2018-2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质作业苏教版.docx

2.4.2 抛物线的几何性质基础达标1设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程为_解析：当m0时，准线方程为x2，m8，此时抛物线方程为y28x；当m0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|_.解析：如图，过A作ADx轴于D. 在RtAFD中，AFD60.令FDm，则FA2m.ADm.根据抛物线的定义可知pm2m.mp.| p.答案：p4若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_解析：依题意，设点M(x，y)，其中x0，则有，由此解得x1，又该抛物线的准线方程为x，结合抛物线的定义，点M到该抛物线的焦点的距离等于1.答案：5直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x210x90，解得，和，AP10，BQ2，PQ8，梯形APQB的面积为48.答案：486. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为_m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(1，1)，代入抛物线方程得p，抛物线x2y，代入点(x，2)，得x，即水池半径最小为r(1)m，水池直径最小为2r(22)m.答案：227已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，A、B两点坐标为，AB2|p|.OAB的面积为4，2|p|4，p2.抛物线的标准方程为y24x.8. 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，kBC，直线BC的斜率为定值能力提升1等腰直角三角形OAB内接于抛物线y22px(p0)，O是抛物线的顶点，OAOB，则OAB的面积为_解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y212px1，y222px2，由OAOB，则xyxy，xx2px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0，x10，x20,2p0，x1x2，即A、B关于x轴对称故直线OA的方程为：yxtan 45，即yx.由，解得，(舍)或，故AB4p，等腰三角形OAB的面积为2p4p4p2.答案：4p22对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中能得出抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)解析：在两个条件中，应选择，则由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)；对于，由焦半径公式r16，p10，此时y220x，不符合条件；对于，2p5，此时y25x，不符合题意；对于，设焦点为，则由题意，满足1.解得p5，此时y210x，所以能使抛物线方程为y210x.答案：3某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x22py(p0)，过点(4，5)，162p(5)，2p，抛物线方程为x2y，x2时，y，相距为2时不能通行4(创新题)A，B为抛物线y22px(p0)上两点，O为原点，若OAOB，求证：直线AB过定点证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.因为OAOB，所以x1x2y1y20，则yy2px12px24p2x1x24p2y1y2，所以y1y24p2.因为yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，若x1x2，则，所以直线AB的方程为yy1(xx1)因为y2px1，所以yy1，所以yy1(x2p)，所以直