数列的求和(汇报课).doc

课题 数列的求和（汇报课） 江苏省徐州市第一中学：丁永刚教学目的：1、通过一些特殊数列求和问题的学习，使学生初步掌握数列求和问题的基本解法。 2、帮助学生运用化归的思想方法，把特殊数列问题转化为常见的简单数列的问题。 3、培养和提高学生观察问题、分析问题的能力及解题能力。重点： 一些特殊的数列求和的问题，掌握典型问题的基本解法。难点： 化归思想方法的运用，把特殊数列问题转化为常见简单数列的问题。教学模式：M-M模式（用数学思想方法论的观点指导数学教学）数学思想：化归思想教具准备：投影片 三角板知识复习：1 回忆等差数列和等比数列的前n项和公式？2 这两个公式分别是用什么方法推导得出的？ 等差数列求和公式的推导方法是将要解决的问题通过“逆序求和”转化为常数列问题从 而得到解决。 等比数列求和公式的推导则是利用“错项相减”的方法达到消去相同项的目的。 以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到。这两节课我们就来研究 既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题。例题讲解： 例1: 求数列1，3a，5a2，7a3， (2n-1)an-1， () 前n项和。 分析：此数列的每一项中的字母部分a0, a1, a2, , an-1 构成以a为公比的等比数列an,每一项中的系数部分1，3，5，7，（2n-1）构成以2为公差的等差数列bn。我们不妨把这种数列称为“差比数列”cn。则有cn= an .bn 实际上，我们学过的等比数列也就是一种特殊的差比数列，由此可知，这类数列的求和问题可用“错项相减法”解决。解: 因sn= 1+3a+5a2+7a3+ +(2n-1)an-1 (1) (1)乘以a得：a.sn= a+3a2+5a3+7a4+(2n-3)an-1+(2n-1)an (2) (1)-(2)得：(1-a)sn= 1+2a+2a2+2a3+ +2an-1+(2n-1)an =2(1+a+a2+a3+an-1)-(2n-1)an-1 练习：1、求数列, , , , , 的前n项和Sn，并 证明：2Sn4. 分析：由于=n是由等差数列an和等比数列相乘而形成，可称之为差比数列。因此，可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。解： Sn=+ + Sn=+.+ 两式相减，得 Sn=+ +-（同分母错项相减） =-=1- Sn=2- 于是，Sn2, 所以2Sn22=4。2、求和：Sn=1+2x+3x2+4x3+.+nxn-1 分析；本题应属于差比数列求和的问题，但还要注意x取值的讨论。略解：当x=0时，Sn=1，当x=1时，Sn=1+2+3+n=,当x0且x1时，Sn=1+2x+3x2+4x3+.+(n-1)xn-2+nxn-1 xSx=x+2x2+3x3+4x4+.+(n-1)xn-1+nxn两式相减，(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn =-nxn Sn=-例2、求下列各式的和。 1)+ 2) + 解：1) = 原式=（-）+（-）+（-）+() =1- = 注：本题是将数列中的每一项裂成两项之差，除首尾两项（有时也可能是首尾若干项）外，其余各项均前后抵消，从而达到错项相消的目的。这种方法叫裂项求和法。这种方法，在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到，但裂项的方法有很多，解题时必须根据具体问题具体分析。2）原式=（1-）+（-）+（-）+（） =（1+）-（+） =（1+-） =练习：3、an为等差数列，an0, (nN),d为公差。 求证：+=。 分析：注意在例7中的1)、2)、3)小题，它们能裂项实际上是由于分母中的两个因子构成一个等差数列，因而本题也采用裂项求和。证明：1）d=0时，an=a1(nN), 左式=+= n-1个 右式=，左式=右式。ii)d0时，an-an-1=d， 左式=（-）+（-）+（） =（-）=（） =右式。注：实际上，此题结论已从规律上总结了前面几题的裂项方法，在今后的解题学习中 应注意这种规律性东西的归纳和整理。前面几节课中我们已经学过如下公式：1+2+3+ +n=n(n+1) (1)12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1) (2)13+23+33+n3=n2(n+1)2 (3)这些公式叫做自然数的方幂和公式。利用此类公式，我们又可解决如下一些数列求和问题。 例3、已知12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+33+n3=n2(n+1)2 求和:12+32+52+(2n-1)2 解：1）an=(2n-1)2=4n2-4n+1 Sn=12+32+(2n-1)2 =(412-41+1)+(422-42+1)+.+(4n2-4n+1) =4(12+22+32+n2)-4(1+2+3+n)+n =4n(n+1)(2n+1)-4+n=注：可以看出，如果数列an的通项是关于n的多项式或通项可以转化为关于n的多项 式，一般大都可以利用自然数的方幂和公式来求解。练习：4、求和12-22+32-42+52-62+(2n-1)2-(2n)2 解：（法一）原式=12+32+(2n-1)2-22+42+(2n)2 =(412-41+1)+(422-42+1)+(4n2-4n+1)-4(12+22+32+n2) =n(2n-1)(2n+1)-4n(n+1)(2n+1) =n(2n+1)(2n-1-2n-2) =n(2n+1)(-3)=-n(2n+1) （法二）：原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+(2n-1-2n)(2n-1+2n) =-1+2+3+4+5+6+(2n-1)+2n =-=-n(2n+1)小结：1. 本课主要学习了求数列前n项和的方法： (1)、直接求和法，即直接运用等差（等比）数列的前n项和公式求和。 (2)、逆序求和法； （3）、错项相消法； （4）、公式法； （5）、裂项相消法：主要适用于通项的分母为两个因式的积，分子为常数的数列求和。作业布置：1、求Sn=1+ + 2、