高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）课件 新人教A版选修23.ppt

第一章计数原理 1 1分类加法计数原理与分布乘法计数原理 一 1 理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理 2 会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 答案 问题导学新知探究点点落实 知识点一分类加法计数原理第十二届全运会在中国辽宁盛大召开 一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务 每天有7个航班 6列火车 思考1该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类 答案两类 即乘飞机 坐火车 思考2这几类方案中各有几种方法 答案第1类方案 乘飞机 有7种方法 第2类方案 坐火车 有6种方法 思考3该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法 答案共有7 6 13种不同的方法 答案 1 完成一件事有两类不同的方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 完成一件事有n类不同的方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 则完成这件事共有n 种不同的方法 m n m1 m2 mn 答案 知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务 但需在北京停留 已知从济南到北京每天有7个航班 从北京到沈阳每天有6列火车 思考1该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤 答案两个 即先乘飞机到北京 再坐火车到沈阳 思考2完成每一个步骤各有几种方法 答案第1个步骤有7种方法 第2个步骤有6种方法 思考3该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法 答案共有7 6 42种不同的方法 答案 返回 1 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 完成一件事需要n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 则完成这件事共有n 种不同的方法 m n m1 m2 mn 类型一分类加法计数原理的应用例1某校高三共有三个班 其各班人数如下表 解析答案 题型探究重点难点个个击破 1 从三个班中选一名学生任学生会主席 有多少种不同的选法 解从三个班中任选一名学生 可分三类 第1类 从高三 1 班任选一名学生 有50种不同选法 第2类 从高三 2 班任选一名学生 有60种不同选法 第3类 从高三 3 班任选一名学生 有55种不同选法 由分类加法计数原理知 不同的选法共有n 50 60 55 165 种 2 从 1 班 2 班男生中或从 3 班女生中选一名学生任学生会生活部部长 有多少种不同的选法 解由题设知共有三类 第1类 从 1 班男生中任选一名学生 有30种不同选法 第2类 从 2 班男生中任选一名学生 有30种不同选法 第3类 从 3 班女生中任选一名学生 有20种不同选法 由分类加法计数原理知 不同的选法共有n 30 30 20 80 种 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 1 应用分类加法计数原理时 完成这件事的n类方法是相互独立的 无论哪种方案中的哪种方法 都可以独立完成这件事 2 利用分类加法计数原理解题的一般思路 解析答案 跟踪训练1如图 小圆点表示网络的结点 结点之间的连线表示它们由网线相连 连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量 现从结点a向结点b传递信息 信息可沿不同的路径同时传递 则单位时间内传递的最大信息量是 解析若以网线为标准 则完成 从结点a向结点b传递信息 这件事也可分为四类 从而分解为若干个简单的问题后再各个击破 分四类 第一类 网线为12 5 3 单位时间传递的最大信息量是3 第二类 网线为12 6 4 单位时间传递的最大信息量是4 第三类 网线为12 6 7 单位时间传递的最大信息量是6 第四类 网线为12 8 6 单位时间传递的最大信息量是6 根据分类加法计数原理 单位时间内传递最大信息量是n 3 4 6 6 19 19 解析答案 反思与感悟 类型二分步乘法计数原理的应用例2从 2 1 0 1 2 3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c的系数a b c 则可以组成抛物线的条数为 解析由题意知a不能为0 故a的值有5种选法 b的值也有5种选法 c的值有4种选法 由分步乘法计数原理得 5 5 4 100 条 100 反思与感悟 1 应用分步乘法计数原理时 完成这件事情要分几个步骤 只有每个步骤都完成了 才算完成这件事情 每个步骤缺一不可 2 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 1 分步 将完成这件事的过程分成若干步 2 计数 求出每一步中的方法数 3 结论 将每一步中的方法数相乘得最终结果 解析答案 跟踪训练2从集合 0 1 2 3 5 7 11 中任取三个元素分别作为直线方程ax by c 0中的a b c 所得直线经过坐标原点的有 条 解析该题实质上就是给a b c赋值 但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件 即c 0 所以 下面只需安排a b 从1 2 3 5 7 11这6个数中任取2个作为a b的值 分为两步 第一步取一个数作为a 有6种 第二步从剩下的5个数中取一个数作为b 有5种 所以由分步乘法计数原理得 直线的条数为6 5 30 30 解析答案 类型三两个计数原理的综合应用例3某校高中三年级一班有优秀团员8人 二班有优秀团员10人 三班有优秀团员6人 学校组织他们去参观某爱国主义教育基地 1 推选1人为总负责人 有多少种不同的选法 解分三类 第一类是从一班的8名优秀团员中产生 共有8种不同的选法 第二类是从二班的10名优秀团员中产生 共有10种不同的选法 第三类是从三班的6名优秀团员中产生 共6种不同的选法 由分类加法计数原理可得 共有n 8 10 6 24 种 不同的选法 解析答案 2 每班选1人为小组长 有多少种不同的选法 解分三步 第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长 共有8种不同的选法 第二步从二班的10名优秀团员中选1名组员 共10种不同的选法 第三步是从三班的6名优秀团员中产生 共6种不同的选法 由分步乘法计数原理可得 共有n 8 10 6 480 种 不同的选法 解析答案 反思与感悟 3 从他们中选出2个人管理生活 要求这2个人不同班 有多少种不同的选法 解分三类 每一类又分两步 第一类是从一班 二班的优秀团员中各选1人 有8 10种不同的选法 第二类是从二班 三班的优秀团员中各选1人 有10 6种不同的选法 第三类是从一班 三班的优秀团员中各选1人 有8 6种不同的选法 因此 共有n 8 10 10 6 8 6 188 种 不同的选法 反思与感悟 1 解题的关键是分清楚是 分类 还是 分步 如问题 2 中 要求是每班各选1人为小组长 一班的8种不同选法中的任一种选法只能完成第一步 二班的选法也只能完成第二步 所以问题 2 是要用 分步 来解决问题 3 中选出的2人来自不同的班级 又共有三个班 故应先分类 再分步方可完成 2 分类讨论解决问题 必须思维清晰 保证分类标准的唯一性 这样才能保证分类不重复 不遗漏 运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类 应视具体问题而定 解析答案 返回 跟踪训练3高艳有4件不同颜色的衬衣 3件不同花样的裙子 另有2套不同样式的连衣裙 五一 劳动节需选择一套服装参加歌舞演出 则高艳不同的穿衣服的方式有 种 解析穿衣方式分两类 第一步 不选连衣裙有4 3 12 种 方法 第二步 选连衣裙有2种方法 由分类加法计数原理知 共有12 2 14 种 方法 14 1 2 3 解析答案 达标检测 4 1 某学生在书店发现3本好书 决定至少买其中的1本 则购买方法有 a 3种b 6种c 7种d 9种解析分3类 买1本书 买2本书 买3本书 各类的方法依次为3种 3种 1种 故购买方法有3 3 1 7 种 5 c 解析答案 2 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤 如果一条长裤与一件上衣配成一套 则不同的配法种数为 a 7b 12c 64d 81解析要完成配套 分两步 第1步 选上衣 从4件上衣中任选一件 有4种不同选法 第2步 选长裤 从3条长裤中任选一条 有3种不同选法 故共有4 3 12 种 不同的配法 1 2 3 4 5 b 解析答案 3 把5本书全部借给3名学生 有 种不同的借法 解析依题意 知每本书应借给三个人中的一个 即每本书都有3种不同的借法 由分步乘法计数原理 得共有n 3 3 3 3 3 35 243 种 不同的借法 1 2 3 4 5 243 解析答案 4 5名乒乓球队员中 有2名老队员和3名新队员 现从中选出3名队员参加团体比赛 则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有 种 用数字作答 解析分为两类 两名老队员 一名新队员时 有3种选法 两名新队员 一名老队员时 有2 3 6 种 选法 即共有9种不同选法 1 2 3 4 5 9 解析答案 5 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中7人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 有多少种不同的选法 解依题意得 既会英语 又会日语的有 7 3 9 1 人 6人只会英语 2人只