6d2（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab0，则a2abb2c若ab0，则d若ab0，则3（5分）已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：（2a1）xay1=0平行，则a的值是（）a0或1b1或c0或d4（5分）已知x2，则函数y=的最小值是（）a5b4c8d65（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abcd76（5分）关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是（）abcd7（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=（）a30b60c120d1508（5分）已知点a（1，3），b（2，1），若直线l：y=k（x2）+1与线段ab没有交点，则k的取值范围是（）abk2c，或k2d9（5分）设等差数列an满足=1，公差d（1，0），当且仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）a（，）bc（，）d10（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）a有最大值4bab有最小值c有最大值da2+b2有最小值11（5分）点m（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0恒成立，则的取m值范围是（）am32bm3cm0dm1212（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱线长为1，线段b1d1上有两个动点e，f，且ef=，则下列结论中错误的是（）aacbebef平面abcdc三棱锥abef的体积为定值d异面直线ae，bf所成的角为定值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置.13（5分）经过点p（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是14（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是15（5分）abc中角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=60，a=，b=x若满足条件的三角形有两个则x的范围是16（5分）已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|1xb（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：0（c为常数）18（12分）设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nn*，求bn的前n项和tn19（12分）abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（1）求a，c；（2）若sabc=，求a，c20（12分）已知直线方程为（2m）x+（2m+1）y+3m+4=0（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于ab两点，求aob面积的最小值及此时直线的方程21（12分）a、b两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地已知从a仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从b仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元/万个问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小值是多少？22（12分）已知几何体abced的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积v的大小；（2）求异面直线de与ab所成角的余弦值；（3）求二面角aedb的正弦值湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）ab7c6d考点：等比数列 分析：由数列an是等比数列，则有a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10解答：解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选a点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想2（5分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab0，则a2abb2c若ab0，则d若ab0，则考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型分析：选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果解答：解：a，当c=0时，有ac2=bc2 故错b 若ab0，则a2ab=a（ab）0，a2ab； abb2=b（ab）0，abb2，a2abb2 故对c 若ab0，取a=2，b=1，可知，故错d 若ab0，取a=2，b=1，可知，故错故选b点评：本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法3（5分）已知直线l1：x+2ay1=0，与l2：（2a1）xay1=0平行，则a的值是（）a0或1b1或c0或d考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 专题：计算题；分类讨论分析：先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a0时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值解答：解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=1，显然两直线是平行的当a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=综上，a=0或，故选：c点评：本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验4（5分）已知x2，则函数y=的最小值是（）a5b4c8d6考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据分式函数的特点，进行整理，结合基本不等式的性质即可得到结论解答：解：y=（x2）+，x2，x20，则由基本不等式可得y=（x2）+，当且仅当x2=，即x2=2，解得x=4时取等号，故函数的最小值为4，故选：b点评：本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的特点，结合基本不等式是解决本题的关键5（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abcd7考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个全等的三棱锥，由此求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为2的正方体，在相对的两个顶点处各截去一个直三棱锥，如图所示；该几何体的体积为232121=故选：a点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目6（5分）关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是（）abcd考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案解答：解：若m，n且，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故错误；若m，n且，则m，n一定垂直，故正确；若m，n且，则m，n一定垂直，故正确；若m，n且，则m，n可能相交、平行也可能异面，故错误故选d点评：判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来7（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=（）a30b60c120d150考点：余弦定理的应用 专题：综合题分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得a解答：解：sinc=2sinb，c=2b，a2b2=bc，cosa=a是三角形的内角a=30故选a点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题8（5分）已知点a（1，3），b（2，1），若直线l：y=k（x2）+1与线段ab没有交点，则k的取值范围是（）abk2c，或k2d考点：两条直线的交点坐标 专题：直线与圆分析：由已知条件画出图象并求出直线l与线段ab相交的条件，进而即可求出答案解答：解：如图所示：由已知可得kpa=，由此可知直线l若与线段ab有交点，则斜率k满足的条件是，或k2因此若直线l与线段ab没有交点，则k满足以下条件：，或k2故选c点评：熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键9（5分）设等差数列an满足=1，公差d（1，0），当且仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）a（，）bc（，）d考点：数列与三角函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出sin（a3a6）=1，或sin（a3+a6）=0，由仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，推导出由此能求出该数列首项a1的取值范围解答：解：等差数列an满足=1，（sina3cosa6sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），sina3cosa6sina6cosa3=1，即sin（a3a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3a6）=1时，a3a6=3d（0，3），a3a6=2k+，kz，3d=，d=+（a1）n，且仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，=9，化为=故选：c点评：本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题10（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）a有最大值4bab有最小值c有最大值da2+b2有最小值考点：基本不等式 专题：计算题分析：由于 =2+4，故a不正确由基本不等式可得 a+b=12，可得 ab，故b不正确由于 =1+22，故 ，故 c 正确由a2+b2 =（a+b）22ab1=，故d不正确解答：解：正实数a，b满足a+b=1，=2+2+2=4，故有最小值4，故a不正确由基本不等式可得 a+b=12，ab，故ab有最大值，故b不正确 由于 =a+b+2=1+22，故有最大值为，故c正确a2+b2 =（a+b）22ab=12ab1=，故a2+b2有最小值，故d不正确故选：c点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题11（5分）点m（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xy+m0恒成立，则的取m值范围是（）am32bm3cm0dm12考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将不等式恒成立转化为求最值问题，即可得到结论解答：解：若2xy+m0总成立my2x总成立即可，设z=y2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点c（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=30=3，m3，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转换为求目标函数的最值是解决本题的关键12（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱线长为1，线段b1d1上有两个动点e，f，且ef=，则下列结论中错误的是（）aacbebef平面abcdc三棱锥abef的体积为定值d异面直线ae，bf所成的角为定值考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：利用证线面垂直，可证acbe；判断a正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断b正确；根据三棱锥的底面面积与ef的位置无关，高也与ef的位置无关，可判断c正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断d错误解答：解：在正方体中，acbd，ac平面b1d1db，be平面b1d1db，acbe，故a正确；平面abcd平面a1b1c1d1，ef平面a1b1c1d1，ef平面abcd，故b正确；ef=，bef的面积为定值ef1=，又ac平面bdd1b1，ao为棱锥abef的高，三棱锥abef的体积为定值，故c正确；利用图形设异面直线所成的角为，当e与d1重合时sin=，=30；当f与b1重合时tan=，异面直线ae、bf所成的角不是定值，故d错误；故选d点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置.13（5分）经过点p（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是x+2y1=0或x+3y=0考点：直线的截距式方程 专题：直线与圆分析：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a0时，a=2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程解答：解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点p（3，1），o（0，0），直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a0时，a=2b，此时直线l的斜率k=，直线l的方程为：y+1=（x3），整理，得x+2y1=0故答案为：x+2y1=0或x+3y=0点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解14（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是考点：球的体积和表面积；余弦定理；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题分析：设圆锥的半径为r，高为h，母线与轴所成角为，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2的余弦值即可解答：解：设圆锥的半径为r，高为h，母线与轴所成角为，则圆锥的高 h=rctg圆锥的体积 v1=r2h=r3ctg半球的体积 v2=r3v1=v2即：r3ctg=r3ctg=2cos2=故答案为：点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查计算能力，是基础题15（5分）abc中角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=60，a=，b=x若满足条件的三角形有两个则x的范围是（，2）考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由已知条件a的度数，a及b的值，根据正弦定理用x表示出sinb，由a的度数及正弦函数的图象可知满足题意abc有两个b的范围，然后根据b的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinb的范围，进而求出x的取值范围解答：解：由正弦定理得：，即，变形得：sinb=，由题意得：当b（60，120）时，满足条件的abc有两个，所以1，解得：x2，则a的取值范围是（，2）故答案为：（，2）点评：此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查16（5分）已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；压轴题分析：由累加法求出an=33+n2n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值解答：解：an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2+33=33+n2n所以设f（n）=，令f（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nn+，所以当n=5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|1xb（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：0（c为常数）考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax23x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（xc）（x2）0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；解答：解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax23x+2=0的两根，则，a=1，b=2（2）不等式等价于（xc）（x2）0，所以：当c2时解集为x|xc或x2；当c=2时解集为x|x2，xr；当c2时解集为x|x2或xc点评：该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键18（12分）设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nn*，求bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的公差为d（d0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（）由条件可知，n2时，=1（1）=，再由（）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得tn；解答：解：（）设等差数列an的公差为d（d0），a2，a5，a14构成等比数列，=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2an=1+（n1）2=2n1（）由已知，nn*，当n=1时，=；当n2时，=1（1）=，nn*由（），知an=2n1，nn*，bn=，nn*又tn=+，则tn=+两式相减，得tn=+（+）=，tn=3点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题19（12分）abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（1）求a，c；（2）若sabc=，求a，c考点：余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用 专题：计算题分析：（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（ba）=cosc可求出答案（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案解答：解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinccosacoscsina=coscsinbsinccosb，所以sin（ca）=sin（bc）所以ca=bc或ca=（bc）（不成立）即2c=a+b，c=60，所以a+b=120，又因为sin（ba）=cosc=，所以ba=30或ba=150（舍），所以a=45，c=60（2）由（1）知a=45，c=60b=75sinb=根据正弦定理可得即：a=s=acsinb=3+c2=12c=2a=2点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆20（12分）已知直线方程为（2m）x+（2m+1）y+3m+4=0（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于ab两点，求aob面积的最小值及此时直线的方程考点：点到直线的距离公式；恒过定点的直线 专题：计算题；转化思想分析：（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点q（3，4）到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于ab两点，设出直线的方程，求出a，b，然后求出aob面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程解答：（1）证明：直线方程为（2m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化为（2x+y+4）+m（x+2y+3）=0，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点（1，2）；（2）解：点q（3，4）到直线的距离最大，可知点q与定点（1，2）的连线的距离就是所求最大值，即=2（3）解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于ab两点，直线方程为y+2=k（x+1），k0，则a（，0），b（0，k2），saob=2+2+2=4，当且仅当k=2时取等号，面积的最小值为4此时直线的方程为2x+y+4=0点评：本题是基础题，考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想21（12分）a、b两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地已知从a仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从b仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元/万个问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小值是多少？考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：设从a仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元，建立约束条件，利用线性规划进行求解即可解答：解：设从a仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元那么需从b仓库调运（40x）万个到甲地，调运万个到乙地从而有，则z=12