第三章 完全且完美信息动态博弈a.ppt

第三章完全且完美信息动态博弈 完全 得益完美 过程动态 先后请考虑以下问题 1 是不是信息越多越有利 2 过程是否重要 3 动态博弈与静态博弈有哪些异同之处 4 人们对已经过去的博弈是更注重结果还是更注重过程 其意义何在 第三章完全且完美信息动态博弈 可信性问题子博弈逆推归纳法有同时选择的两阶段动态博弈 3 1可信性问题 在动态博弈中 由于过程十分重要 类似于对未来过程的了解 它本身依赖于其它博弈方的行为 那么就存在一个对其博弈方所可能采取策略的可信性问题 可信性 动态博弈中先行为的博弈方是否应该相信后行为博弈方会采取某种策略或行为 后行为博弈方将来采取对先行为博弈方有利的行为为 许诺 采取对先行方不利的行为为 威胁 3 1 1开金矿 条件 甲去开采一价值4万元的金矿 缺1万元 乙恰好有1万元可以投资 甲向乙借1万元可以可开金矿 并 许诺 成功后与对半分成 问题 乙是否该借钱给甲 3 1 1开金矿 可能性即甲可能成功之后不与乙分钱 分当然好 则乙损失1万元 由此 乙决策的关键在于他是否相信甲的 许诺 而结局取决于甲是否遵守他的 许诺 接下来乙可采取一些方法以使甲尽可能兑现他的许诺 打官司 3 1 1开金矿 根据自身利益最大化原则 甲在轮到行为时的唯一选择是不分 而乙清楚甲的行为准则 则选择不借 对乙来讲 本博弈中甲有一个不可信的肯定不会信守的许诺 怎样使甲的许诺变为可信的呢 关键在于必须增加一些对甲行为的约束 结点 信息集 3 1 1开金矿 若乙采取法律手段 即打官司保护自己的利益 则博弈进程如下图所示 3 1 1开金矿 在本博弈中 乙的唯一选择是打官司 对甲来讲 乙打官司的威胁是可信的 是肯定会信守的 他最理智的选择就是分 即 乙的策略是在第一阶段借 如甲在第二阶段选择不分 则第三阶段选择打 甲的策略是如乙在第一阶段选择借 则他在第二阶段选择分 在双方这样的策略组合下 本博弈的路径是 借 分 双方得益为 2 2 实现有效率的理想的结果 3 1 2先来后到 在此博弈中 后进入者博弈方1要决定是否进入市场竞争 而先进入市场的博弈方2有打击和不打击两种选择 3 1 2先来后到 根据利润最大化原则 博弈方2的唯一选择是无情打击对手 这时博弈方2的打击的威胁是可信的 了解博弈方2决策原则的博弈方1在第一阶段只会选择不进 该博弈的结果为 0 10 即先占领市场者独享利润 3 1 2先来后到 当得益变成右图情况以后 博弈方2的打击的威胁就不再是可信的了 这样 博弈方1在第一阶段的合理选择当然只有进 博弈的结果选择路径为 进 不打击 双方得益为 5 8 后进者信息多 但利润不如先进入者 后来者不一定总是从前者利益中分出一部分 而可能创造更大的总利益 而先进入者的损失也不一定很大 3 2子博弈和逆推归纳法 动态博弈中的子博弈逆推归纳法子博弈完美纳什均衡寡占的斯塔克博格模型工会和厂商的博弈讨价还价博弈 3 2 1动态博弈中的子博弈 定义 子博弈即能够自成一个博弈的某个动态博弈的从其某个阶段开始的后续阶段 它必须有一个初始信息集 且具备进行博弈所需的各种信息 3 2 1动态博弈中的子博弈 注意 原博弈的初始节点开始的博弈为原博弈本身 不称它为原博弈的子博弈 第五章将说明在不完美信息博弈中有其它的不作为子博弈的起始信息集的节点 3 2 2逆推归纳法 在动态博弈中如何求解 动态博弈的特点是 在采取某一种决策时必须对其后可能进行的子博弈有充分的了解 这样才能很好的进行博弈并得到合理的结果 基于理性和可信性 相当于对后博弈行为的合理假设 由此 对于完全且完美信息的动态博弈其基本求解方法可由最后阶段的子博弈逆推来决定采取合适的策略 逆推归纳法 3 2 2逆推归纳法 定义 逆推归纳法就是从动态博弈的最后一个阶段或最后一个子博弈开始 逐步向前倒推以求解动态博弈的方法 例 3 2 2逆推归纳法 分金币 案例 5个海盗抢到了100颗宝石 每一颗都一样的大小和价值连城 他们决定这么分 1 抽签决定自己的号码 1 2 3 4 5 2 首先 由1号提出分配方案 然后大家5人进行表决 当且仅当超过半数的人同意时 按照他的提案进行分配 否则将被扔进大海喂鲨鱼 3 如果1号死后 再由2号提出分配方案 然后大家4人进行表决 当且仅当超过半数的人同意时 按照他的提案进行分配 否则将被扔入大海喂鲨鱼 4 以次类推 条件 每个海盗都是很聪明的人 都能很理智的判断得失 从而做出选择问题 第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化 3 2 2逆推归纳法 分金币 逆推过程 123450100991097021970102结果 97 0 1 0 2 3 2 2逆推归纳法 动态规划 动态规划的理论基础是最优性原理 它是一种解决多阶段决策 序贯决策 过程最优化的一种数学方法 应用 最优路径问题 资源分配问题 生产调度 库存 装载 排序 设备更新 最优工艺等 3 2 2逆推归纳法 动态规划 它认为整个过程的最优策略有这样的特点 即无论过去的状态和决策如何 对于前面的决策所形成的状态而言 余下的诸决策必定构成最优策略 这就是说 任何一个完整的最优策略的子策略总是最优的 根据这个重要的原理 用动态规划方法求解一个优化问题首先应把问题的过程分成几个相互联系的阶段 这些阶段的状态可以用阶段的某种特征来描述 而决策过程可以通过状态的演变来说明 于是就可以根据问题的实际意义 找出由一个状态演变到另一状态的状态转移方程 再根据所求问题的有关效益指标 建立起能够联系局部与全局最优性的动态规划基本方程 3 2 3子博弈完美纳什均衡 在动态博弈中由于博弈过程是逐步深入的 这一过程由每个阶段所采取的策略构成 由此引出 路径 的概念 路径 从第一阶段开始通过每阶段一个行为 最后达到博弈结束的一个终端各博弈方的行为组合 找到了路径也就找到了一个分阶段的策略组合 这一策略组合恰似一个完整的计划 计划的最终实现取决于过程中各阶段的实现 3 2 3子博弈完美纳什均衡 在开金矿案例中 策略组合 借 分 是一个稳定的策略组合 因为如果不分 则有乙打官司的威胁 这是双方都不愿得到的结果 稳定 意味着博弈方都不会单独改变策略 这恰似纳什均衡的概念 3 2 3子博弈完美纳什均衡 由于动态博弈与静态博弈有较大的差异 那么如何才能使静态博弈中的纳什均衡在动态博弈中亦有相应的概念发展 以开金矿为例 注意此例与以前开金矿例子的差异 3 2 3子博弈完美纳什均衡 此时打官司对乙亦无好处 此情况在现实中可能出现 在此情况中 逆推可以得出乙不借 原因在于乙在第三阶段打官司的威胁是不可信的 由此导致甲在第二阶段分的许诺也变为不可信 结局是 甲开不成金矿 乙保本 甲失去挣钱的机会 3 2 3子博弈完美纳什均衡 如果按照静态博弈的分析方法 则 借 分 打 的策略组合为一个纳什均衡 因为任何一方都不会单独改变策略而降低自己的得益 这与逆推归纳法得到的结论相矛盾 原因在于路径 借 分 的纳什均衡策略组合包含了一个不可信的威胁 即乙在第三阶段会选择打官司的行为是不可信的 3 2 3子博弈完美纳什均衡 由此需要对静态博弈中的纳什均衡的概念有所调整 即应满足 是纳什均衡 从而具有策略稳定性不能包含任何的不会信守的许诺或威胁这样的动态博弈策略组合称为子博弈纳什均衡 3 2 3子博弈完美纳什均衡 定义 Selten塞尔顿 如果动态博弈中各博弈方的策略在动态博弈本身和所有子博弈中都构成一个纳什均衡 则称该策略组合为一个 子博弈完美纳什均衡 3 2 3子博弈完美纳什均衡 注意 用逆推归纳法所得到的解应为子博弈完美纳什均衡 动态博弈所应注意的两点 要求各博弈方的策略对每阶段每种可能的情况都设定一个行为方案 其意义在于避免出现不会信守的许诺或威胁 从而使子博弈完美纳什均衡可以用 假定所有博弈方都是理性的且不会犯错误的 3 2 3子博弈完美纳什均衡 与实际情况的差异 后续可能性太多而无法分析 于是考虑仅知道有限后续阶段的情况 许诺有限非理性 如何考虑 比如假设非理性的次数小于等于k 下棋 K叉树算法博弈构成的 长短 与稳定性 不可预测性等 3 2 4寡占的斯塔克博格模型 它是古诺模型在动态博弈中的体现例如 在古诺模型中二厂商同时决定产量q1 q2 Q q1 q2 市场出清价格P 8 Q 边际成本C1 C2 2 解得q1 q2 2 总得益为4 4 8 3 2 4寡占的斯塔克博格模型 然而 许多实际问题为各厂商进入市场有先后 尤其是厂家有强弱之分 且后一厂商 跟随者 在决策时是看着前一厂商的选择的 由此引出斯塔克博格模型 斯塔克博格模型与古诺模型相比 唯一的不同是前者有一个选择的次序问题 其他如博弈方 策略空间和得益函数等完全都是相同的 3 2 4寡占的斯塔克博格模型 设两寡头为厂商1和厂商2 他们的策略空间 q1 q2的集合 都是 0 Qmax 中的所有实数 其中Qmax可看做不至于使价格降到亏本的最大限度产量 或者是该产量与厂商生产能力之间的最大值 厂商1为先进入企业 设价格函数 边际生产成本 固定成本为零 3 2 4寡占的斯塔克博格模型 则两厂商的得益函数分别为 注意此时策略空间为连续变量 所以利用反应函数的方法和逆推归纳法结合来求解 解得q1 3 q2 1 5 双方收益分别为4 5 2 25 以上分析是基于二厂商都很理性的情况下得到的均衡解 3 2 4寡占的斯塔克博格模型 以上模型说明 在信息不对称的博弈中 信息较多的博弈方 如厂商2决策之前已知厂商1的实际选择 因此他有较多的信息 不一定能得到较多的得益 原因 先行为或信息较少者认为后行为方或知识较多者作为理性的博弈方 不可能为了公平或赌气而采取任何对双方不利的行为 从而先发制人选择比同静态决策时更大的产量而获得利益和好处 3 2 5工会与厂商的博弈 Leontief1964年提出的一个工会与厂商之间关于工资与雇佣的博弈模型 条件 假设完全由工会决定工资 而厂商则根据工资的高低来决定雇佣工人的数量 注意 此时应有一个均衡解 原因在于工资过高则雇佣的人数就会减少 而如果人数过多的 则工资过少亦非工会的希望 那就一定会存在一个较合适的值 促使工资和人数都比较合适 3 2 5工会与厂商的博弈 工会的目标就是求出适合的工资和人数 其效用函数应为工资W和人数L两者的函数 工会的的决策就是如何选择W 使厂商关心的只有一个目标 即利润最大化 用逆推归纳法来求解 注意到此处只给出了示意性函数 在实际问题上可以构造对应的函数 并可得到相应的工会的无差异曲线 3 2 5工会与厂商的博弈 先由工会决定工资率 再由厂商决定雇用多少劳动力 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 条件 两个人就如何分割1万元进行谈判 规则如下图所示 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 每个阶段包括一方提出一个方案和另一方选择是否接受该方案 每个阶段的费用 如谈判成本 利息等 导致收益减少 折扣率为 0 1过程 阶段 1 甲S1 乙10000 S1 乙接受则终止 否则进行阶段二2 甲S2 乙10000 S2 甲接受则终止 否则进行阶段三注意此时甲的收益为 S2 乙为 10000 S2 3 甲S 乙10000 S 此时乙必须接受 收益分别为 2S 2 10000 S 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 注意此博弈的条件 1 第三阶段的收益是必须接受的 2 过程越长 双方的收益之和越小 由此 如果双方是理性的话 则选择合适的时期及早结束谈判则对双方都有利 2S 2 10000 S S2 10000 S2 S1 10000 S1 出S2 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 用逆推归纳法来进行求解 第三阶段的收益 2S和 2 10000 S 对于双方都是知道的 于是第二阶段乙应该使自己的利益最大而不进行第三阶段 即甲也接受 那么乙应该如何出价呢 如果出S2后 甲的收益小于第三阶段的收益 则甲会进行第三阶段 于是乙的策略就是第二阶段使甲的收益不少于甲在第三阶段的收益而使自己的收益最大 比第三阶段大 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 于是乙的选择为 S2 2S 即S2 S 使甲二 三阶段收益相同 那么 乙的收益为 10000 S 2 10000 S 同样的分析可应用于甲在第一阶段的策略 即甲在第一阶段给乙 10000 S 甲的收益s1 10000 10000 S 由此分析 双方的得益为 10000 10000 2S 10000 2S 这是双方都比较好的均衡解 即可以在第一阶段结束 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 讨论 第三阶段甲的出价S是双方已知的 如果不知道 结果如何 如果S为如何值乙却必须接受 则S 10000是合理的 于是S1 10000 1 2 乙的收益为10000 2 3 2 6讨价还价博弈 三阶段讨价还价博弈 导致最后得益取决于 2的大小 2越大甲的收益比例越小 乙的则越大 考察函数 2 其在 0 5时 取极大值0 25 当0 5 1时 随 的增大 甲的收益增加 乙的收益减少 当0 0 5时 随 的增大 甲的收益减少 乙的收益增加 结论 谈判阶段越多 甲就会损失 2 这是乙可以利用的 仅当 0时 甲不怕与乙进行谈判 3 2 6讨价还价博弈 无限阶段讨价还价博弈 奇数由甲提方案 不接受 偶数由乙提方案 不接受 如此下去对双方都没有利益 只有损失 注意 在这种情况下 无法用逆推归纳法 1984年 Shaked和Sutton提出一个解决思路 实际上甲乙是轮流提方案的 那么可用如下思路来处理 对一个无限阶段博弈 从第三阶段开始 如果可以达到的话 还是从第一阶段开始 结果应该是完全一样的 3 2 6讨价还价博弈 无限阶段讨价还价博弈 由此可推出 在理性的前提下 第一阶段结果与第三阶段结果应该是一样的 此处实际上假设了收敛 由0 1决定 因为 n趋于0 于是总收益趋于0 在第一阶段出价甲S1 10000 10000 2S 乙10000 S1 10000 2S第三阶段的S应等于S1 于是S S1 10000 10000 2S得S 10000 1 此即该博弈的均衡解 3 2 7委托人代理理论 信息经济学 委托人 principle 代理人 Agents 之间的博弈关系是现代经济学研究的重要内容 是动态博弈 如企业 工人 店主 店员 政府 国有企业 公司法人 经理等 委托人 代理人关系可根据松散程度委托内容监督难易等的不同可分为不同的情况 机制设计或激励机制设计 一无不确定性的委托人 代理人模型设定 代理人的工作成果没有不确定性 不存在监督问题 委托不委托接受拒绝 R 0 0 努力偷懒 R 0 0 R E w E w E E R S w S w s s 2 1 2 3 2 7委托人代理理论 信息经济学 如果w E E w s s即w E w s E s 努力的激励相容约束 时 代理人会选择努力 反之 如果w s s w E E 偷懒的激励相容约束 时 代理人会选择偷懒 2 第二阶段代理人是否接受委托的选择 选择接受的条件 w E E 0 w s s 0 称为参与约束条件 既接受委托的基本条件 3 若第2阶段接受的情况下 有两种情况 接受拒绝 R E w E w E E R 0 0 a 代理人的选择接受拒绝 R s w s w s s R 0 0 b 代理人的选择 2 2 利用逆推归纳法求解子博弈纳什均衡解 1 先看第三阶段代理人是否努力的选择 3 2 7委托人代理理论 信息经济学 a 如果R E w E R 0 委托人选择委托 反之则否 b 如果R s w s R 0 委托人选择委托 反之则否 子博弈完美纳什均衡 委托不委托 R E w E w E E R 0 0 a 委托人的选择 1努力 委托不委托 R s w s w s s R 0 0 b 委托人的选择 1偷懒 1 1 二有不确定性但可监督的委托 代理人博弈 代理人的努力成果有不确定性 但委托人对代理人能够完全监督 产出有不确定性 风险完全由委托人承担 与代理人无关 根据代理人的工作情况而不是工作成果支付报酬 代理人的工作成果的不确定性直接影响的只有委托人的选择 不会影响代理人的选择 但会有间接影响 委托不委托接受拒绝 0 0 努力偷懒 0 0 高产 0 9 低产 0 1 高产 0 1 低产 0 9 10 w E w E E 10 w s w s s 20 w E w E E 20 w s w s s 3 2 7委托人代理理论 信息经济学 1 2 2 0 0 子博弈完美纳什均衡 努力的激励相容约束条件 w E E w s s偷懒的激励相容约束条件 w s s w E E代理人接受委托的条件 努力的参与约束 w E E 0 偷懒的参与约束 w s s 0委托人愿意委托的条件 代理人努力时 当0 9 20 w E 0 1 10 w E 0时委托 否则不委托 代理人偷懒时 当0 1 20 w s 0 9 10 w s 0时委托 否则不委托 二有不确定性但可监督的委托 代理人博弈 三有不确定性且不可监督的委托人 代理人博弈 代理人的工作成果有不确定性委托人无法监督代理人的工作委托人不可能根据代理人的工作情况支付报酬 只能根据代理人的工作成果支付报酬 除非支付固定报酬 委托不委托 0 0 接受不接受努力偷懒 0 0 高产 0 1 低产 0 9 高产 0 9 低产 0 1 10 w 10 w 10 E 10 w 10 w 10 s 20 w 20 w 20 E 20 w 20 w 20 s 1 2 2 0 三有不确定性且不可监督的委托人 代理人博弈 1努力的激励相容约束 0 9 w 20 E 0 1 W 10 E 0 1 w 20 s 0 9 w 10 s 2代理人接受的参与约束 0 9 w 20 E 0 1 W 10 E 03委托人对代理人的决策思路是清楚的 他能判断出代理人是否努力 当0 9 20 w 20 0 1 10 w 10 0时 他会选择委托 四选择报酬和连续努力水平的委托人 代理人模型 努力成果不确定且不可监督 委托人可选择报酬函数 薪酬制度 代理人在连续区间选择努力水平 代理人的机会成本为U努力的负效用函数C C e 是单调递增凸函数 代理人的产出函数是R R e 为一随机函数 由于是不完全监督 委托人的支付函数为w w R 有记件工资或利润提成 w w R w R e 代理人的得益函数w C w R e C e 代理人的参与约束 w R e C e U委托人的得益函数R e w R e R e C e U 委托人满意的代理人的努力水平e1 e1 e1 激励相容约束 w R e1 C e1 w R e C e 意味着代理人和委托人的利益完全一致 如果委托人按照上述参与约束和激励约束设计报酬函数 就可使代理人的行为符合自己的利益 2020 1 24 55 选择报酬和连续努力水平的委托人 代理人博弈 四选择报酬和连续努力水平的委托人 代理人模型 一个具体例子 店主和店员 风险中性 商店的收益R R e 4e u 其中u是均值为0的随机扰动项 店员的负效用函数为C e e 店员接受该工作的机会成本为U 1 R R e 4e u u是均值为0的随机扰动项 C C e 店主无法掌握店员的努力1情况 采用的报酬计算公式为S A B R e A B 4e u 店主的得益函数为 店主的期望得益为4 1 B e A店员的得益函数为A B 4e u e期望得益为A B4e e参与约束的条件 A B 4e u e 1期望条件A 4Be e 1 店员接受工作 当e1 2B时A B4e e最大 当B 0 e1 0 B 0 5 e1 1 店主的选择 激励约束 店主的选择必须满足店员参与约束的下限 A B 4e u e 1 从而店主的得益为4e u e 1 期望得益为4e e 1 当e2 2时 店主的得益最大 由e1 e2 2得B 1 A 3 店主的最优激励工资计算公式w A B R 3 R 结论 店员支付承包费 获得全额利润提成 店主不发固定工资 收取承包费或租金 是一种承包或租赁制 子博弈完美纳什均衡 与博弈方的风险类型有关 3 3有同时选择的两阶段动态博弈 问题的提出银行挤兑关税和不完全国际竞争竞赛与努力 3 3 1问题的提出 与前面讨论的动态博弈一样 也是多阶段并且在后一阶段前 博弈方能看到此前的博弈过程 但在同一个阶段有两个或两个以上博弈方同时选择 严格而言 这种博弈并不是完美信息的 它们介于完美信息和被完美信息之间 可用逆推法来求解 不同的是最后阶段 每一阶段 不是单一方求利益最大化 而是由一个博弈结果来决定的 因而与以往的不有一个的差异 要详细分析才可以 3 3 1问题的提出 基本形式 1 四个博弈方1 2 3 4 2 博弈方1 2在第一阶段同时选择各自的可选策略集a1 A1 a2 A2 3 博弈方3 4在看到1 2的选择 a1 a2 后 第二阶段同时在各自选择的可选策略集合A3 A4中选择a3 A3 a4 A4 4 所有博弈方的得益取决于a1 a2 a3 a4 即博弈方i的得益ui a1 a2 a3 a4 是各方效率的函数 3 3 2银行挤兑 问题 客户1 2在同一银行各存有100元 银行将其投资于一个项目到期收入280元 若在到期前抽回投资 则只能收回140元 对客户来讲 抽回存款的日期也分同样的两种 各博弈方的策略和收益如下 1抽回 不抽 2抽回不抽抽回不抽 银行挤兑 日期1 银行挤兑 日期2 3 3 2银行挤兑 采用逆推归纳法 从第二阶段日期2的博弈看起 其唯一的纳什均衡为 抽回 抽回 双方得益为 140 140 再回到第一阶段 日期1 由于两博弈方对第二阶段的博弈结果都十分清楚 这样可直接将 140 140 作为第一阶段双方都选不抽时的得益代入日期1的得益矩阵 即得下图所示矩阵 银行挤兑 3 3 2银行挤兑 银行挤兑中得益矩阵