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阿贝-波特实验中基于傅里叶变换的图像研究【摘要】：本文利用阿贝-波特实验装置和空间滤波系统，从改变频谱入手改造一幅光学图像，进行光学信息处理。并从空间频率滤波的傅里叶分析出发，讨论了空间滤波实验中光栅像频率的变化。在此基础上，在Matlab计算机环境中完成滤波成像仿真，从而实现数字图像的处理。【关键词】：阿贝-波特实验；空间滤波；傅里叶分析；频谱面；图像0引言近年来，作为傅里叶光学实际应用的全息术和光学信息处理发展是极为迅速的，把傅里叶变换引入光学，在形式和内容上都已成为信息光学发展的起点。所谓光学信息处理时指基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程7.参考文献1 何钰.阿贝成像原理和空间滤波实验及计算机模拟实验J物理与工程，2006,o43:19-231。光学信息处理中最典型的实验是阿贝一波特实验，如果根据需要在该实验的频谱面上放置不同的滤波器,挡去频谱某些空间频率成分，则会使像发生变化，得到各种具有相应空间结构的输出像2 陈鹤鸣，胡长贵.空间滤波实验中光栅像频率变化的讨论J南京邮电学院学报，1994，O438:87-902。空间滤波就是在光学系统的频谱面上放置各空间滤波器，选择通过某些空间频率或者改变它们的振幅和相位，使二维物体按照要求得到改善。这也是相干光学处理的实质所在。当满足一定的条件时，像的频率会发生相应的变化。这种用简单模板做滤波的方法 , 直到今天 , 在图像处理中仍然有广泛的应用价值。1. “阿贝-波特空间滤波实验”实验原理1.1 成像原理的特点如果用一束平行光照明物体，按照传统的成像原理，物体上任一点都成了一次波源，辐射前面波，经透镜的会聚作用，各个发散的球面波转变为会聚的球面波，球面波的中心就是物体上的某一点的像。一个复杂的物体可以看成是无数亮度不同的点构成，所有的这些点经透镜的作用在像平面上形成像点，像点重新叠加构成物体的像。这种传统的成像原理只着眼于点的对应，物像之间是点点对应关系。然而阿贝成像原理认为，透镜的成像过程可以分为两步：一步是通过物的衍射光在透镜后焦面上形成空间频谱，这是衍射引起的“分频”作用；一步是代表不同方向频率的各光束在像平面上相干叠加而形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。成像过程的这两步本质上就是两次傅里叶变换。如果这两次傅里叶变换是完全理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似。1.2 原理简介设在光栅位置的 x, y 平面上有一个光场的复振幅分布 f ( x , y) , 其傅里叶变换为 : （1-1）傅里叶逆变换为 : （1-2）这里积分的物理意义是：一个复杂的衍射波，可以分解成许多不同空间频率（对应不同传播方向）的平面波叠加。如图1-1所示，物是一个光栅，垂直入射的平面相干光照明，在透镜后得到光栅的像。按照阿贝成像理论，相干光照明光栅时，光栅对光波进行第一次衍射，衍射光通过透镜在透镜的后焦面上形成光栅的傅里叶频谱(傅里叶变换见公式( 1-1 )、(1-2 ) )，即照明光源的各级衍射像（光斑阵列）3 刘全金，叶景.基于MATLAB环境的阿贝-波特空间滤波实验仿真J安庆师范学院学报（自然科学版），2009:108-1123。 光栅 物镜 频谱面 物平面图1-1该过程亦可解释为对物进行的第一次傅里叶变换，将物函数分解为一系列频谱分量，透镜的后焦面为物的频谱面，这是第一次成像过程。第二次衍射是在焦平面和像平面之间进行的，照明光源的各级衍射像在像平面上叠加形成干涉条纹，频谱面和像面上的光波场分布满足傅里叶变换关系，实际上这是完成了一次夫琅禾费衍射过程，等于又经历了一次傅里叶变换。这两次衍射的结果得到了光栅的像。总而言之，成像的这个两个步骤本质上就是两次傅立叶变换。第一步是把物面光厂的空间分布g(x,y) 变为频谱面上的空间频率分布 G(x,y）。第二步是在做一次变换，又将G(x,y) 还原到空间分布 g(x,y)。根据傅立叶分析可知,频谱面上的光场分布与物的结构密切相关，原点附近分布着物的低频信息,即傅立叶低频分量；离原点较远处分布着物的较高的频率信息，即傅立叶高频分量.根据阿贝二次成像原理，使我们有可能利用空间滤波的方法来改造图像，即通过改造空间频谱结构的手段来满足不同的需要。比如在频谱面上放置各种振幅型滤波器，以各种方式改变物的频谱结构，在像面上可观察到各种与物不同的像。. 阿贝-波特空间滤波实验仿真用Matlab来实现图像的傅里叶分析与空间滤波，Matlab集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一身，可以用来构建本次实验的物理模型，从而促进物理现象的研究。空间滤波就是利用透镜的傅立叶变换特性,把透镜作为一个频谱分析仪,利用空间滤波的方式在频谱面上人为选择参与成像的空间频率成分 ,得到反映物体不同特征的图像。空间滤波实验装置采用系统(三透镜系统),如图2-1 所示,其中L1、L2、L3分别起着准直、变换、成像的作用;滤波器置于频谱面(即变换透镜L2 后焦面) .用计算机实现阿贝-波特空间滤波仿真实验, 首先要处理复振幅与其频谱之间的傅里叶变换与逆变换; 其次是显示物、像及频谱的图像4 钟季康，鲍鸿吉.大学物理习题计算机解法MATLAB编程应用M机械工业出版社，2008.14。对图像进行傅立叶变换得到相应的频谱分布.这一步骤相当于实验中透镜L2 所起的傅立叶变换的作用. 设置低通滤波器 ,即设计一个合适的窗函数.采用具有平滑性能的二维汉宁窗来提取频谱结构的低频成分将窗函数与频谱相乘 ,就得到频谱面后的光场复振幅 ,这一步骤相当于实验中在频谱面上设置滤波器进行空间滤波的作用.对改造后的频谱结构进行逆傅立叶变换 ,这一步骤相当于实验中透镜 L3 所起的傅立叶变换的作用.在输出面上得到的是光场复振幅的傅立叶逆变换.显示出改造后的图像图2-1（一） 构建光栅数据 flinewidth= 3; %光栅水平线宽度linespan= 15; %光栅间的跨度f= zeros( 200, 200) ; %生成 200*200 的图像for i= 1: linewidthf( i: linespan: end, : ) = 1;endfor i= 1: linewidthf( : , i: linespan: end) = 1;end左图为上述程序生成的光栅图像。（二）对光栅数据进行傅里叶变换pq( 1) = 2nextpow 2( 2* size( f, 1) - 1) ; %设置扩充后的行数pq( 2) = 2nextpow 2( 2* size( f, 2) - 1) ; %设置扩充后的列数F= fft2( f, pq( 1) , pq( 2) ) ; %对光栅进行快速傅里叶变换（三）构建不同形状的光阑数据 H( 即滤波器) , 并以图像方式显示 H H= filter pass( pq) ; 圆孔低通光阑滤波: functio n H = lowpass( pq, low ) ;圆孔高通光阑滤波: H= 1- low pass( qp,low);圆环带通光阑滤波: H = low pass( qp, high) -low pass( qp, low )方向光阑滤波: H = zer os( pq) ; dw = floo r( ( pq( 1) - linew idth) / 2) ; H ( dw : dw - 1+ linew idt h, : ) = 1; 而H = imro tate( H , angle, bilinear , cro p ) ; %表示将 H 旋转 ang le度（四）对光栅 F 与光阑 H 的乘积进行傅里叶逆变换G= ifft2( H . * F) ; %快速傅里叶逆变换g= r eal( G) ; %图像数据为实数, 变换后虚部可忽略,取其实部g= g ( 1: size( f, 1) , 1: size( f, 2) ) %还原的图像, 因为变换空间为补零后的扩充（五）以图像方式显示光栅经滤波器后的图像imshow( g, ) ; %显示还原后的光栅图像如下光栅通过光阑的图像5 张志涌，杨祖樱.MATLAB教程（R2008a）M北京航空航天大学出版社，2006.85上图为通过圆孔低通光阑滤波 上图为圆孔高通光阑滤波 上图为圆环带通光阑滤波上图为水平方向光阑滤波 上图为水平方向光阑旋转 上图十字光阑滤波(即水平方 45度得到的滤波器 向与垂直方向滤波的叠加）3. “阿贝-波特空间滤波实验”实验验证3.1实验目的这次实验分两方面进行：一方面要用改变频谱的手段来改变像平面的图像，在实验过程中确定物平面和频谱面，并利用空间滤波技术根据需要滤去低频或高频信息，而突出另外一部分。一方面以不同取向的光栅调制物面上的不同部位，经过滤波器使像面上各相应部位呈现不同彩色。并根据傅里叶变换的卷积定理解释卷积现象。从而了解傅里叶光学中的空间频谱和空间滤波的概念，熟悉阿贝成像原理，认识到简单的空间滤波在光学信息处理中的应用。3.2实验仪器凸透镜L1，L2，凸透镜L，白屏，可调狭缝，毛玻璃，正交光栅如细丝网格状物，圆孔光阑各一个，氦氖激光器，溴钨灯，薄膜光栅，导轨3.3实验内容3.3.1光路的调节 滤波光路图如下激光器 L1 L2 物面 L 频谱面 像面F1 F2 F 本实验先以氦氖激光器作为光源，光路调节要做到共轴调节、两透镜共焦调节。1.共轴调节首先调节激光束平行于导轨然后逐个加入各光学元件，使激光束通过各元件中心6 陈怀琳.普通物理实验指导M北京大学出版社，1990.76。2. 由光通过L1、L2薄透镜产生平行光，平行光的简单检查方法是用毛玻璃从L后面向右方移动，移动过程中，要求光斑直径不变。实验装置图如下：3.3.2物平面、频谱面的确定物平面的确定：当用相干光照明时，在物前放一毛玻璃，即用扩展光源照明物，焦深将显著缩小移动乙，在屏幕上可找到最佳成像位置当然，调好后即将毛玻璃去掉。频谱面的确定：频谱面也就是L的后焦面，可用散斑来确定即在焦面附近放一块毛玻璃，在毛玻璃后约30cm处放一张纸，毛玻璃上受到激光照明的每一点都是相干点光源。毛玻璃上光斑愈小，则散斑愈粗。调节毛玻璃位置，直到纸上散斑最粗。这时毛玻璃位置就是频谱面。散斑如右图所示： 3.3.3具体实验与图像数据：实验1滤波实验：以每毫米几十条的二维正交光栅为物，光路图见上述滤波光路图，调节光栅使得像的条纹分别处于垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是正交光栅的夫琅禾费衍射（即正交光栅的傅里叶频谱），而在像平面上则看到正交光栅的放大像。像如下图所示：如果在频谱面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹。也就是说，零级相应于直流分量，也可理解为函数的傅里叶变换为1.如果换用方向滤波器作空间滤波器放在频谱面上，狭缝处于竖直方位时，像屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹；当然横条纹也可看做几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹。吧狭缝转到水平方向观察像屏上条纹取向。如图3-1、图3-2 图3-1：狭缝处于竖直方位 图3-2：狭缝处于水平方位再将方向滤波器转45度角，此时观察到像平面上条纹与滤波器相反方向转45度角。见图3-3、3-4 图3-3 图3-4如果用高通滤波即用带有透明小圆点波片，挡住0级频谱，透过其余各级，这时将发生栅格反转。如果用低通滤波即用可变孔径的圆形光阑，逐渐地滤去周围的高频分量，可以滤除图像中的颗粒、毛刺，令像轮廓光滑。这些现象就是改变频谱结构，就改变像的结构。 实验2调制：装置图如下：以溴钨灯的白光点源照明，经适当的滤波器后，像面上各相应部位呈现不同的彩色。光路图见图3-5，L1起聚光作用，在L1后聚光亮点处设滤波器F，注意使S、L1距离大于L1、F距离，以获得较小的亮点，物紧靠在L1后，F后设L2，L2把物的像成在Q屏上，为了得到较亮的像，最好物、L1距离大于或等于L2、Q距离.溴钨灯 L1 F L2 光阑 屏P图3-5将薄膜光栅分别剪成蓝天、房子、草地等形状，各部分光栅有不同的取向，相互间有60度夹角。光源前放一小孔，聚光透镜L1将小孔成像于透镜L2前约lcm处，L2又将物成像于屏幕P，当物由发散光照明时，光源的成像面就是物的频谱面因此在这光路中频谱面就是小孔的像面。把白纸放在频谱面上，衍射图中三行不同取向的衍射斑相应于不同取向的光栅，即蓝天、房子、草地三部分，这些衍射极大值除零级没有色散外，一级和二级都有色散。波长短的光衍射角较小，故同一级衍射光中蓝光较靠近光轴，绿光次之，红光衍射角最大。调节滤波器使相应于房子光栅的红色衍射光通过，同样使相应于草地的绿色衍射光通过，使相应于蓝天的蓝色光通过，则在像面上出现蓝色的天、红色房子、绿色草地。当改变滤波器通光位置时，图像颜色也有相应变化。图3-6图3-6是在像屏上看到几何像的两边对称地重复地出现彩色光带，它们以零级为中心对应于衍射的1,2级光谱，同一条彩色带中，紫光波长最短，偏折最小；红光波长最长，偏折最大，不同级的彩色光带，级数越宽即色散越大。光栅仪器的主要功能是分光，即把复色光分成单色光。若入射的光波含有不同波长，其中每个波长的单色光都将形成各自的衍射花样，条纹依不同波长而彼此错开。分析一下衍射图样可知，零级衍射斑主极大，处在衍射条纹中心；高级衍射条纹处次极大，衍射后绝大部分光能量集中在零级衍射斑内；暗斑处极小，位置在 m=1,2,3；零级亮斑的宽窄与缝宽成反比，缝越窄对光束限制越大，光衍射条纹越弥散，衍射效应越强，越大，衍射效应越强。3.4实验验证理论分析为了证明原理的正确性,用黑白光栅作为物，拍下频谱面未加滤波器时和滤去1级频谱后光栅像的照片，由于透镜的低通滤波特性,实验过程中总有一部分角度较大的衍射光(高频信息)不能进入透镜而失掉，使像的边界变得不锐，细节变得模糊，因此照片上的结果与理论分析结果略有差异7 宋胜华，时立华，朱伟利.经典阿贝-波特和空间滤波学生实验系统的优化设计及实验验证J中央民族大学学报，2005.5 :164-1707。其实透镜除了具有成像的性质外，还能做傅里叶变换,它对入射光波具有位相调制的作用，也就是透镜二次位相因子的作用。下面我们来讨论物体置于透镜前和透镜后的傅里叶变换。首先，若把物从光栅推广到一般情况，以U（x,y）表示物平面上物光的复振幅分布，如图3-7所示，当单色平行光透过置于物平面上的光栅（刻痕顺着y轴，垂直于x轴）后，衍射出沿不同方向传播的平行光束，其波阵面垂直于面（z沿透镜光轴），经透镜聚焦，在其焦平面上形成沿轴分布的各具不同强度的衍射斑，继而从各斑点发出的球面光波到达像平面，相干叠加形成的光强分布就是光栅刻痕的放大实像。图3-7经过傅里叶变换同样可以分解成各种不同振幅向空间各个方向传播的平面波，被透镜会聚于频谱面的不同位置处。若物函数不是简单的周期函数，这种分解也将变成连续频谱函数，频谱面上坐标点对应的空间频率，。傅里叶变换以积分形式表达为：（其中式中c及c是常数。）把频谱函数再做一次逆变换即获得像函数,可以证明在理想的变换条件下有表明像场函数与物函数完全相似。其次，使用方向滤波器时，本实验是用狭缝作为滤波器，将狭缝放在沿x轴方向，则只有沿x轴方向衍射的物面信息能通过，所以在像面上就突出了平行于y轴方向的线条。相反就突出了平行于x轴方向的线条。再次，低通滤波的作用是滤去高频成分，保留低频成分。低通滤波器设计成圆形光孔，就是因为低频成分集中在频谱面的光轴附近，高频成分落在远离光轴的地方8 陈熙谋.物理演示实验M高等教育出版社，1982.118。而高频成分主要影响像的精细结构及突变部分，因此经低通滤波后的图像的精细结构消失，图像显的比较模糊。而高通滤波器的作用刚好和低通滤波相反，它是对低于某一给定频率以下的频率成分有衰减作用，而允许这个截频以上的频率成分通过，使高频信息反映出图像的突变部分。4. 傅里叶变换应用于图像研究4.1傅里叶变换的卷积定理傅里叶正变换是将图像分解为一组越来越小的正交归一图像，具有很高的压缩比，仍能够将原始数据完全恢复而不引入任何失真。选择满足要求的分量后，在变换域将频谱乘以传递函数，再进行傅里叶变换来实现。另外，它还可以将损失掉的图像部分恢复过来，这就利用到傅里叶卷积原理。卷积定理在研究空间滤波中是很有用的。例如有一个20mm-1的低频光栅，另有一个200mm-1的高频光栅，如将两光栅重叠起来，数学上就是相乘，则其频谱应为二者空间频谱的卷积。卷积的定义是设两个函数分别为，二者的卷积为此定理的性质是两函数乘积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的卷积，而两函数卷积的傅里叶变换则等于各自傅里叶变换的乘积。即：（其中函数G(x),H(x)分别是g(x),的傅里叶变换）空间滤波就是采用滤波处理的影像增强方法。其理论基础是空间卷积，简单讲就是改变像的频谱的物理过程。比如在调制实验中的样品可看为不同取向光栅分别与天、房子、草地形状的相乘故像中三个方向的1级衍射中分别有天、房子、草地的信息因此滤波后产生不同颜色的图形。而函数g(x,y)的空间频谱指二维空间分布函数g(x,y)的傅立叶变换式。当“光”字和正交光栅的重叠，把小圆孔移到中央以外的亮点上，让任意一光点例如(1，0)衍射光通过，在屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。4.2空间滤波的傅里叶分析空间滤波的傅里叶分析利用了透镜的傅里叶变换性质，采用图2-1所示的系统进行分析。设光栅的透过率函数为一组矩形函数(见图4-1)，图中d为缝间距，为缝宽，函数形式为：adB 图4-1栅状物可看成由无限个这样的狭缝构成，它是矩形函数和梳状函数的卷积，数学表达为： （4-1）若梳状物总宽度为B(如图所示)，则还应多乘一个因子，上式变为： （4-2）将物置于4f系统的输入面上，可在频谱面上得到它的傅里叶变换： （4-3）其中，,x为位置坐标，u为空间频率坐标。式中第一项为零级谱，第二、三项分别为正负一级谱，后面依次为高级频谱9 赵军芳.傅里叶变换在数学图像处理中的应用J国外电子测量技术，2004年第6期9。表现为频谱振幅分布图实际上是栅状物的夫琅和费衍射图样，其中心分别位于(m=0，士l，士2，)，其幅值受单缝衍射限制，所以它的包络是一个单缝夫琅和费衍射图样。输出面上得到的是（3)式的傅里叶逆变换，结果恰是原物的像，其振幅分布与原物相同。若在频谱面设置一滤波器，改变滤波器则可得到不同的输出。以下分三种情况进行讨论10 陈士谦，范玲，吴重庆.光信息科学与技术专业实验M清华大学出版社，2007.5 Abe potter in the experiment is based on the leaves change the image of the study Fourier Physical and mechanical engineering institute Physics2007050131 shuminwang Tutor：LipingMa【Abstract】: This article use the abe potter device and the space system filtering,from start to change the frequency of one image on an optical information processing.And from such as spatial frequency filtering, Fourier analysis of space based on the experiment incorporated the changes as the frequency of the grid. On this basis,complete the filter imaging simulation in the Matlab computer environment . And achieve the digital image processing.【key words】: Abe potter experiment ；Space filter ；Fourier analysis ；Spectrum face；Image 10：1. 滤波器是个通光狭缝，且只允许零级通过。滤波器的透过率函数为： （4-4）在滤波器后，只有(3)式中的第一项通过，其余项均被挡住，因而频谱面后的光振幅为： (4-5)，输出平面得到(5)式的逆变换： （4-6)（4-6）式表示一个强度均匀的亮区，其振幅衰减为，亮区宽度为B，与栅状物宽度相同，栅结构完全消失，这与实际结果相符(见图4-2左)2. 滤波器仍为狭缝，宽度增大，使0级、正、负一级频谱都能通过。滤波后的光振幅为(3)式的前三项。输出平