〞等比数列的前n项和公式〞教学设计的反思.doc

中学数学教学参考特约记者供稿“等比数列的前n项和公式”教学设计的反思 本站特约记者 徐 明（江苏） 前些日子应邀参加连云港市高中数学专业技能大赛说课轮次的选拔活动,听了一些参赛教师的说课,感觉收获很大.特别是“等比数列的前n项和公式”(苏教版必修5第2章第2.3.3 节)的说课,给我留下了很深的影响,也促使我去思考如何设计这一堂课的教学过程.本文想通过参赛教师的说课案例,从情境创设、公式推导两个教学环节的设计出发,谈谈自己的管窥之见,与同行探讨.1. 情境创设与反思1.1 情境设计片断数学课程标准中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.这既是对教材编写的建议,也是对课堂教学实践的要求.因此,本次参赛教师在教学设计中都进行了一定的问题情境创设,下述的6个情境是参赛教师选用的情境摘录.情境1: 某种细胞进行细胞分裂,已知每个细胞每分钟分裂为2个,那么某一个细胞1小时后分裂的细胞个数总和是多少呢?情境2:国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧.”国王觉得这并不是很难办到的事,就欣然同意了他的要求.你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王有能力满足发明者的要求吗?情境3:一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.情境4:某公司由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,在3年内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月要向银行还款10元,第二个月还款20元,第三个月还款40元,即每月还款的数量是前一个月的2倍.请问:假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗?情境5:周末,王明去表弟家作客,表弟给王明出了一道难题:从今年起,他每年年初存100元,直到第十年底一并取出,一共是多少元?(年利率0.05).王明想,只要算出每年存入100元本利和,然后再求和就行了,于是他拿笔列式计算:第一年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05)10,第二年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05)9, ,第十年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1+0.05),一共有:S=100(1+0.05)+100(1+0.05)2+100(1+0.05)10.王明发现借助计算器能计算出S的值,但非常麻烦、费时,他感到束手无策了.今天,我请同学们一起来帮助王明解决这一难题.情境6:话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行！我每天投资100万元,连续一个月(30天),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第一天起你必须返还给我1元,第二天返还2元,第三天返还4元即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了,心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万,第三天:支出4元,收入100万元;哇,发财了!”心里越想越美,再看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?”假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱? 1.2 情境设置的反思教学情境是教师为了发展学生的心理机能,通过调动学生的“情商”,激发学生的兴趣、求知欲等非智力因素来增强教学效果而营造的情绪氛围.建构主义学习理论认为:学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,有利于学生用原有的知识和经验去同化或顺应当前要学习的新知识.创设教学情境,让学生“触境生情”,既可以掌握数学知识和技能,又可以体验教学内容中的情感,使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象,饶有趣味.但如何设计问题情境,才能使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征?这应该是每一位教师进行教学设计的重要切入点.情境1是从数列概念的问题情境中剥离出来的,但它不符合求等比数列前n项和的意境,因为细胞分裂后,前一个细胞自然消失,它不存在等比数列前n项求和的计算要求.这显然是由于参赛教师的认知缺陷,而造成的科学性错误. 情境2是多数参赛教师的设计方案,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.但该情境不贴近学生的生活实际,缺乏与时俱进的教育理念支撑. 情境36都以“市场经济”为切入点,虚拟问题情境,比较符合学生的接受水平,但从学生的心理健康层面与社会环境因素分析,又存在一定的差异.特别是情境3,以“穷人”与“富人”为虚拟人物叙述问题情境,不利于学生的身心发展,容易对学生的社会价值观和世界观产生不利影响.相比之下, 情境4突出教育的激励功能,对学生的成长有良好的心理暗示作用;情境5强调情境的生活化,力求使学生切身体会数学来源于生活,又服务于生活的数学本质;情境6则与我市的人文环境自然融合,更显亲切、和谐与幽默,有较强的感染力.应该引起注意的是,问题情境并不单一的指向实例或情景,它还包括问题、活动、实验、叙述等多种形式.绝不能把应用作为数学课程的唯一目标,数学还应具备抽象的心智训练功能.根据高中学生的认知特征,可以保持对数学问题的适度抽象,课堂教学是应用价值与理性价值的统一.苏教版教材正是依据这样的理念进行编写的.教材中,确实有许多章节都是以入口较浅的、学生能理解的生活实例或其他实例,来引发学生思考的,这是章节的主背景,但也有以问题形式引领章节内容的,这是章节的生长点,是章节的核心内容或研究方法的出发点.而本节内容的教材处理方式属于后者,直接以问题为情境引发学生探索.也不失为一种好的情境设置.2. 公式推导与反思2.1 探究设计片断丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.数学课程标准明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.为贯彻该理念,数学探究活动成了课堂教学的全新教学方式.本次参赛教师对等比数列的前n和公式的推导,设计了如下一些探究方案.方案1:直接给出等比数列的前n项和公式:当q1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1.引导学生给出公式的推导方法.预设了如下3种方法.方法一:(见教材推导过程,此处略) 方法二:由等比数列的定义,知q,根据等比的性质,得=q,即 =q,(1-q)Sn=a1-anq.当q1时,Sn=.方法三: Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),(1-q)Sn=a1-anq.(结论同上)方案2: 从情境提炼问题:S64=1+2+22+23+263 . (教师引导:上式中的数有何规律?若用公比2乘以上面等式的两边所得新式子有何特点?)若用公比2乘以上面等式的两边,得到2S64=2+22+23+263+264 . (教师引导:与两式有何关系?)为了便于比较、两式,我们将它们列在一起： S64=1+2+22+2+263 , 2S64=2+22+2+263+264 . (教师引导:与两式可作如何处理?)若式减去式,可以消去相同的项,得到:S64=264-1.回归问题:能否仿照上述解题方法,给出一般等比数列的前n项和公式?(以下略)方案3: 等比数列有两大类:公比q=1和q1两种情形 .当q=1时,Sn=na1.当q1时,Sn=a1+a1q+a1qn-1=?S1=a1,S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2).引导学生从1+q+q2的代数结构出发,联想到立方差公式,得出1-q3=(1-q)(1+1+q+q2),从而S3=,再退一步S2=,S1=.归纳猜想: Sn=.最后对公式进行变形,寻求公式的推导方法.由Sn-qSn=a1(1-qn)的左式结构,考虑对Sn与qSn作差,从而引出错位相减法.方案4: 引导学生对Sn=20+21+22+2n-1的结果进行猜想:由S1=1,S2=3,S3=7,猜想20+ 21+22+2n-1=2n-1;进一步在教师的适时引导下及学生的共同努力下可得出:30+31+32+3n-1 =; 40+41+42+4n-1=.再猜想出更一般的结论:1+q+q2+qn-1=(q1).等比数列的求和公式也呼之欲出: a1+a1q+a1q2+a1qn-1=(q1).最后在教师的启发下,通过多项式的变形,引出错位相减法.方案5:复习等差数列的前n项和公式的推导方法:将a1与an、a2与an-1,所有与首末等距离两项交换位置,得到Sn的倒序和的形式,然后两式相加.这样2Sn就是一个有n 项的每一项都是a1+an的常数列,从而导出Sn的公式.激发学生类比联想:等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢?让学生亲自去试一试.这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考.结果显然是行不通的.教师适时点拔,引导学生进行思维发散从倒序相加的定势中解脱出来.等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,把省略号()的“无形”化为“有形”(上下对应两项的和都等于a1+an).对于等比数列而言,难点也是如何把省略号()的“无形”化为“有形”?引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q倍,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项.那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,则在q Sn这个和式与Sn的和式中,就会出现许多相同的项.这样通过两个和式相减,自然可以将省略号()的“无形”化为“无影”(相同项相减等于0).2.2 探究方案的反思数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.纵观5个方案可以发现,方案1是接受性学习,由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式,让学生寻求证明的方法,此时的探究是没有任何意义的.学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的冲动,自然解决问题的内驱力也不会太高.再者,如果没有教师点拔引导,普通的学生能找到解题的思路吗?况且初中教材已经删去了等比定理.恐怕只能是由教师提供解题方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没有自主获得结论的成就感,同时也不可能使“错位相减法”得到应有的重视.方案24都采用从特殊到一般的思想方法,但方案2略显单薄,没有突破错位相减的认知“瓶颈”,依然有“抛出”的嫌疑.而方案3和4在特殊到一般的过程中,引领学生进行似真推理,归纳猜想出等比数列前n项和公式,并从结构分析获得解题灵感.是较好的探究方式.相比之下,方案5借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法,则更符合高一学生的认知特征.应该说等差和等比数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上讲是一致的,都是将“无限”化为“有限”,但是它们也有差异,即错位的方法不同.正是由于这种差异,致使很多参赛教师都错误地认为:不能通过类比推理探究等比数列的前n项和公式的推导方法.实际上,他们是基于这样的错误认识:通过运算方式的类比,由等差数列的前n项和公式只可以类比得出等比数列的前n项积公式.而这里却是解题方法的类比.从认知层面看,在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中, 等比数列的前n项和公式属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识.因此,本节内容的重点有两个,一个是掌握等比数列的前n项和公式,一个是掌握公式推导中涉及到的数列求和方法错位相减法.在一节课的时间内要达到这样的双重目的,时间是教学设计时必须考虑的要素,方案5利用类比进行公式推导,应该说很好地解决了这个问题.既使求和方法得以同化,形成能力,又节省时间便于知识的强化.方案3、4的公式推导及证明势必占用大量的时间,完成本节课的两大学习任务是困难的;而方案1直接给出公式,介绍证明方法,虽然可以留有更多的时间供学生练习,但难免有“重结论轻过程”之嫌,似乎是在“穿新鞋,走老路”,有点不合时宜.我们必须承认:在数学课堂教学中,实施探究教学是基于新课程理念的教师的一种追求,长期渗透于教学之中,势必会取得显著的成效.但我们还应该意识到,探究教学需要花费很多时间.正如数学课程标准中