高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用 1.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修22.ppt

1 3 3导数的实际应用 1 学会解决实际问题的基本方法 注意首先通过分析 思考 总结 联想 建立问题涉及的变量之间的函数关系式 然后根据实际意义确定定义域 2 学会利用导数求解实际问题 感受导数在解决实际问题中的作用 求实际问题中的最值的主要步骤 1 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的取值大小 最大 小 者为最大 小 值 名师点拨1 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去考虑 不符合实际意义的理论值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题时 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 做一做2 面积为s的所有矩形中 其周长最小的是 如何求解实际应用题 剖析 解应用题首先要在阅读材料 理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题 就是从实际问题出发 抽象概括 利用数学知识建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学模型进行分析 研究 得到数学结论 然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验 其思路如下 1 审题 阅读理解文字表达的题意 分清条件和结论 找出问题的主要关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 对结果进行验证评估 定性 定量分析 作出正确的判断 确定其答案 注意在实际问题中 有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 题型一 题型二 题型三 利用导数求实际问题的最小值 例题1 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 分析 根据题设条件构造函数关系 再应用导数求最值 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思解答一道应用题重点要过三关 事理关 需要读懂题意 知道讲的是什么事件 文理关 需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言 用数学式子表达数学关系 数理关 要求学生有对数学知识的检索能力 认定或构建相应的数学模型 完成由实际问题向数学问题的转化 进而借助数学知识进行解答 对于这类问题 往往因忽视了数学语言和普通语言的转换 从而造成了解决应用问题的最大思维障碍 题型一 题型二 题型三 利用导数求实际问题的最大值 例题2 如图 有一块半椭圆形钢板 其长半轴长为2r 短半轴长为r 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底ab是半椭圆的短轴 上底cd的端点在椭圆上 记cd 2x 梯形面积为s 1 求面积s以x为自变量的函数关系式 并写出其定义域 2 求面积s的最大值 分析 建立坐标系 求出椭圆方程 表示出梯形的面积 应用导数求最值 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 易错辨析 易错点 在运用导数解决实际问题的过程中 常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误 解决问题的主要措施为 在准确理解题意的基础上正确建模 在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解 题型一 题型二 题型三 1 把利润y表示为年产量的函数 2 年产量是多少时 工厂所得利润最大 例题3 某厂生产一种机器 其固定成本 即固定投入 为0 5万元 但每生产100台 需要增加可变成本 即另增加投入 0 25万元 市场对此产品的年需求量为500台 销售收入 单位 万元 函数为 题型一 题型二 题型三 错因分析 实际问题中 该厂生产的产品数量不一定在500台之内 含500台 应有x 5的情况 错解忽视了此种情况 就出现了错误 题型一 题型二 题型三 当x 4 75时 ymax 10 78 万元 当x 5时 y 12 0 25x 12 0 25 5 10 75 万元 年产量是475台时 工厂所得利润最大 1 2 3 4 1将8分为两数之和 使其立方之和为最小 则分法为 a 2和6b 4和4c 3和5d 以上都不正确解析 设其中一个数为x 两数立方之和为y 则另一个数为8 x y x3 8 x 3 0 x 8 y 3x2 3 8 x 2 令y 0 即3x2 3 8 x 2 0 得x 4 当0 x0 所以当x 4时 y最小 答案 b 1 2 3 4 2用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形 然后把四边折起 就能焊成铁盒 当所做的铁盒容积最大时 在四角截去的正方形的边长为 a 6cmb 8cmc 10cmd 12cm解析 设截去的小正方形的边长为xcm 铁盒的容积为vcm3 由题意 得v x 48 2x 2 0 x 24 v 12 24 x 8 x 令v 0 则在区间 0 24 内有解x 8 故当x 8时 v有最大值