第六单元《百分数》教材分析.docVIP

本单元在整数、小数和分数，特别是分数的意义、性质以及应用的基础上编排，主要教学百分数的基础知识和实际应用。百分数用一种特定形式的分数，表示两个数或者两个同类数量之间的倍比关系。正是这种形式，使百分数能够很方便地进行表达和比较，在生活和生产中有极广泛的应用，尤其在统计时用得很多。也正是这种形式，使百分数与整数、小数、分数都有密切的联系。学生在学习百分数时，既需要运用整数、小数、分数的基础知识，又能对整数、小数、分数产生更加深刻的认识。全单元编排11道例题，具体安排见下表：例1百分数的意义和表示方法例2百分数和小数的相互改写例3百分数和分数相互改写例4例5求一个数是另一个数的百分之几的实际问题例6求一个数比另一个数多（少）百分之几的实际问题例7例8纳税和利息 求一个数的百分之几是多少的实际问题例9折扣 已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题例10例11稍复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题单元整理与练习从表格里可以看到，教材先安排三道例题，教学百分数的基础知识，包括百分数的意义、表示方法、与小数或分数的改写等内容。再安排八道例题，教学百分数的应用，依次是：求一个数是另一个数的百分之几；求一个数的百分之几是多少；已知一个数的百分之几是多少，求这个数。这样的内容结构，与分数的实际应用相一致，便于教学。纳税、利息、折扣都是百分数在日常生活中的应用，与每一个人都有关系。教材联系这些实际问题，把“求一个数的百分之几是多少”与“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”两类问题有机结合，让学生同时获得数学知识和生活经验。（一） 以分数和比的知识为生长点，教学百分数的意义百分数与分数、比都有联系。可以利用分数和百分数的共同属性，从分数引出百分数，初步揭示百分数的意义；还可以利用比和百分数的共同属性，从比的角度体会百分数，加强百分数的概念。例1对学校篮球队三场比赛的投篮情况进行分析。教材用统计表给出了每场比赛的投篮次数和投中次数，要学生想办法比较这三场比赛的投篮情况。这三场比赛，投篮次数各不相同，投中次数也互不一样，虽然可以比较投篮次数，也可以比较投中次数，但都不能很好地反映各场比赛的投篮水平。于是联系分数的知识与应用，想到“投中次数占投篮次数的几分之几”，通过比较三个分数的大小来评价三场比赛的投篮水平。教材因势利导，安排学生“先算出每场比赛投中次数占投篮次数的几分之几，再比一比”，让他们体会这种比较办法的合理性，也体会反映三场比赛投篮水平的三个分数是异分母分数，直接比较大小不大方便，需要通分化成同分母分数，才能看出哪一场比赛的投篮水平高一些。教材及时指出：为了便于统计和比较，通常把这些分数用分母是100的分数来表示。在这句话里给出了三个分数的公分母，学生可以利用这个公分母直接通分，这就避免了求三个数的公倍数的麻烦，能够节省通分的时间。这句话明确告诉学生：统计和比较通常用分母是100的分数。学生通过比较三个分母是100的分数的大小，能够顺利回答例题的问题，感受这样的分数确实方便问题的解决，从而产生进一步认识百分数的积极心向。例题的教学重点是百分数的意义。教材里写出了“表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数”。这可以看作是给百分数下的定义。教学要充分利用通分得到的三个分母是100的分数，让学生解释每个分数的具体含义，经过抽象与概括的过程，形成初步的百分数概念，知道百分数是分母为100的分数，它反映两个数量之间的倍比关系，即表示一个数是另一个数的百分之几。如：65/100表示投中的次数占投篮次数的一百分之六十五64/100表示投中的次数占投篮次数的一百分之六十四60/100表示投中的次数占投篮次数的一百分之六十表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数用百分数表示一个数与另一个数的倍比关系，要采用特定的表达形式。例题在教学百分数的意义之后，及时教学它的表达形式。指出百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“”，让学生明白百分号代表了分母100。例1的“试一试”，加强对百分数意义的理解。让学生把“男生人数是女生的4/5”先改写成分母是100的分数，再改写成后项是100的比。通过4/5写成4/5100，又一次体会百分数是分母为100的分数，它表示两个数量之间的倍比关系。通过4/5写成4/5100，感受百分数和比有关系，体会百分数相当于后项是100的比，换个角度理解百分数的意义。这也是人们把百分数又称为百分比的原因。让学生根据“六年级一班学生的近视率是20”，填写“（ ）的人数是全班人数的20”，又一次体会百分数表示的是一个数是另一个数的百分之几，加强了对百分数意义的理解。“练一练”第1题，每个大正方形里都有100个小方格，部分小方格涂了颜色，部分小方格空白。要求把大正方形看作“1”，用百分数分别表示涂色部分和空白部分。学生填写这些百分数时，一般会先想到分数（ ）/100，再写成百分数，这就感受了百分数的意义与特定的表达形式。而且，从涂色部分和空白部分一共100格，共同组成一个表示“1”的大正方形的事实，直观感受了7与93合起来是1，30与70合起来是1，95与5合起来是1，从而也就体会了百分数的简单计算方法。练习十四第111题着重练习百分数的意义，适量练习百分数的表示方法。即使是练习百分数的读与写，也联系了具体的数量关系，仍然要感受所读、所写百分数的意义。第1、2两题，在学生熟悉的，或者能够接受的数量关系里给出百分数，要求他们解释百分数的意义，深入体会百分数表示一个数是另一个数的百分之几。一般应说清楚两句话：把什么（哪一个数量）作为单位“1”，什么（哪一个数量）是单位“1”的百分之几。如我国西部地区的土地面积大约占全国的百分之七十一，人口大约占全国的百分之二十九，这组数量关系分别把全国土地面积和全国人口作为单位“1”，西部地区的土地占71，人口占29。第3题让学生明白分数有时表示两个数（数量）的倍比关系，有时表示一个数量的多少，百分数只能表示两个数（数量）的倍比关系。理解百分数与分数在意义上有一致的时候，也有不同的时候，进一步明晰百分数的概念。这道题里有五个分母是100的分数：97/100吨是一堆煤的质量，表示这堆煤有多少，它不具备“一个数是另一个数的百分之几”的含义，虽然分母是100，但却不是百分数，不能写成百分数的形式。75/100表示运走的煤与原来煤的质量关系，即运走煤的吨数是这堆煤原来吨数的75/100，显然它是一个百分数，可以写成75。类似地，50/100把46/100米作为单位“1”，表示23/100米与单位“1”的关系，它是百分数，可以写成50。而23/100米和46/100米都是确定的长度，不能看作百分数。第46题，把百分数与后项是100的比相互改写，加强对百分数的认识。百分数是分母为100的分数，因为分数能改写成比，所以百分数也能改写成比。由于百分数的分母是100，写成的比的后项总是100。反之，比也可以改写成百分数。教材给出的几个后项是100的比，都具有表示一个数是另一个数的百分之几的含义，都能够写成百分数。这几道题的改写，应该有上面说到的推理。经历这些推理过程，不仅能完成了改写，也能进一步体验百分数的意义。第7题用百分数表示鸡蛋、鸡肉、黄豆、带鱼、花生等食品的蛋白质含量与脂肪含量，很容易看出哪一种食物的蛋白质含量最高，哪一种食物的脂肪含量最低。充分体现了百分数有便于表达、便于比较的好处。第89题，从已知的百分数联想其他百分数，进行1加（减）百分之几的计算。这几题都要列出算式，为此应分析已知百分数的意义，找到作为单位“1”的数量，并用1表示它。如下载一份文件，已经完成65。这个百分数把一份文件看作“1”，还有1-65没有下载。又如至诚超市的营业额比佳美超市多20，这个百分数把佳美超市的营业额看成“1”，至诚超市的营业额对应的百分数是1+20。列出的算式还要计算，应该把1化成100参与运算，1-65就是100-65，1+20就是100+20。这些题的计算，当下的意义是有利于更好地理解百分数的意义，以后解决百分数问题还会经常用到。另外，第10、11两题的主要内容是，百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，不表示这两个数（数量）是多少。如参加学校团体操表演的男生人数占40，这个百分数只表示男生人数在总人数里占的份额。如果总人数多，男生人数也多；如果总人数少，男生人数也少。这是理解百分数意义不可缺少的认识。又如两个学校的女生人数都是学生总数的49，两个学校女生人数在学生总数里占的份额相同，而人数未必一定相同。（二） 创设把百分数与小数或分数改写的问题情境，在学生探索改写方法的基础上，适当点拨解决实际问题时，经常要把百分数改写成小数，或者把小数改写成百分数。在学生初步建立百分数概念以后，教学百分数与小数的相互改写，以及百分数与分数的相互改写，有利于他们进一步理解百分数的意义，也能为以后解决百分数的实际问题作准备。1. 例2把百分数与小数的相互改写结合起来教学，在比较一个小数与一个百分数大小的现实情境中，既把小数改写成百分数，又把百分数改写成小数，充分应用百分数的特点进行改写的推理。例题创设的现实情境是学校田径队队员进行仰卧起坐练习，王红完成了指定个数的1.15倍，李芳完成了指定个数的110。比较王红和李芳谁完成的仰卧起坐个数多，其实是比较1.15和110两个数的大小。学生在现实的问题情境里首先能体会到，比较不同形式的数的大小，是客观的需要。然后能体会两个数的形式不同，难以直接看出谁大、谁小。于是产生把百分数化成小数，或者把小数化成百分数的动机。“萝卜”卡通把小数化成百分数。根据小数的意义，两位小数表示百分之几，可以写成分母是100的分数，再写成百分数就容易了。“番茄”卡通根据百分数的特点，把百分数写成分母为100的分数，再化成小数也不难了。教学应该把重点放在引导学生自主改写，以及交流改写方法上面。儿童的年龄特点告诉我们，多数学生会把学习例题的心向，放在比较数的大小和回答实际问题上，他们虽然开展了百分数与小数之间的改写活动，但体验不会很深刻。所以，例题暂时不归纳百分数和小数相互改写的方法。让学生在“试一试”里继续改写，获得丰富的改写体验，从而逐渐掌握改写的方法，形成相应的改写法则。例题里把两位小数改写成百分数，“试一试”第1题把一位小数和三位小数改写成百分数。仍然要根据小数的意义，先把一位小数写成十分之几的分数，三位小数写成千分之几的分数，再按百分数的特点，把十分之几、千分之几的分数变成一百分之几的分数，接着写出百分数就很方便了。教材通过填空，引导学生经历改写的过程，理解每一步改写所进行的推理。例题和“试一试”第1题突出了小数化成百分数的改写原理，详细展开了利用小数的意义、分数的基本性质和百分数概念进行推理的过程。以后的改写，要压缩思维过程，加快速度，直接写出结果。教材要求学生“想一想，怎样把小数直接改写成百分数？”引导他们在上述改写活动的基础上，压缩思维，得出直接改写的方法。仔细观察从1.15到115、从0.3到30、从0.248到24.8的变化，可以看出“小数点向右移动了两位，同时添了百分号”。如果按这样的操作，就能很方便、很快捷地把小数改写成百分数。教材希望学生发现并应用这种方法，熟练地把小数改写成百分数。教学“试一试”第1题要注意三点：一是小数意义在五年级上册教学，学生可能有些遗忘，应该适当复习。如果小数意义不清楚，就无法把小数写成分数了。二是根据小数意义，一位小数和三位小数写成的分数，分母不是100。为了改写成百分数，需要应用分数基本性质，把分数的分子、分母同时乘10或者同时除以10，写成分母是100的分数，这是十分重要的一步。三是理解小数点向右移动两位的同时，给得到的数添上百分号，相当于分子、分母同时乘100，使数的分母变成100，而数的大小没有改变。要注意让小数改写成百分数的操作“具有意义”，体现从改写原理到改写操作的数学思考。教材还要求学生想一想，怎样把百分数直接改写成小数。引导他们从小数改写成百分数的方法推理出百分数改写成小数的方法。这里的推理是逆向推理，小数写成百分数是“小数点向右移动两位，同时加上百分号”，百分数写成小数则应该是“小数点向左移动两位，同时去掉百分号”。“试一试”第2题要求把27、150、13.5写成小数。可以使用逆向推理得出具体的操作方法。小数改写成百分数与百分数改写成小数，虽然是互逆的思考过程，却共同组成一类改写的完整结构。它们相互促进，有利于学生理解和掌握改写的方法。这正是例题和“试一试”的编写思想。2. 例3教学分数化成百分数，接着的“试一试”教学百分数化成分数。把分数与百分数相互改写的教学分开编排，是因为两种改写的方法有较大的不同。分开编排，教学比较方便。分数化成百分数，一般利用分数与除法的关系，先把分数化成小数，再把小数改写成百分数。小数作为分数化成百分数的中介，把分数向百分数的转化分解成“分数小数百分数”连续的两步改写。学生对这两步是很熟悉的，能够充分发挥已有知识经验的作用，主动经历改写的全过程。分子除以分母，有除尽或者除不尽两种可能。例3兼顾了这两种可能。它的前一小题，35能化成有限小数；后一小题，27的分子除以分母的商是无限小数。对除不尽这种情况，教材示范了得数保留三位小数，以及把近似数化成百分数的书写格式。得数保留三位小数，是人们解决百分数问题时的约定（百分号前面保留一位小数），教材的底注里讲得很清楚。学生正确使用数学符号可能有些困难，应该对他们讲清楚：在分数化成小数这一步，如果取无限小数的近似数，应该使用“约等号”；在小数化成百分数这一步，数的大小没有改变，应该使用“等号”。百分数改写成分数，一般先把百分数写成分母是100的分数，再化简成最简分数。在教学百分数的表示方法时，教材曾经指出：百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上“”。现在把百分数写成分母是100的分数形式，反向使用了这点知识。教材把百分数化成分数安排在“试一试”里教学，是考虑了学生有能力这样做。只要适当引导一下，他们会把百分数写成一百分之几的分数，并且进行相应的化简。“试一试”把三个百分数都先写出（ ）/100，突出了百分数是分母为100的分数。写出的23/100是最简分数，23化成分数的最后结果就是它。75/100可以约分，75改写成的分数应该化简成3/4。12.5/100的分子是小数，要应用分数基本性质，把分数的分子和分母都变成整数，即125/1000，并约分化简成1/8。“试一试”的最后，要求学生想一想：把分数改写成百分数、把百分数改写成分数，要注意些什么？这里的“注意什么”包括改写的基本思路、主要方法，以及改写时的一些常规要求和处理习惯。可以引导学生总结分数改写成百分数的两个要点：分子除以分母得出小数；小数改写成百分数。总结百分数改写分数的两个要点：写成分母是100的分数；化成最简分数。练习十四第1320题配合例2和例3的教学。第16题用图画呈现3个红色方块和2个橘色方块，要求写出红色方块占方块总数的几分之几，也就是百分之几；橘色方块相当于红色方块的几分之几，也就是百分之几。这道题不仅练习分数改写百分数，而且能使学生体会百分数像分数一样，也能用来描述部分与整体的关系，以及表达两个同类数量之间的倍比关系。第19题把每个大正方形都看作“1”，用分数、小数、百分数这三种形式的数，分别表示各个大正方形里的涂色部分。这是分数、小数、百分数相互改写的综合练习，一方面可以看图直接写出三种形式的数，另一方面可以应用三种数相互改写的方法，把先写出的分数依次化成小数和百分数。上述两条改写数的思路与方法，相互印证，能加强对有关知识的理解。（三） 教学求“百分之几”的问题，围绕百分数的意义，突出数量关系求一个数是另一个数的百分之几，是百分数的一类实际应用。尤其在统计里，经常要求出“百分之几”，并进行分析、比较。教材编排三道例题教学这类问题。例4和例5都是一步计算的问题，例4显得更为一般些，问题的提法和百分数意义的表述相呼应，容易找到相比较的两个数量。只要和百分数意义对应起来，就能列式计算。例5求出勤率，是百分数意义的专门应用。“率”这样的术语比较专业，分析和理解它的含义稍微难一些。从例4到例5是先一般、后特殊的编排，先在一般问题里理解求百分之几的基本数量关系和解答方法，再解决求百分率问题的难度就降低了。例6求一个数比另一个数多百分之几，既比它前面的两道例题稍复杂一些，又离不开前面例题的数学思想与方法。教材编排体现了由简单到复杂、从基本到变式的线索。1. 教学例4，促进已有经验的迁移应用。五年级下册教学分数意义时，曾经用几分之几表达两根直条的长度关系。如红色直条的长度是蓝色直条的4/5，蓝色直条的长度是红色直条的5/4。本册教科书教学分数乘法时，也用分数表示条形图里数量之间的关系。如红花朵数比黄花多1/10，绿花朵数比黄花少2/5。现在教学的例4，用条形图表示王红等三人一周中长跑的路程，学生看了条形图，不但能了解三人各跑的千米数，还能直观感觉到图中那些数量之间存在“几分之几”的关系。如李芳跑的路程是王红的4/5，王红跑的路程是林小刚的5/7这些是解答一个数是另一个数的百分之几问题可以利用的经验。求一个数是另一个数的百分之几，可以看作求一个数是另一个数的几分之几的特殊情况。它的问题表述形式、数量关系以及解答方法，都与求“几分之几”十分相似。它的特殊表现在结果必须是百分之几，并用百分数的形式表示。例4在条形图呈现的情境中，提出问题“李芳跑的路程是王红的百分之几”，学生会把这个问题与李芳跑的路程是王红的几分之几联系起来，把已有的解题经验迁移到新的问题情境中，想到先算李芳跑的路程是王红的几分之几，再化成百分数。在列式计算454/580以后，体会到可以先用小数表示（算式的）计算结果，再化成百分数。教学要让学生体会，45的商可以是分数，也可以是小数，而小数化成百分数比分数化成百分数方便。因为分数化成百分数，还得以小数为中介，不如直接用小数表示除法计算的结果简便。“试一试”求王红跑的路程是林小刚的百分之几，可以直接应用例题的想法与算法。教学要注意两点：一是突出求百分之几问题的数量关系，通过分析具体问题的含义来形成数量关系式“王红跑的路程林小刚跑的路程=王红跑的路程是林小刚的百分之几”。还可以通过与例4问题的对比，来理解数量关系。例4是李芳跑的路程和王红跑的路程比，把王红的路程看作单位“1”；“试一试”是王红跑的路程和林小刚跑的路程比，把林小刚跑的路程看作单位“1”。因此，王红跑的千米数，在例4的算式里是除数，在“试一试”的算式里是被除数。这些比较，能使学生感到，求一个数是另一个数的百分之几，必须正确判断谁与谁比，以谁为单位“1”。二是算式57的商是无限小数，应该和前面的分数化成百分数一样，保留三位小数，使百分号前保留一位小数。“练一练”编排两道题，都是已知两个数量，求其中一个数量是另一个数量的百分之几。应该提倡从问题向条件的推理，先分析所求问题的具体含义，形成数量关系式，再依据数量关系式列算式解题。两道题中，一道的计算简单，可以口算或笔算出得数。另一道涉及四位数除以四位数的计算，一般用计算器完成。练习十五第13题是配合例4的习题，在消化“求百分之几”的知识技能的同时，还有完善认知结构的作用。第1题已知杨树80棵、柳树50棵，既可以求柳树棵数相当于杨树的百分之几，也可以求杨树棵数相当于柳树的百分之几。这两个百分数都刻画了两种树棵数的倍比关系。由于作为单位“1”的棵数不同，倍比的结果分别是小于100和大于100。第3题小玲收集了人物、风景、动物、植物四类图案的邮票，分别求每一类邮票占邮票总数的百分之几。得出四个百分数以后，还要学生把四个百分数连加，发现加的结果是1，并作出为什么是1的解释。教学应该鼓励学生说出自己的想法，但不必给出统一的理由。2. 教学例5，关键是理解百分率的含义。例题用统计表给出学校田径队某星期每天早晨参加训练的人数，求田径队这星期各天的出勤率。练习里还有“儿童入学率”“森林覆盖率”“树苗成活率”“种子发芽率”“食品合格率”“电视收视率”“含糖率”这些都是常见的百分率。求百分率必须理解它的含义，找到相比较的两个数量，确定作为单位“1”的数量。教材指出：出勤率表示实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。完整地讲述了出勤率的含义，把“求百分率”具体解释成“求一个数是另一个数的百分之几”，列算式计算出勤率就容易了。在计算田径队周一的出勤率后，要求学生再选择两天的数据计算相应的出勤率，以巩固对出勤率的认识。周三、周四的实际出勤人数与应出勤人数相同，计算出勤率的算式是40401，要指导学生把1改写成100。还要组织学生反思，为什么周一、周二、周五的出勤率不是100？出勤率最高是多少？能超过100吗？以使他们对出勤率的理解深入一步，并成为理解其他百分率的基础。正是这个原因，教材把其他百分率都安排在习题里，让学生去体会各个百分率的含义，而教材不再给出解释或说明。不过，教学时还是应该让学生说说所求百分率的意思，适当加强解释百分率含义的训练。“练一练”和练习十五第58题是配合例5的习题，目的是让学生更好地认识常用的百分率。教材有以下几点设计意图，需要教学认真落实：一是理解各个百分率的具体含义，通过“练一练”第1题说说儿童入学率和森林覆盖率表示的意思，培养理解百分率含义的习惯与能力。二是通过多次求百分率的计算，感受入学率、覆盖率、合格率等百分率只表示部分占整体的比率。如练习十五第7题给出的两个发芽率分别表示两种大豆种子的发芽比率，是发芽的种子数占种子总数的百分率，不是发芽的种子颗数。不能因为第二种种子的发芽率比第一种种子高，就说第二种种子的发芽颗数一定比第一种种子多。而且，发芽率一定小于或等于100，不会大于100。三是百分率可以比较大小，如第8题里右边杯子糖水的含糖率比左边杯子糖水的含糖率高。3. 教学例6，要根据多（少）百分之几的含义理解数量关系。例6求一个数比另一个数多百分之几，这类问题在统计里经常会遇到。解题的关键在于理解问题的具体含义，并由此展开数量关系，形成思路。在本册教科书分数乘法单元里，出现过一个数比另一个数多（少）几分之几的关系。如红花朵数比黄花多1/10、绿花朵数比黄花少2/5，学生对多（少）几分之几的初步认识会影响例6的教学。教材利用线段图的直观作用，帮助学生思考“实际造林比原计划多百分之几”应该怎样理解。明确这个问题就是求：实际造林面积超过原计划的公顷数相当于计划造林公顷数的百分之几。从而产生“萝卜”卡通那样，先算出实际造林面积比原计划多4公顷，再求4公顷是计划造林面积16公顷的百分之几这样的思路。或者像“番茄”卡通那样，先算出实际造林面积20公顷是原计划造林面积16公顷的百分之几，再得出实际造林面积比原计划多百分之几的结论。两条思路、两种解法都把原计划造林公顷数看作单位“1”（即100），在线段图上能够清楚地看到，两种解法最终都是求实际造林面积比原计划多的部分是原计划的百分之几。例6还把问题改成“原计划造林比实际少百分之几？”教学活动分两步安排：第一步是解决这个问题。要联系对“多百分之几”的认识，来理解“少百分之几”的含义，由概念产生算法。教材把这些都留给学生进行，希望他们通过独立思考解决这个问题。第二步是比较“实际造林面积比原计划多百分之几”和“原计划造林面积比实际少百分之几”两个问题及其解法与结果，看到它们是两个不同的问题，前者是实际比原计划多造林的公顷数与原计划造林公顷数相比，原计划造林公顷数是作为单位“1”的数量；后者是原计划比实际少造林的公顷数与实际造林公顷数相比，实际造林公顷数是作为单位“1”的数量。尽管实际造林比原计划多4公顷，也就是原计划比实际造林少4公顷，但由于两个问题的单位“1”不同，所以解答两个问题的所列算式的除数就不同，求得的两个百分数也不同。教学中，应该在适当的时候组织学生对两个问题进行深入的比较，研究为什么两个算式的被除数相同，为什么除数不同，为什么算出的两个百分数不同，进一步理解一个数比另一个数多（少）百分之几的含义与数量关系，掌握解决这些问题的方法和要领。练习十五第911题配合例6的教学。第9题根据我国2011年国内生产总值是2010年的117.8，求2011年比2010年增长百分之几；根据我国1990年城镇居民人均可支配收入比2011年少93.8，求1990年人均可支配收入是2011年的百分之几；根据我国2011年人均水资源量是2010年的74.9，求2011年人均水资源量比2010年下降了百分之几。这道题通过“多（少）百分之几”与“是百分之几”的换算，有助于学生进一步理解多百分之几、少百分之几、是百分之几等概念的具体含义，为解决有关实际问题打好基础。练习十五第1317题是例4、例5、例6的综合练习，其中设计了两个题组，给教学安排了可以比较的内容。第13题利用相同的已知条件，解决不同的问题。求会游泳的学生占全班人数的百分之几，数量关系是“会游泳的人数全班人数”；求不会游泳的人数占全班人数的百分之几，数量关系是“不会游泳的人数全班人数”。利用相同的已知数量，解决不同的问题，列出的算式必然不会相同。第15题由三道小题组成，第（1）（2）两小题的条件相同、问题不同，第（1）（3）两小题的条件不同、问题相同，第（2）（3）两小题的条件和问题都不相同。通过这些比较，能使学生更好地理解“是百分之几”与“高百分之几”的含义。（四） 联系纳税、利息等知识，着重教学求一个数的百分之几是多少的问题数学课程标准要求，联系现实生活教学求一个数的百分之几是多少的实际问题。随着我国的经济发展，人民生活水平快速提高，纳税和利息越来越和普通老百姓密切相关。现在和未来的社会生活，要求每一个公民都有纳税的意识和利息的知识。有关纳税和利息的数学问题通常是百分数问题，求应该缴纳多少税、可以得到多少利息，一般就是求一个数的百分之几是多少。因此，教材联系纳税和利息教学百分数乘法问题。1. 例7解决纳税的问题，主要教学三个内容。一是有关纳税的常识。如书店应该缴纳营业税，个人应该缴纳所得税，纳税是国家税法的规定，税率是法定的义务。这些知识可以结合理解题意进行教学，教材的底注也简要介绍了纳税的知识。二是求一个数的百分之几是多少用乘法计算，与求一个数的几分之几是多少的算法相同。三是计算整数（或小数）乘百分数，通常先要把百分数化成小数，再相乘。解答例7，要找到数学问题“求60万元的5是多少万元”。得出这个数学问题并不难，只要理解“按营业额的5缴纳营业税”这句话的意思，就能得出上面的数学问题，并引发已有知识经验向新的问题情境迁移。学生对求一个数的几分之几是多少很熟悉，能很快列出乘法算式。求一个数的百分之几是多少和求一个数的几分之几是多少只有一字之差，况且百分之几还是几分之几的特例。大多数学生会像“萝卜”卡通那样选择乘法解题，列出算式605。这就把求一个数的百分之几纳入到已有的经验系统，发展了认知结构。学生计算605，会感到两个乘数不能直接相乘。5可以化成小数0.05，也可以化成分数5/100，他们计算605，会出现600.05和605/100两种算法。教学时要组织学生比较这两种算法，体会把百分数化成小数比化成分数稍简便些。以后计算百分数乘法，一般转化成小数乘法进行。尤其像“练一练”里计算6.25，如果转化成6.25/100是相当麻烦的，如果转化成6.20.05会很方便。我国的税法对企业和个人的纳税有十分明确的规定，教材仅仅涉及很少的、而且是最简单的一部分。营业税一般按营业额总数的百分之几缴纳，个人所得税的计算则比较复杂。目前，月工资在3500元及其以内，不需要纳税；超过3500元的部分，要按规定的百分率缴纳个人所得税。考虑到学生年龄小，知道的纳税知识少，对纳税的事情不太了解，教材暂时不涉及工资收入的个人所得税问题。“试一试”提到的5000元奖金按20税率缴纳个人所得税；练习十六第3题提到的审稿费900元按税率3缴纳个人所得税，都是很简单的求一个数的百分之几是多少的问题。2. 例8解决利息的问题，主要内容有两点。一是关于利息的常识，二是计算利息的方法。这两个内容结合着教学。例题讲述了亮亮在银行存钱的事情，用表格给出整存整取定期储蓄的年利率，还写出了计算利息的公式。利息问题一般涉及本金、利率、利息、时间等概念，教材在底注里简要介绍了什么是本金、什么是利息、什么是利率。学生通过阅读能够了解这些概念。利息通常是本金的百分之几，计算利息一般按公式“本金利率时间”列算式。其中“本金利率”是求一个数的百分之几是多少，“时间”是求几个相同加数的和。本金比较清楚，学生不大会弄错。利率与存期有关，通常是存期越长，利率越高，学生往往在选择利率时发生错误。时间是计算利息算式里的一个乘数，如果存期是1年，乘或不乘1似乎无所谓；如果存期是两年或者多年，时间这个乘数绝对不能丢失，这是学生经常疏忽的。应该帮助学生理解并记住计算利息的公式，教育他们细心列式计算。有关利息的实际问题一般有两种情况：一种问题是求存款到期后可以得到多少利息，例8就是这种问题。另一种问题是求存款到期后可以获得本息一共多少，“试一试”就是这样的问题。教学“试一试”要给学生两点指导：一点是正确理解所求问题，弄明白“到期后应从银行取回的钱”包括本金和利息两部分，是求“本金加利息”一共多少钱。二是解决求本息一共多少的问题适宜分两步计算，先算可以得到多少利息，再算本息一共多少。以前的教学经验告诉我们，分步计算能避免错误，解题的正确率比列综合算式会高些。（五） 列方程解答已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题本册教科书在分数除法单元里，曾经列方程解答已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题。那时解决的实际问题都是很简单的，列出的方程里只有一个运算符号，形如ax=b。本单元例9例11教学已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，也采用列方程的方法解答。因为学生已经理解了求一个数的百分之几是多少的数量关系，会用乘法求一个数的百分之几是多少，具备列方程的知识与经验。例9解决的问题比较简单，例10和例11解决的问题稍复杂些。1. 例9解决与折扣有关的问题，也是百分数的实际应用。人们在日常生活中遇到的折扣问题一般有三种情况：一是已知原来的价钱和打的折扣，求现在的价钱；二是已知原来的价钱和现在的价钱，求打了几折；三是已知现在的价钱和打的折扣，求原来的价钱。例9呈现的问题是第三种情况的问题，列方程求得原来的价钱以后，可以用前两种数量关系检验答案，这就把折扣的三种问题有机联系，融为一体了，有利于学生整体把握折扣问题。学生第一次在数学课上接触“打折”。教材对打折作出数学解释，在底注里指出“打折出售”是“按原价的百分之几出售”。让学生明白几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，如八折是80，八五折是85，从而把打折的实际问题与百分数的应用联系起来。教材提出的“打八折后，实际售价和原价有什么关系”是十分重要的问题，直接影响解题思路和方法的形成。从“打八折”销售可以得到“实际售价是原价的80”，用数量关系式表示就是“原价80实际售价”。在这个数量关系式中，已知积和一个乘数，求另一个乘数，能够很方便地列方程算出原来的价钱。本单元教材，解答已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，采用列方程的方法，和学生已有的经验相衔接。根据百分数的意义，充分利用百分数乘法的数量关系，可以避免人为地把实际问题机械分类，加强了数学基础知识和基本思想的教学。列方程算出趣味数学的原价15元以后，教材要求学生检验答案。检验实际问题的答案是否正确，要看答案是否满足实际问题里的数量关系。就例9的检验来说，要看趣味数学原价15元，实际售价12元，是不是打八折销售；或者看趣味数学原价15元，打八折后是不是售价12元。用前一种思考检验，实际售价除以原价，列式是12150.880，学生进行了一次求折扣（求一个数是另一个数的百分之几）的活动。用后一种思考检验，原价乘折扣，158012（元），学生进行了求实际售价（求一个数的百分之几是多少）的活动。这些检验不仅确认了原来价钱是15元，还多角度表现了原价、实际售价、折扣三者的关系。在全面体现折扣含义的同时，沟通了三类百分数问题的内在联系。“练一练”求例9中成语故事的原价，也要检验答案。教材希望学生独立经历与例9同样的学习过程，再次体会并应用折扣问题的数量关系。应要求学生根据“原价80实际售价”列方程解题，自己选择一种思路检验答案。不要鼓励他们直接列除法算式10.480解题，也不要用两种方法检验结果。练习十六第710题都是折扣问题，分两段配合例9的教学。第7题是一段，要求学生说说按原价的70、95、68出售各是打几折，加强对折扣的认识。这是解决折扣问题的最基础知识。第8、9、10题是一段，三种折扣问题各有一道，帮助学生消化和应用折扣问题的数量关系。第8、9两题分别求打折后的实际售价和打折前的原价，都可以利用“原价折扣实际售价”来解答。第10题求打的折扣，应该用“实际售价原价=百分之几”来解答，并与第7题的内容接轨。练习十六第1217题是例7、例8、例9的综合练习题，题目要稍复杂一些。第13题要先算出今年的营业额是多少万元，再算出今年要缴纳营业税多少万元。这是连续的两个问题。第14题的两小题，都已知衣服的原价和出售时打的折扣，分别求实际售价多少元和实际售价比原价便宜多少元。这两个问题在购买物品时都有可能遇到。问题虽然不同，却是相通的：求实际售价比原价便宜多少元，一般应先算出实际售价。第16题的购物活动稍复杂一些，可以从“按九折优惠买了2张足球赛门票，一共用去54元”先算出优惠价门票1张27元，这样求门票原价的问题就被化简了。第17题买一辆摩托车一共要花的钱包括摩托车的价钱和应缴纳的车辆购置税。小学数学有关百分数的实际问题以两步解答的为主，如果遇到解题步骤较多的问题，一般都设计成连续两问的问题，以降低解答的难度。2. 例10和例11解答稍复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题。这两道例题和分数四则混合运算单元的例2、例3遥相呼应，利用像前面例题那样的相并关系或相差关系，列方程解答。相并关系通常指两个部分数与总数的关系，相差关系一般指大数、小数和相差数的关系。虽然相并与相差是学生早就认识的数量关系，但在较复杂的百分数问题情境里也不大容易抓住。为此，例题利用线段图给予直观帮助。例10要求学生先根据题意把线段图填写完整，从中看到“运走粮食的吨数+剩下粮食的吨数粮食的总吨数”，或者看到“粮食的总吨数-运走粮食的吨数剩下粮食的吨数”。根据这两个数量关系式都不能列出算式，所以例10这个问题要列方程解答。如果设这批粮食一共有x吨，那么运走的吨数可以表示成60x。根据前面一个数量关系式列出的方程是60x+48x，这个方程的等号两边都有x，学生暂时还不会解。根据后面一个数量关系式列出的方程是x-60x48，这个方程学生会解。教学这道例题，要引导学生经历上述的选择算法和选择方程的过程，在已有的认知结构和解题经验里提取资源，通过自主解决新的问题，发展认知结构，丰富解题经验。尤其在解题以后进行的回顾与反思，要让学生深入体会采用列方程还是列算式解题，决定于实际问题里的数量关系，是根据数量关系的特点而作出的选择。分析百分数问题的数量关系，一方面要理解已知条件里的百分数的意义，找到单位“1”的数量以及与百分数对应的数量。另一方面要找到数量关系里的三个主要数量，如例10中的运走粮食吨数、剩下粮食吨数、粮食的总吨数，它们之间的关系是实际问题的核心数量关系。在例11的线段图上，学生可能看到的数量关系有三个：一是原计划培育松树苗棵数+实际比原计划多培育的棵数实际培育的棵数，二是实际培育的棵数-实际比原计划多培育的棵数原计划培育的棵数，三是实际培育的棵数-原计划培育的棵数实际比原计划多培育的棵数。利用任何一个数量关系式都无法列出计算原计划培育棵数的算式，因而选择列方程解题。教材要求学生把线段图和等量关系填写完整，经历选择列方程解题的过程，并根据“实际比原计划多20”这个已知条件，通过分析百分数的意义，确定设原计划培育棵数为x，实际比原计划多培育的棵数为20x。例题选择“原计划培育松树苗棵数+实际比原计划多培育的棵数实际培育的棵数”作为列方程的相等关系，是因为列出来的方程学生会解。另两个相等关系列出来的方程是480-x=20x或480-20x=x，学生还不会解这些方程。两道例题列出的方程里都有两个“x”，还含有百分数。对此，教学应该注意两点：第一是写设句，即设哪一个数量为x。例10为什么设“粮食总吨数为x”，要引导学生抓住题目中已知的百分数“运走60”，分析它的意义，体会这样的设句是合理的，不仅用x表示了单位“1”的数量，还很容易用含有字母的式子“60x”表示运走大米的吨数。例11设“原计划培育x棵”，不只是把所求数量设为x，更重要的是把未知的单位“1”的数量设为x，实际比原计划多培育的棵数就能用“20x”表示了。第二是解方程。要先化简方程的左边，使原方程变成ax=b的形式，再应用等式性质，得到方程的解。为了使学生较好地掌握解方程的方法，练习十七里编排了两组解方程的习题，意在提醒教学关注学生对方程解法的掌握情况。配合例10的“练一练”第1题要学生“先把数量关系式填写完整，再列方程解答”。其实，即使教材不提出补充数量关系式的要求，学生也应该这样做，因为他们的数学思考正是在这些分析活动中得到落实与发展的。配合两道例题的“练一练”十分重视分析数量关系，都要求先填写实际问题的数量关系式，再列方程解答，着力培养分析数量关系和选择解法的能力。寻找相等关系是解答这些题的关键，也是指向解题难点的基础训练。要引导学生从分析题目里已知的那个百分数开始，有条理地进行思考。如例10的“练一练”第1题，把电缆线的全长看作单位“1”的数量，还剩75没有铺，数量关系应是“电缆全长-剩下没有铺的长度已经铺的长度”。再如例11的“练一练”第1题，把美术组的人数看作单位“1”的数量，舞蹈组人数比美术组少30，由此推理出数量关系是“美术组人数-舞蹈组比美术组少的人数舞蹈组的人数”。寻找相等关系是列方程解决实际问题不可缺少的步骤，直接影响解题方法是否正确、是否方便。解答练习十七里的实际问题，应该继续重视这一点。练习十七第13题配合例10的教学，设计了一个题组。第58题配合例11的教学，也安排了一个题组。同一个题组的两道小题，是相同事件的两种不同情况。它们有相同的已知条件，要求回答不同的问题。所以，分析数量关系有相同的切入点，但要向不同方向推理。第3题的两小题，都已知一桶油“用去25”，都要把一桶油的质量作为单位“1”。第（1）题还知道“正好用去2.5千克”，数量关系是“一桶油的质量25用去的油的质量”。第（2）题还知道“剩下7.5千克”，数量关系是“一桶油的质量-用去的质量剩下的质量”。第（1）题是一步计算的问题，第（2）题是两步计算的问题。第7题的两小题，都已知“电动轮船240艘”。第（1）题还知道“电动轮船比电动汽车少20”，第（2）题还知道“电动轮船比电动飞机多20”，两题涉及的三个数量及其关系式不同。第（1）题里是电动汽车的数量、电动轮船比电动汽车少的数量和电动轮船的数量之间的关系，求电动汽车辆数的数量关系是“电动汽车的数量-电动轮船比电动汽车少的数量电动轮船的数量”。第（2）题里是电动飞机的数量、电动轮船比电动飞机多的数量和电动轮船的数量之间的关系，求电动飞机架数的数量关系是“电动飞机的数量+电动轮船比电动飞机多的数量=电动轮船的数量”。教材编排这样的题组，是为了提高学生分析数量关系的能力。教学这些题组，要在学生独立解题的基础上，引导他们比较同组两题的数量关系，看到相同的切入点和不同的推理方向，体会分析数量关系的要领。练习十七第1015题是两道例题的综合练习，继续应用例题教学的思想和方法，解决有些变化的问题。前面已经多次讲过，无论是求一个数的百分之几是多少的问题，还是已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，都要抓住题目给出的那个百分数，分析它的意义，找到作为单位“1”的数量，得出相应的数量关系式，利用数量关系式确定解题方法，或是列式计算，或是列方程求解。这是相对稳定的思想方法，贯穿在两道例题以及配套习题之中。学生具有解决问题的能力之后，不只是会解答与例题同样的问题，而且能解决有些变化的，甚至比较新颖的问题。为此，教材编排这些综合练习题。第10题的两小题，桃树与梨树棵数的倍数关系用整数或分数表示，虽然不是百分数，但仍然是分析数量关系的突破口。第（1）题从“桃树的棵数是梨树的3倍”，可以确定梨树棵数是单位“1”的数量；第（2）题从“梨树棵数是桃树的1/3”，可以确定桃树棵数是单位“1”的数量。两小题都已知桃树和梨树一共有96棵，显然数量关系式都是“桃树棵数+梨树棵数96”，但列出的方程不同。第12题的两小题都已知“蓖麻的棵数是向日葵棵数的75”，都把向日葵棵数作为单位“1”的数量。第（1）题还已知“向日葵和蓖麻一共147棵”，数量关系式是“向日葵棵数+蓖麻棵数=147”。第（2）题还已知“向日葵比蓖麻多21棵”，数量关系式是“向日葵棵数-蓖麻棵数=21”。第13、14、15三道题是已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题，都需要列方程解答。在本册教科书分数除法单元里几乎都没有出现过类似的。解答这些分数问题，也要运用例10和例11的思想方法。如第15题已知两个分率，“第一天看全书的1/6”“第二天看全书的1/5”，都把一本书的页数作为单位“1”的数量。已知两天一共看33页，数量关系式是“第一天看的页数+第二天看的页数33”。教学这些