高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4.ppt

2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义 3 掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律 并能运用这些性质与运算律解决有关问题 1 2 3 1 平面向量的数量积 1 2 3 名师点拨1 两个向量a与b的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当a 0 b 0 0 90 时 也可以为负 当a 0 b 0 90 180 时 还可以为0 当a 0或b 0或 90 时 2 向量b在a的方向上的投影不是向量而是数量 如图 即为 b cos 它的符号取决于 角的范围 3 a b也等于 b 与a在b的方向上的投影的乘积 其中a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的 1 2 3 做一做1 2 已知 a 2 向量a与向量b的夹角为120 则向量a在向量b方向上的投影等于 a 2b 120 c 1d 由向量b的长度确定解析 a cos120 2cos120 1 答案 c 1 2 3 2 运算律 名师点拨1 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但对于向量的数量积 该推理不正确 即a b b ca c 2 对于实数a b c有 ab c a bc 但对于向量a b c a b c a b c 一般不成立 这是因为 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 所以 a b c a b c 一般不成立 1 2 3 做一做2 有下列各式 a b a b a b a b a b a b c a c b c a b c a b c 其中正确的个数为 a 4b 3c 2d 1解析 正确 答案 c 1 2 3 3 向量数量积的性质设a b为两个非零向量 a与b的夹角为 1 2 3 归纳总结1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a2 b2 a b a b 1 2 3 向量的数量积 向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系剖析 从运算的定义 表示方法 性质和几何意义上来分析对比 1 从定义上看 两个向量数量积的结果是一个实数 而不是向量 向量数乘的结果是一个向量 其长度是原向量长度的倍数 两个实数的积是一个实数 2 从运算的表示方法上看 两个向量a b的数量积称为内积 写成a b 大学里还要学到两个向量的外积a b 而a b是两个向量的数量积 因此书写时要严格区分 符号 在向量运算中既不能省略 也不能用 代替 向量的数乘的写法同单项式的写法 实数的乘法的写法我们就非常熟悉了 3 从运算的性质上看 在向量的数量积中 若a b 0 则a 0或b 0或a b 在向量的数乘中 若 a 0 则 0或a 0 在实数的乘法中 若ab 0 则a 0或b 0 在向量的数量积中 a b b c b 0或a c或b a c 在向量的数乘中 a b r a b或 0 在实数的乘法中 ab bc a c或b 0 在向量的数量积中 一般 a b c a b c 在向量的数乘中 m a ma r m r 在实数的乘法中 有 ab c a bc 4 从几何意义上来看 在向量的数量积中 a b的几何意义是a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos 的乘积 在向量的数乘中 a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的 倍 在实数的乘法中 ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a b到原点的距离的积 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例1 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 则b 3a b 的值为 解析 b 3a b 3a b b 2 3 a b cos120 16 8 答案 8反思已知向量a与b的夹角为 且 a m b n 求 xa yb sa tb 其中x y s t m n r 且m 0 n 0 其步骤是 1 先求a b 2 化简 xa yb sa tb xs a 2 xt ys a b yt b 2 3 将a b a b 代入即可 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例1 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 则b 3a b 的值为 解析 b 3a b 3a b b 2 3 a b cos120 16 8 答案 8反思已知向量a与b的夹角为 且 a m b n 求 xa yb sa tb 其中x y s t m n r 且m 0 n 0 其步骤是 1 先求a b 2 化简 xa yb sa tb xs a 2 xt ys a b yt b 2 3 将a b a b 代入即可 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 求向量xa yb的模 主要用 a 2 a2 a a求解 2 已知不共线的向量a与b 求 xa yb x y r 时 其步骤 1 求a b 2 求 xa yb 2 x2 a 2 2xya b y2 b 2 3 求 xa yb 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例4 已知向量a b不共线 且 2a b a 2b 求证 a b a b 分析 证明a b与a b垂直 可转化为证明a b与a b的数量积为零 证明 2a b a 2b 2a b 2 a 2b 2 4a2 4a b b2 a2 4a b 4b2 a2 b2 a b a b a2 b2 0 又a与b不共线 a b 0 a b 0 a b a b 反思证明a b 通常转化为证明a b 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 已知 a 3 b 2 a与b的夹角为60 c 3a 5b d ma 3b 若c d 求m的值 解 c d c d 0 又c d 3a 5b ma 3b 3ma2 5m 9 a b 15b2 27m 3 5m 9 60 42m 87 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析 易知a b c 0 分别将a b c移至等号右边 得到三个等式 分别平方 选取两个等式相减 即可得到a b c中两个向量的长度之间的关系 题型一