【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.1 综合法和分析法讲解与例题 新人教A版选修22.doc

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法问题导学一、综合法活动与探究1(1)已知xr，求证：cos8xsin8xsin 2xsin 4xcos 2x(2)如图，s为abc所在平面外的一点，sa平面abc，平面sab平面sbc，求证：abbc迁移与应用1已知tan()2tan ，求证：3sin sin(2)2如图，在五面体abcdef中，点o是矩形abcd的对角线的交点，平面cde是等边三角形，棱efbc且efbc(1)证明fo平面cde；(2)设bccd，证明eo平面cdf(1)综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反)，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法(2)应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题)，再依次由它得出一系列的命题(或判断)，其中每一个都是真实的(但它们不一定都是所需求的)，且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论，命题得证同分析法一样，并非一上来就能找到通往命题结论的思路，只有在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到二、分析法活动与探究2(1)如图，在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，且ph底面abc于点h求证：h是abc的垂心(2)已知函数f(x)x23，若ab0，求证：迁移与应用1已知a6，求证：2如图所示，已知四边形abcd是正方形，sa平面abcd，过a且垂直于sc的平面分别交sb，sc，sd于点e，f，g求证：aese(1)分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法就证明程度来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应该强调的一点是它不是由命题的结论去证明前提)因此，分析法是一种执果索因的证明方法这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法(2)应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确，各推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件)，才知道前面各步推理适当与否，从而找出证明的路子(3)当不知从何入手时，有时可以运用分析法去获得解析，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效，另外对于恒等式的证明，也同样可以运用(4)用分析法证“若p，则q”这个命题的模式是：为了证明命题q为真，这只需证明命题p1为真，从而有这只需证明命题p2为真，从而有这只需证明命题p为真而已知p为真，故q必为真可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法三、分析综合法活动与探究3在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)迁移与应用1若0x，求证：yy22已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论p若由p可以推出q成立，就可以证明结论成立命题“若p，则q”的推导过程可用框图表示为：用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有所区别在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的；而在分析法中，就应当用假定的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要a成立，就需先有b成立；如果有b成立，又只需c成立，这样从结论一直推到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才能确信它是真的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的，于是命题就被证明了答案：课前预习导学【预习导引】1综合法分析法2(1)已知条件某些数学定义、公理、定理所要证明的结论3(1)充分条件预习交流提示：(1)综合法和分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为，在综合法和分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理(2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证q只需证p”的形式表示，亦即只要p成立，就一定有q成立，因此p是q的充分条件，当然p是q的充分必要条件时也可以课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)对左边进行降幂变形，利用同角三角函数的基本关系式和二倍角公式进行证明(2)从条件出发，根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质进行证明证明：(1)左边cos8xsin8xsin 2xsin 4x(cos4xsin4x)(cos4xsin4x)sin 2x2sin 2xcos 2x(cos4xsin4x)(cos2xsin2x)sin22xcos 2xcos 2x(cos4xsin4x)sin22xcos 2xcos 2xcos 2x(sin4xcos4x2sin2xcos2x)cos 2x(sin2xcos2x)2cos 2x右边原等式成立(2)作aesb于点e平面sab平面sbc，平面sab平面sbcsb，ae平面sbc，aebcsa平面abc，bc在平面abc内，sabc又saaea，bc平面sabab在平面sab内，abbc迁移与应用1证明：tan()2tan ，即2sin cos()cos sin()又3sin 3sin()3sin()cos 3cos()sin 3sin cos()，sin(2)sin()sin()cos cos()sin 3sin cos()，3sin sin(2)2证明：(1)取cd的中点g，连结og，eg，如图所示，显然efog且efogbc，四边形foge是平行四边形foeg而eg平面cde，of平面cde，fo平面cde(2)由题意知efogbccd，而ecd是正三角形，egcdegef平行四边形foge是菱形，eofg(连结fg)又cdog，cdeg，cd平面oge而eo平面oge，cdeo而fg与cd相交，且eofg，故eo平面cdf活动与探究2思路分析：(1)要证h是abc的垂心，即证ah与bc垂直且bh与ac垂直，但是这两种垂直关系不易证明，故可用分析法处理(2)由于条件和结论之间的联系不明确，可用分析法证明证明：(1)要证h是abc的垂心，只需证bcah且achb，只需证bc平面pha且ac平面phb，只需证bcph且bcpa，acph且acpb因为ph底面abc，所以phbc，phac成立，故只需证bcpa且acpb即可，只需证pa平面pbc，pb平面pac，只需证papb且papc，pbpa且pbpc因为pa，pb，pc两两垂直，上式显然成立，所以原结论成立，即h是abc的垂心(2)要证明f，即证(a23)(b23)23，只需证a2b266，只需证a2b2，因此只需证2a22b2a22abb2，即证a2b22ab，只需证(ab)20，由于ab0，所以(ab)20显然成立，故原不等式成立迁移与应用1证明：要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a922a92，只需证，只需证(a3)(a6)(a5)(a4)，只需证1820因为1820显然成立，所以原不等式成立2证明：要证aese，只需证ae平面sbc，只需证aesc且aebc，只需证sc平面aefg(已知)，且bc平面sab要证bc平面sab，只需证bcsa且bcab，由sa平面abcd且abcd是正方形可知bcsa且bcab所以aese活动与探究3思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a，b，c之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可证明：由已知得x，y，即xy，从而2a要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1成立要证a1成立，只需证a1即可也就是证2abc而2a，则只需证bc成立即可，即b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20成立，上式显然成立，(a1)2(b1)(c1)迁移与应用1证明：0x，要证yy2成立，只需证yy2成立y0，只需证1y，即证1y21，即证y20 y20成立，原不等式成立2证明：要证明logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)由已知0x1，只需证明abc由公式0，0，0又a，b，c是不全相等的正数，abc即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立当堂检测1欲证成立，只需证()abcd答案：c解析：要证成立，只需证，因此只需证成立2命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”应用了()a分析法 b综合法c综合法与分析法结合使用 d间接证法答案：b解析：这是从已知的公式出发证得结论的，用了综合法3已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_答案：4解析：(xy) 1a9，即a80，解得a44已知函数f(x)sin(