探讨几何最值问题的解法.doc

探讨几何最值问题的解法知识点：教材中哪些结论与线段长度最短有关一、两点之间，线段最短。二、连结直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。下面就知识点一进行学习探究.基本图形：两点一线型，一点两线型，两点两线型基本方法：对称或平移基本思想：化折为直(本质是转化思想)题型一：两点一线型教材原型：七年级下如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站修在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？数学问题：（1）在直线l上找点P，使PA+PB值最小方法：作对称化同侧为异测依据：两点之间，线段最短思想：化折为直 利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例： 【关联题1】如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)lPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l变式1：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，并从点M直接向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l变式2：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距10千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l 【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是O的直径，MN=2，点A 在O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ） 析解：连结OA，由AMN=30得AON=60，取点B 关于MN 的对称点B，连结OB、AB，AB交MN 于点P，则AB的长为PA+PB 的最小值，且易知AOB=90，即AOB为等腰Rt，故 。 如图4，在等腰ABC 中，ABC=120，点P 是底边AC 上一个动点，M、N 分别是AB、BC 的中点，若PM+PN 的最小值为2，则ABC 的周长是（ ） 析解：把等腰ABC 沿AC 翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的边AB 的长，故AB=2，由AB=BC=2，ABC=120易求得 ，因此ABC 的周长是( )。 如图5，在直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线l，D 为对称轴上l 一动点，(1)求抛物线的解析式； (2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3) 以点A 为圆心，以AD 为半径作A，证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与A 相切。 写出直线BD 与A 相切时，D 点的另一个坐标。 析解：（1）可设y=a(x+1)(x3)，再代入点C 坐标，即可求得y=x2+2x+3。 （2）利用点A、B 关于直线l：x=1 对称，连结BC 交l 于D，则此时AD+CD 取得最小值；设l与x轴交点为E，由BEDBOC 可求得DE=2，BD=2姨2 =AD，所以D 的坐标为(1，2)。 （3）如图6,连结AD，由点A、B、D、E 的坐标易知ADE 和BDE 均为等腰Rt，故ADE=BDE=45所以ADB=90，所以直线BD 与A 相切。 由对称性知点D 的另一个坐标是（1，2）。【关联题5】如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_ 析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M（即AD 的中点），连结MN交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段MN 的长，而M、N 分别为边AD、BC 的中点，故MN 的长等于菱形的边长5。【关联题4】如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】ABC5D【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值为：。故选A。上述源命题还可作进一步引申： 【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点A 到河边（直线l）走一段（长度为已知线段a）再到景点B，怎么走最近？ 析解：如图7，本题的关键是确定直线l 上的两点D、E，因DE=a 为定长，故只需AE+BD 为最小即可；作线段ACl且AC=a，作点C 关于直线l 的轴对称点C，连接CB 交直线l 于点D，在直线l 上截取DE=a，连接AE，则小明应走的路线是AEEDDB。理由是：连接CD，则CD=AE=CD，因DE=a 为定长， 故只须AE+BD(=CD+BD)最小即可。 【关联题1】已知平面直角坐标系内两点A（2，3），B（4，1）,(1)若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABCD的周长最短。 （2）设M、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，是否存在这样的点M（m，0），N（0，n）, 使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m、n 的值；若不存在，请说明理由。 析解：（1）如图8，本题中AB 和CD（a+3a=3）均为定长，故只需AC+BD 取最小值即可； 平移点A 到A1，使AA1=CD=3，作点A1关于x 轴的对称点A2，连结A2B 交x 轴于D，作ACA1D 交x轴于点C，由上述“引申题”结论知此时AC+BD 取得最小值；求得直线A2B 的解析式为y=4x17，可得 （2）如图9，本题中AB 为定长，分别作点A、B 关于y轴、x 轴点对称点A1、B1，连接A1B1 交x 轴于M，交y轴于N，则根据上述“源命题”的结论，M、N 为所求的点；易得直线A1B1的解析式为 ，令y=0 得 拓展：在直线l上找点P，使PAPB绝对值最大（2014无锡）如图，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 考点： 轴对称最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质 分析： 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出 即可 解答： 解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小， 连接BD， 菱形ABCD中，A=60， AB=AD，则ABD是等边三角形， BD=AB=AD=3， A、B的半径分别为2和1， PE=1，DF=2， PE+PF的最小值是3 故答案为：3题型二：一点两线型（2009年漳州中考）如图8， ，是内一点，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时， 周长最小， ， 。 则周长的最小值为题型三：两点两线型（架桥问题）教材原型：八年级上P95如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？两点两线型（马吃草喝水问题）练习：1.已知：MON=30，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上一点，B是ON上一点，则折线ABCD的最短长度为_.(2)2.（4分）如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为【 】A130 B120 C110 D100【答案】B。【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。【分析】根据要使AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A，A，即可得出AAMAHAA60，进而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值。作DA延长线AH。BAD120，HAA60。AAMAHAA60。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120。故选B。3.抛物线上的动点问题（14分）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；1yxO（第28题）123424331234412（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积【分析】（1）由条件，利用待定系数法求解.（2）依题意可由勾股定理求出圆的半径，进而利用直线与圆的关系求解.（3）由（2）可进一步求解.【答案】（1）因为当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到yax2bxc，得 解得这条抛物线的解析式为yx21.设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得 解得这条直线的解析式为yx+1.（2）依题意，OA=即A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离=A的半径，直线l与A相切.（3）由题意