【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题六 解析几何.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题六 解析几何 (120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=x对称,直线l3l2,则l3的斜率为()a.12b.-12c.-2d.2【解析】选c.因为直线l1与l2关于y=x对称,所以直线l2的方程为x=2y+3,即y=12x-32,所以=12.又l3l2,所以=-=-2.2.直线经过a(2,1),b(1,m2)两点(mr),那么直线l的倾斜角的取值范围是()a.0,)b.0,42,c.0,4d.4,22,【解析】选b.直线ab的斜率k=m2-11-2=1-m21,设直线l的倾斜角为,则有tan1,即tan0或0tan1,所以22,即m2+n22,所以点p(m,n)在椭圆x29+y24=1的内部,故所求交点个数是2.6.已知点p(a,b)(ab0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以p为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么()a.ml,且l与圆相交b.ml,且l与圆相切c.ml,且l与圆相离d.ml,且l与圆相离【解析】选c.直线m的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0,因为点p在圆内,所以a2+b2r,所以直线l与圆相离.7.(2014浙江五校模拟)我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知f1,f2是一对相关曲线的焦点,p是它们在第一象限的交点,则当f1pf2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()a.3b.2c.233d.2【解析】选a.设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,所以a1=ce1.设双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,则e=ca,所以a=ce.设|pf1|=x,|pf2|=y(xy0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60=x2+y2-xy.当把点p看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy;当把点p看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy.两式联立消去xy,得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,即1e12+31e2=4.又因为1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心离为3.8.已知双曲线y22-x23=1的两个焦点分别为f1,f2,则满足pf1f2的周长为6+25的动点p的轨迹方程为()a.x24+y29=1b.x29+y24=1c.x24+y29=1(x0)d.x29+y24=1(x0)【解析】选c.依题意得,|f1f2|=22+3=25,所以|pf1|+|pf2|=6|f1f2|,因此满足pf1f2的周长为6+25的动点p的轨迹是以点f1,f2为焦点,长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点),即动点p的轨迹方程是x24+y29=1(x0).9.过点(2,0)的直线与双曲线x24-y212=1的右支交于a,b两点,则直线ab的斜率k的取值范围是()a.k-1或k1b.k3c.-3k3d.-1k3或k-3时,直线ab与双曲线右支有两交点.10.如图所示,椭圆的中心在坐标原点o,顶点分别是a1,b1,a2,b2,焦点分别为f1,f2,延长b1f2与a2b2交于点p.若b1pa2为钝角,则此椭圆离心率e的取值范围为()a.0,5+14b.5+14,1c.0,5-12d.5-12,1【解析】选d.由题意知,b1pa2就是b2a2与f2b1的夹角.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则b2a2=(a,-b),f2b1=(-c,-b).由向量的夹角为钝角得,b2a2f2b10,所以-ac+b20.又b2=a2-c2,所以a2-ac-c20,所以-e2-e+10,结合0e0)的焦点f的直线l交抛物线于点a,b,交其准线于点c,若|bc|=2|bf|,且|af|=6,则此抛物线的方程为.【解析】分别过a,b作aa,bb垂直准线于a,b,由于|bc|=2|bb|,则直线l的斜率为3,故|ac|=2|aa|=12,从而|bf|=2,从而|ab|=8,故p|aa|=|cf|ca|=12,即p=3,从而抛物线的方程为y2=6x.答案:y2=6x15.(2014绍兴模拟)若直线x+my+3m=0被圆x2+y2=r2(r0)所截得的最短弦长为8,则r=.【解析】直线过定点(0,-3),当直线被圆截得的弦长最短时,直线为y=-3,弦长的一半为4,所以r=32+42=5.答案:516.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与直线x+y-1=0相交于p,q两点,且opoq(o为原点),则1a2+1b2为定值,该定值是.【解析】由b2x2+a2y2-a2b2=0,x+y-1=0,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.由=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)=4a2b2(a2+b2-1)0,得a2+b21.设p(x1,y1),q(x2,y2),则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2.因为opoq,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(1-x1)(1-x2)=0.所以2x1x2-(x1+x2)+1=0.所以2a2(1-b2)a2+b2-2a2a2+b2+1=0.所以a2+b2=2a2b2,所以1a2+1b2=2.答案:217.若直线l:y=kx+m(k0)与椭圆x24+y23=1交于不同的两点m,n,且线段mn的垂直平分线过定点g18,0,则k的取值范围是.【解析】设m(x1,y1),n(x2,y2).由x24+y23=1,y=kx+m,消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.因为直线y=kx+m与椭圆有两个交点,所以=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)0,即m24k2+3.且mn的中点坐标p-4km3+4k2,3m3+4k2.设mn的垂直平分线l的方程为y=-1kx-18.因为点p在l上,所以3m3+4k2=-1k-4km3+4k2-18.即4k2+8km+3=0,所以m=-18k(4k2+3).将上式代入,得(4k2+3)264k2120,即k510或k0)过点a(1,-2).(1)求抛物线c的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线c有公共点,且直线oa与l的距离等于55?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线c的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线c有公共点,所以=4+8t0,解得t-12.由直线oa与l的距离d=55,可得|t|5=15,解得t=1.因为-1-12,+,1-12,+,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.19.(14分)设点p是曲线c:x2=2py(p0)上的动点,点p到点(0,1)的距离和它到焦点f的距离之和的最小值为54.(1)求曲线c的方程.(2)若点p的横坐标为1,过p作斜率为k(k0)的直线交c于点q,交x轴于点m,过点q且与pq垂直的直线与c交于另一点n,问是否存在实数k,使得直线mn与曲线c相切?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意知1+p2=54,解得p=12.所以曲线c的方程为x2=y.(2)假设存在实数k,由题意知直线pq的方程为y=k(x-1)+1,则点m1-1k,0.联立方程y=k(x-1)+1,y=x2,消去y,得x2-kx+k-1=0,解得x1=1,x2=k-1,则q(k-1,(k-1)2).所以直线qn的方程为y-(k-1)2=-1k(x-k+1),代入曲线y=x2中,得x2+1kx-1+1k-(1-k)2=0,解得x3=k-1,x4=1-1k-k,则n1-1k-k,1-k-1k2.所以直线mn的斜率kmn=1-k-1k21-1k-k-1-1k=-1-k-1k2k.又易知过点n的切线的斜率k=21-k-1k.由题意有-1-k-1k2k=21-k-1k.解得k=-152.故存在实数k=-152满足题意.20.(14分)已知定点a(1,0)和定直线x=-1上的两个动点e,f,满足aeaf,动点p满足epoa,foop(其中o为坐标原点).(1)求动点p的轨迹c的方程.(2)过点b(0,2)的直线l与(1)中轨迹c相交于两个不同的点m,n,若aman0即k12.所以aman=y124-1,y1y224-1,y2=y124-1y224-1+y1y2=y12y2216-14(y12+y22)+y1y2+1=4k2-1416k2-16k+8k+1=k+12k,因为aman0,所以-12kb0)的右焦点为f(1,0),短轴的端点分别为b1,b2,且fb1fb2=-a.(1)求椭圆c的方程.(2)过点f且斜率为k(k0)的直线l交椭圆于m,n两点,弦mn的垂直平分线与x轴相交于点d.设弦mn的中点为p,试求dpmn的取值范围.【解析】(1)依题意,不妨设b1(0,-b),b2(0,b),则fb1=(-1,-b),fb2=(-1,b).由fb1fb2=-a,得1-b2=-a.又因为a2-b2=1,解得a=2,b=3.所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)依题意直线l的方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.所以弦mn的中点为p4k23+4k2,-3k3+4k2,所以mn=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1+x2)2-4x1x2=(k2+1)64k4(3+4k2)2