广东省佛山一中高二数学上学期期中试题 理（含解析）.docVIP

2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分每题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1直线x+3y+1=0的倾斜角是( )abcd2已知a（2，4）与b（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )ax+y=0bxy=0cx+y6=0dxy+1=03如图，abcda1b1c1d1为正方体，下面结论错误的是( )abd平面cb1d1bac1bdcac1平面cb1d1d异面直线ad与cb1所成的角为604长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )ab125c50d1255如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )ab2c3d46正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )a75b60c45d307如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )aa2ba2c2a2d2a28在如图的正方体中，m、n分别为棱bc和棱cc1的中点，则异面直线ac和mn所成的角为( )a30b45c60d909在下列条件中，可判断平面与平行的是( )a，且bm，n是两条异面直线，且m，n，m，ncm，n是内的两条直线，且m，nd内存在不共线的三点到的距离相等10一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为( )a1bc2d211如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段ac1上有两个动点e，f，且ef=给出下列四个结论：cebd；三棱锥ebcf的体积为定值；bef在底面abcd内的正投影是面积为定值的三角形；在平面abcd内存在无数条与平面dea1平行的直线其中，正确结论的个数是( )a1b2c3d412设p，q分别为直线xy=0和圆x2+（y6）2=2上的点，则|pq|的最小值为( )abcd4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（几何证明选讲选做题）如图，在矩形abcd中，bc=3，beac，垂足为e，则ed=_14已知直线m：x+y2=0与圆c：（x1）2+（y2）2=1相交于a，b两点，则弦长|ab|=_15如图，在abc中，ab=ac，以bc为直径的半圆o与边ab相交于点d，切线deac，垂足为点e则=_16已知光线经过点a（1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点b（1，4），则反射光线所在直线方程为_三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，直线pa与圆相切于点a，过p作直线与圆交于c、d两点，点b在圆上，且pac=bcd（1）证明：abcd；（2）若pc=2ac，求18已知圆心c（1，2），且经过点（0，1）（）写出圆c的标准方程；（）过点p（2，1）作圆c的切线，求切线的方程及切线的长19如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，d，d1分别是bc，b1c1的中点（1）求证：adc1d；（2）求证：平面adc1平面a1d1b20如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abc=pad=90，侧面pad底面abcd，若pa=ab=bc=，ad=1（i）求证：cd平面pac（ii）侧棱pa上是否存在点e，使得be平面pcd？若存在，指出点e的位置，并证明，若不存在，请说明理由21如图（1），在直角梯形abcd中，adc=90，cdab，ab=4，ad=cd=2将adc沿ac折起，使平面acd平面abc，得到几何体dabc，如图所示（2）（1）求几何体dabc的体积；（2）求二面角dabc的正切值；（3）求几何体dabc的外接球的表面积22如图1，直角梯形abcd中，abcd，abc=90，cd=2ab=4，bc=2aebc交cd于点e，点g，h分别在线段da，de上，且ghae将图1中的aed沿ae翻折，使平面ade平面abce（如图2所示），连结bd、cd，ac、be（）求证：平面dac平面deb；（）当三棱锥bghe的体积最大时，求直线bg与平面bcd所成角的正弦值2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分每题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1直线x+3y+1=0的倾斜角是( )abcd【考点】直线的倾斜角【专题】计算题；直线与圆【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是，倾斜角是，故选：d【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题2已知a（2，4）与b（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为( )ax+y=0bxy=0cx+y6=0dxy+1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】计算题【分析】先求出线段ab的中点坐标，线段ab的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程【解答】解：由题意得直线l是线段ab的中垂线 线段ab的中点为d（，），线段ab的斜率为 k=1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y=1（x），即xy+1=0，故选 d【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键3如图，abcda1b1c1d1为正方体，下面结论错误的是( )abd平面cb1d1bac1bdcac1平面cb1d1d异面直线ad与cb1所成的角为60【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】a中因为bdb1d1可判，b和c中可由三垂线定理进行证明；而d中因为cb1d1a，所以d1ad即为异面直线所成的角，d1ad=45【解答】解：a中因为bdb1d1，正确；b中因为acbd，由三垂线定理知正确；c中有三垂线定理可知ac1b1d1，ac1b1c，故正确；d中显然异面直线ad与cb1所成的角为45故选d【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力4长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )ab125c50d125【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：设球的半径为r，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2r）2=32+42+52=50，r=v球=r3=故选a【点评】本题考查球的体积，球的内接体，考查计算能力，是基础题5如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是( )ab2c3d4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选c【点评】本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键6正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )a75b60c45d30【考点】棱锥的结构特征；与二面角有关的立体几何综合题【专题】数形结合【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角【解答】解析：如图，四棱锥pabcd中，过p作po平面abcd于o，连接ao则ao是ap在底面abcd上的射影pao即为所求线面角，ao=，pa=1，cospao=pao=45，即所求线面角为45故选 c【点评】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想7如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )aa2ba2c2a2d2a2【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半由于y轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积【解答】解：由斜二测画法的规则知与x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，原平面图形的面积为=故选：c【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化8在如图的正方体中，m、n分别为棱bc和棱cc1的中点，则异面直线ac和mn所成的角为( )a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】常规题型【分析】连接c1b，d1a，ac，d1c，将mn平移到d1a，根据异面直线所成角的定义可知d1ac为异面直线ac和mn所成的角，而三角形d1ac为等边三角形，即可求出此角【解答】解：连接c1b，d1a，ac，d1c，mnc1bd1ad1ac为异面直线ac和mn所成的角而三角形d1ac为等边三角形d1ac=60故选c【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题9在下列条件中，可判断平面与平行的是( )a，且bm，n是两条异面直线，且m，n，m，ncm，n是内的两条直线，且m，nd内存在不共线的三点到的距离相等【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】通过举反例推断a、c、d是错误的，即可得到结果【解答】解：a中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误b中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；c中：如果这两条直线平行，那么平面与可能相交，所以c错误d中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到的距离相等，这两个平面相交，b错误故选b【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题10一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为( )a1bc2d2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】空间位置关系与距离【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高【解答】解：设圆锥的底面半径为r，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为，r（r+3r）=，解得：r=，l=，故圆锥的高h=，故选：b【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键11如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段ac1上有两个动点e，f，且ef=给出下列四个结论：cebd；三棱锥ebcf的体积为定值；bef在底面abcd内的正投影是面积为定值的三角形；在平面abcd内存在无数条与平面dea1平行的直线其中，正确结论的个数是( )a1b2c3d4【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由bd平面acc1，知bdce；由点c到直线ef的距离是定值，点b到平面cef的距离也是定值，知三棱锥bcef的体积为定值；线段ef在底面上的正投影是线段gh，故bef在底面abcd内的投影是bgh，由此能导出bgh的面积是定值；设平面abcd与平面dea1的交线为l，则在平面abcd内与直线l平行的直线有无数条【解答】解：bd平面acc1，bdce，故正确；点c到直线ef的距离是定值，点b到平面cef的距离也是定值，三棱锥bcef的体积为定值，故正确；线段ef在底面上的正投影是线段gh，bef在底面abcd内的投影是bgh，线段ef的长是定值，线段gh是定值，从而bgh的面积是定值，故正确；设平面abcd与平面dea1的交线为l，则在平面abcd内与直线l平行的直线有无数条，故对故选d【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征12设p，q分别为直线xy=0和圆x2+（y6）2=2上的点，则|pq|的最小值为( )abcd4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】先由条件求得圆心（0，6）到直线xy=0的距离为d的值，则d减去半径，即为所求【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线xy=0的距离为d=3，圆的半径r=，故|pq|的最小值为dr=2，故选：a【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（几何证明选讲选做题）如图，在矩形abcd中，bc=3，beac，垂足为e，则ed=【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由矩形abcd，得到三角形abc为直角三角形，由ab与bc的长，利用勾股定理求出ac的长，进而得到ab为ac的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到acb=30，且利用射影定理求出ec的长，在三角形ecd中，利用余弦定理即可求出ed的长【解答】解：矩形abcd，abc=90，在rtabc中，ab=，bc=3，根据勾股定理得：ac=2，ab=ac，即acb=30，ec=，ecd=60，在ecd中，cd=ab=，ec=，根据余弦定理得：ed2=ec2+cd22eccdcosecd=+3=，则ed=故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14已知直线m：x+y2=0与圆c：（x1）2+（y2）2=1相交于a，b两点，则弦长|ab|=【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线m：x+y2=0的距离d，即可得出弦长|ab|【解答】解：由圆（x1）2+（y2）2=1，可得圆心m（1，2），半径r=1圆心到直线m：x+y2=0的距离d=弦长|ab|=2=故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，属于基础题15如图，在abc中，ab=ac，以bc为直径的半圆o与边ab相交于点d，切线deac，垂足为点e则=【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题【分析】先判断abc是等边三角形在直角ade中，a=60，可得ad=2ae，在直角adc中，a=60，可得ac=2ad，从而ac=4ae，故可得结论【解答】解：连接od，cdde是圆的切线，odde，又deac，odac；ab=ac，bd=od；又od=ob，ob=od=bd，bdo是等边三角形，b=60，ab=ac，abc是等边三角形在直角ade中，a=60，ad=2ae，在直角adc中，a=60，ac=2ad，ac=4ae=故答案为：【点评】本题考查圆的切线，考查比例线段，属于基础题16已知光线经过点a（1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点b（1，4），则反射光线所在直线方程为5x+y9=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】先求出a（1，2）关于直线y=x对称的点的坐标，代入直线方程即可【解答】解：设a（1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，反射光线的斜率为：k=5，反射光线的直线方程为：y4=5（x1），即5x+y9=0，故答案为：5x+y9=0【点评】本题考查了求直线的方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，直线pa与圆相切于点a，过p作直线与圆交于c、d两点，点b在圆上，且pac=bcd（1）证明：abcd；（2）若pc=2ac，求【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（1）证明abc=bcd，即可证明abcd；（2）若pc=2ac，证明paccba，即可求【解答】（1）证明：直线pa与圆相切于点a，过p作直线与圆交于c、d两点，pac=abcpac=bcdabc=bcdabcd（2）解：由（1）得abcd，pac=abcbac=acppaccba=2【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18已知圆心c（1，2），且经过点（0，1）（）写出圆c的标准方程；（）过点p（2，1）作圆c的切线，求切线的方程及切线的长【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】（）求出圆的半径，即可写出圆c的标准方程；（）利用点斜式设出过点p（2，1）作圆c的切线方程，通过圆心到切线的距离等于半径，求出切线的斜率，然后求出方程，通过切线的长、半径以及圆心与p点的距离满足勾股定理，求出切线长【解答】解（）圆心c（1，2），且经过点（0，1）圆c的半径，圆c的标准方程：（x1）2+（y2）2=2，（）设过点p（2，1）的切线方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0，有：，k26k7=0，解得k=7或k=1，所求切线的方程为7xy15=0或x+y1=0，由圆的性质可知：（14分）【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的应用，勾股定理是求解切线长的有效方法，也可以求出一个切点坐标利用两点间距离公式求解，考查计算能力19如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，d，d1分别是bc，b1c1的中点（1）求证：adc1d；（2）求证：平面adc1平面a1d1b【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可【解答】（1）证明：底面边长均为2，d是bc中点，adbc三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，ad平面abc，adbb1bc平面b1bcc1，bb1平面b1bcc1，bcbb1=b，ad平面b1bcc1，dc1面b1bcc1，addc1（2）证明：连结a1c交于ac1o，连结do，如图示：o是正方形acc1a1对角线的交点o为a1c中点d是bc的中点oda1b，且od平面adc1，a1b平面adc1a1b平面adc1d，d1分别是bc，b1c1的中点，aa1dd1，aa1=dd1，四边形aa1d1d是平行四边形ada1d1a1d1平面adb1，ad平面adb1，a1d1平面adb1a1d1a1b=a1，平面adc1平面a1d1b【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题20如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abc=pad=90，侧面pad底面abcd，若pa=ab=bc=，ad=1（i）求证：cd平面pac（ii）侧棱pa上是否存在点e，使得be平面pcd？若存在，指出点e的位置，并证明，若不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（i）由面面垂直的性质证出pa底面abcd，可得pacd在底面梯形abcd中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出cd2+ac2=1=ad2，从而accd最后利用线面垂直的判定定理，即可证出cd平面pac；（ii）取pd的中点f，连结be、ef、fc利用三角形的中位线定理和已知条件bcad且bc=ad，证出四边形befc为平行四边形，可得becf最后利用线面平行判定定理，即可证出be平面pcd【解答】解：（i）pad=90，paad又侧面pad底面abcd，pa侧面pad，且侧面pad底面abcd=ad，pa底面abcdcd底面abcd，pacd在底面abcd中，abc=bad=90，pa=ab=bc=，ad=1ac=，cab=cad=45cad中由余弦定理，得cd=可得cd2+ac2=1=ad2，得accd又pa、ac是平面pac内的相交直线，cd平面pac（ii）在pa上存在中点e，使得be平面pcd，证明如下：设pd的中点为f，连结be、ef、fc，则ef是pad的中位线，efad，且ef=adbcad，bc=ad，bcef，且bc=ef，四边形befc为平行四边形，becfbe平面pcd，cf平面pcd，be平面pcd【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题21如图（1），在直角梯形abcd中，adc=90，cdab，ab=4，ad=cd=2将adc沿ac折起，使平面acd平面abc，得到几何体dabc，如图所示（2）（1）求几何体dabc的体积；（2）求二面角dabc的正切值；（3）求几何体dabc的外接球的表面积【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由高和底面积，求得三棱锥bacd的体积即是几何体dabc的体积（2）记ac中点为e，过e作ehab，连结de，dh，证明dhe是二面角dabc的平面角，即可求二面角dabc的正切值；（3）o为ab中点，e为ac中点，连结de，eo，do，dabc的外接球的球心为o，半径为2，即可求几何体dabc的外接球的表面积【解答】解：（1）在直角梯形中，知ac=bc=2，ac2+bc2=ab2，acbc取ac中点o，连接do，则doac，又平面adc平面abc，且平面adc平面abc=ac，do平面acd，从而od平面abc，odbc，又acbc，acod=o，bc平面acd，sacd=22=2，三棱锥bacd的体积为：=，由等积性知几何体dabc的体积为：；（2）记ac中点为e，过e作ehab，连结de，dh，ad=dc，e为ac中点，deac，平面平面acd平面abc，平面acd平面abc=ac，de平面acb，deab，又ehab，且dehe=e，ab平面dhe，dhab，dhe是二面角dabc的平面角de=，he=1，tandhe=；（3）o为ab中点，e为ac中点，连结de，eo，do，de平面acb，de=oe=，deoe，do=2又ao=bo=co=2，dabc的外接球的球心为o，半径为2，dabc的外接球的表面积为16【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法22如图1，直角梯形abcd中，abcd，abc=90，cd=2ab=